北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014,H0171006)

课程编号：MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期

2011级本科生解析几何期末试题A 卷

姓名--------------，班级------------，学号--------------，

题目 一 二 三 四 五 六 总分

得分

一，单选题(30分)

1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足.OA OB OC =+

(b),空间任意一点O,三点满足11

.22

OA OB OC =+

(c),空间任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++=

(d),空间任意一点O,三点满足11

0.23

OA OB OC ++=

2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??.

3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )

(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.

4, 在仿射坐标系中,已知直线2103260x z x y ++=??+-=?和直线210

2140x y z x z +--=??+-=?

,则下面说

法正确的是( )

(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.

5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20

210

x y z x y z +-=??-+-=?,则下面说

法正确的是( )

(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.

6,在平面仿射坐标中,直线11112

2220

0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?与y 轴相交,则( )

(a)112

2

0C D C D =,(b)

112

2

0A D A D =,(c)

112

2

0B D B D =,(d)

112

2

0A B A B =

7，在空间直角坐标系下，方程

222

3230x y z xy yz +-++=的图形是（ ） (a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。

8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是

22442218x xy y x y z ++-++=, 则曲面是( )

(a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面.

9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( )

(a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个.

10, 设12,γγ是平面上两个旋转变换,则1

2γγ不可能是( )

(a)平移变换, (b)反射变换, (c)中心对称, (d)恒同变换.

二, 填空题(30分)

1,在一空间直角坐标系中,四面体的顶点A,B,C,D 的坐标依次为(1,0,1), (-1,1,5), (-1,-3,-3), (0,3,4), 则四面体的体积是 .

2,在仿射坐标系中,给定一平面和一直线方程分别是

与32230

:320:210x y z x y z l x y z π-++=?-+-=?+++=?

,则过点(0,1,-1)与平面π平行,且

与直线l 共面的直线方程是

3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面

222:(1)(2)(1)10x y z Γ-+-+--=

和平面方程:20y z π+=,则二次曲面Γ上点到π的点的最大距离是 .

4,在空间直角坐标系中,曲线22(3)1

0x y z ?-+=?=?

绕x 轴旋转的旋转面方程是

.

5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22

2169

x y z -=,则在马鞍面上过点(4,3,0)的直线是 .

6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系

[;,,]I A AB AC AD 到坐标系

[;,,]I B BC BD BA 的点坐标变换公式

是 .

7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2

2

34462120x xy y x y ++++-=的中心是 .

8,在平面直角坐标系中,给定曲线2

2

695880x xy y x y y -+--+=,则它的对称轴方程是

9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2

2

5720x xy y x y ++-+=过原点的切线方程是 .

10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是

22143y x z ?+

=???=?和22

1282x y z ?+=???=-?

,则Г的方程是 .

三,在空间空间直角坐标系中,已知曲线222100x y z ?+-=?=?

,求经过此曲线的圆柱面方程.

四,在平面仿射坐标系中,二次曲线

Γ过点(3,-3), (3,-7), 且以两直线10x y -=和

60x y ++=为一对共轭直径. 求二次曲线方程.

五,在空间直角坐标系中,求与两个球面

2

2

2

16x y z ++=与2

2

2

(6)4x y z +-+= 都相切的圆锥面方程.

六,在平面π的仿射坐标系中,给出下面六点的坐标(1,0),(0,1),(3,1),A B C ---

'''(1,1),(1,3),(2,4)A B C --和二次曲线2:310x xy y Γ-++=,

仿射变换

:f ππ→满足, '''(),(),().f A A f B B f C C ===

求二次曲线Γ在仿射变换下的像()f Γ的方程.

课程编号：MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期

2011级本科生解析几何期末试题B 卷

姓名--------------，班级------------，学号--------------，

题目 一 二 三 四 五 六 总分

得分

一，单选题(30分)

1,已知平面三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,三点共线( ) (a),平面任意一点O,三点满足OA OB OC =+

(b),平面任意一点O,三点满足13

44

OA OB OC =+

(c),平面任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++=

(d),空间任意一点O,三点满足13

0.44

OA OB OC ++=

2, 已知非零向量,αβ,满足0αβ?=,下面等式成立的是( )

(a), 对于任意向量有,(,,)0γαγβ=,(b), 对于任意向量有,()0γαγβ??=, (c), 对于任意向量有,()0γαγβ??=, (d), 存在向量使得,(,,)0γαγβ≠,.

3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )

(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.

4, 在仿射坐标系中,已知直线2203260x y z x y -+=??+-=?和直线20

20x y z x z +-=??+=?

,则下面说法正

确的是( )

(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.

5，在空间直角坐标系下，方程

22230x y xy yz xz +++-=的图形是（ ）

(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。

6,在平面直角坐标中,方程

2211122212(,)2220F x y a x a xy a y b x b y c =+++++=

如果11

121

111211

2212

22212

22

1

2

0,

0,0a a b a a a a a a b a a b b c

+>><, 方程(,)0F x y =的图形是 ( )

(a),椭圆, (b),双曲线, (c),抛物线, (d)两条相交直线.

7，直角坐标系下，椭球面2222221x y z a b c

++=与球面2222

x y z R ++=相切

(0)a b c >>>，并椭球面在球面内，则它们公共点有（ ） (a),两个；(b),四个；(c),八个；(d),无穷多个.

8,下面哪对几何图形在平面仿射变换下不全等( )

(a)平面上任意两个梯形, (b)平面上任意两个平行四边形, (c)平面任意两个椭圆, (d)平面上任意两个双曲线.

9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( )

(a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个.

10, 设12,γγ是平面上两个旋转变换,则1

2γγ不可能是( )

(a)平移变换, (b)反射变换, (c)中心对称, (d)恒同变换.

二, 填空题(30分)

1,在一空间直角坐标系中,四面体的顶点A,B,C,D 的坐标依次为(1,0,1), (-1,1,5), (-1,-3,-3), (0,3,4), 则四面体的体积是 .

2,在空间直角坐标系中,给平面方程:610ax by z π+++=和直线参数方程:

21:4131x t l y t z t =+??

=--??=+?

,若平面π与直线l 的垂直,则a = , b = .

3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面

222:(1)(2)(1)10x y z Γ-+-+--=

和平面方程:0y z π+=,则二次曲面Γ上点到π的点的最大距离是 .

4,在空间直角坐标系中,曲线22(1)1

0x y z ?-+=?=?

绕x 轴旋转的旋转面方程是

.

5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22

2169

x y z -=,则在马鞍面上过点(4,3,0)的直线是 .

6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系

[;,,]I A AB AC AD 到坐标系

[;,,]I B BC BD BA 的点坐标变换公式

是 .

7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2

2

32462120x xy y x y ++++-=的中心是 .

8,在平面直角坐标系中,给定曲线2

2

695880x xy y x y y -+--+=,则它的对称轴方程是

9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2

2

5720x xy y x y ++-+=过原点的切线方程是 .

10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是

22143y x z ?+

=???=?和22

1282x y z ?+=???=-?

,则Г的方程是 .

三,在空间空间直角坐标系中,已知曲线22440

0x y z ?+-=?=?

,求经过此曲线的圆柱面方程.

四,在平面仿射坐标系中,二次曲线

Γ过点(3,-3), (3,-7), 且以两直线10x y -=和

40x y ++=为一对共轭直径. 求二次曲线方程.

五,在空间直角坐标系中,求与两个球面

2

2

2

4x y z ++=与2

2

2

(6)9x y z +-+= 都相切的圆锥面方程.

六,在平面π的仿射坐标系中,给出下面六点的坐标(1,0),(0,1),(3,1),A B C ---

'''(2,1),(1,3),(2,4)A B C --和二次曲线2:2310x xy y Γ+++=,

仿射变换

:f ππ→满足, '''(),(),().f A A f B B f C C ===

求二次曲线Γ在仿射变换下的像()f Γ的方程.

课程编号：MTH17014 北京理工大学2012-2013学年第一学期

2012级本科生解析几何期末试题A 卷

姓名--------------，班级------------，学号--------------，

题目 一 二 三 四 五 六 总分

得分

一，单选题(30分)

1,已知空间五点A,B,C,D,O.满足131110.2

4

8

8

OA OB OC OD ++-=

则下面说法正确的是( )

(a), 空间五点A, B, C, D, O 一定在一个平面上. (b), 空间四点A, B, C, D,一定在一个平面上. (c), 空间五点A, B, C, D, O 一定在一个直线上. (d), 空间四点A, B, C, D 一定在一个直线上.

2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??.

3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,0,1)和点B(0,0,-3).则下面说法正确的是( )

(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.

4, 在仿射坐标系中,已知直线1210x y z -==-和直线11410

x y z --==,则下面说法正确的是( )

(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.

5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20

y z x =

=, 则下面说法正确的是( )

(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.

6,在平面直角坐标中,二次曲线2

862612130x xy x y +--+=是( ) (a),椭圆, (b),双曲线, (c),抛物线, (d),一对相交直线.

7，在空间直角坐标系下，方程2

22330x y z xy yz ++++=的图形是（ ）

(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。

8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是2

2

2x xy y z ++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面.

9,在空间直角坐标系中,下面哪个方程的图形是由一族平行直线生成( ) (a), 2

2

2

321x y z +-= (b), 2

2

42x y z -=, (c), 0xy yz zx ++= (d), 22

232x z -=

10, 在空间直角坐标系中,已知球面2

2

2

:9A x y z ++=

,椭球面222

:1963

x y z B ++=, 则下面说法正确的( )

(a),球面A 与椭球面B 只有两个交点, (b),球面A 与椭球面B 只有四个交点, (c),球面A 与椭球面B 只有六个交点, (d), 球面A 与椭球面B 只有八个交点.

二, 填空题(30分)

1,在空间直角坐标系中,给定两点集{(,,)|320}A x y z x y z =++=,与点集

112{(,,)|

}231

x y z B x y z -++===--.

则A 中的点到B 中的点距离最小值是 .

2,在仿射坐标系中,给定一平面:320x y z π-+-=,则过点(0,1,-1)与平面π平行的平面方程是

3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面

222:(2)(2)10x y z Γ+-+--=和平面方程:0y z π+=,

则二次曲面Γ上的点到平面π的最大距离是 .

4,在空间直角坐标系中,曲线22(3)1

0y z x ?-+=?=?

绕y 轴旋转的旋转面方程是

.

5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22

249

x y z -=,则在马鞍面上过点(2,3,0)的直线是 .

6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系

[;,,]I A AB AC AD 到坐标系

[;,,]I B BC BD BA 的过渡矩阵是 .

7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2

2

344120x xy y ++-=的中心是 .

8,在平面直角坐标系中,给定曲线2

2

695810x xy y x y -+--+=,则它的对称轴方程是

9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2

2

20x xy y x y +--+=过原点的切线方程是 .

10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是

22143y x z ?+

=???=?和22

1282x y z ?+=???=-?

,则Г的方程是 .

三,在空间直角坐标系中,已知曲线222200x y z ?+-=?=?

,求经过此曲线的圆柱面方程.

12220210:,

:244020x y z x y l l x y z y z -++=+-=????++-=-+=??

求它们的距离和公垂线方程.

五,在空间直角坐标系中,求与两个球面

2

2

2

9x y z ++=与2

2

2

(5)4x y z ++-= 都相切的圆锥面方程.

六,在平面上有两个右手直角坐标系12[,,]I O e e ,'

'''

12[,,]I O e e ,

在坐标系12[,,]I O e e 下,二次曲线Γ的方程是

22:410422180.x xy y x y Γ++-++=

在坐标系'

''

12[,,]I O

e e 下,二次曲线Γ的方程是标准方程.

求(1),'

O 在12[,,]I O e e 中的坐标,(2), '

'

12,e e 在12[,,]I O e e 中的坐标, (3),求二次曲线Γ在'

'''

12[,,]I

O e e 中的标准方程.

课程编号：MTH17014 北京理工大学

2012-2013学年第一学期

2012级本科生解析几何期末试题B 卷

姓名--------------，班级------------，学号--------------，

题目 一 二 三 四 五 六 总分

得分

一，单选题(30分)

1,已知空间五点A,B,C,D,O.满足11170.4

8

2

8

OA OB OC OD ++-=

则下面说法正确的是( )

(a), 空间五点A,B,C,D,O 一定在一个平面上. (b), 空间四点A,B,C,D,一定在一个平面上. (c), 空间五点A,B,C,D,O 一定在一个直线上. (d), 空间四点A,B,C,D 一定在一个直线上.

2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??.

3,在一仿射坐标系中,平面:23430x y z π+++=,点A(1,0,-1)和点B(0,0,0).则下面说法正确的是( )

(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.

4, 在仿射坐标系中,已知直线1210x y z -==-和直线112410

x y z --==,则下面说法正确的是( )

(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.

5, 在仿射坐标系中,已知平面0x y z ++=和直线20

y z x =

=, 则下面说法正确的是( )

(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.

6,在平面直角坐标中,二次曲线2

862612130x xy x y +--+=是( ) (a),椭圆, (b),双曲线, (c),抛物线, (d),一对相交直线.

7，在空间直角坐标系下，方程2

220x y z xy yz ++++=的图形是（ ）

(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。

8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是2

2

2x xy y z ++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面.

9,在空间直角坐标系中,下面哪个方程的图形是由一族平行直线生成( ) (a), 2

2

2

321x y z +-= (b), 2

2

42x y z -=, (c), 0xy yz zx ++= (d), 22

232x z -=

10, 在空间直角坐标系中,球面2

2

2

:4A x y z ++=

,椭球面22

2:143

x y B z ++=, 则下面说法正确的( )

(a),球面A 与椭球面B 只有两个交点, (b),球面A 与椭球面B 只有四个交点, (c),球面A 与椭球面B 只有六个交点, (d),球面A 与椭球面B 只有八个交点.

二, 填空题(30分)

1,在空间直角坐标系中,给定两点集{(,,)|30}A x y z x y z =-+=,与点集

112{(,,)|

}201

x y z B x y z -++===-.

则A 中的点到B 中的点距离最小值是 .

2,在仿射坐标系中,给定一平面:20x y z π++-=,则过点(0,1,-1)与平面π平行的平面方程是

3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面

222:(4)10x y z Γ++--=和平面方程:0y z π+=,

则二次曲面Γ上的点到平面π的最大距离是 .

4,在空间直角坐标系中,曲线22(1)1

0y z x ?-+=?=?

绕y 轴旋转的旋转面方程是

.

5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22

49

x y z -=,则在马鞍面上过点(2,3,0)的直线是 .

6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系

[;,,]I A AB AC AD 到坐标系

[;,,]I C CA CB CD 的过渡矩阵是 .

7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2

2

4410x xy y ++-=的中心是 .

8,在平面直角坐标系中,给定曲线2

2

69810x xy y y -+-+=,则它的对称轴方程是

9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2

2

0x xy y x +--=过原点的切线方程是 .

10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是

22143y x z ?+

=???=?和22

1282x y z ?+=???=-?

,则Г的方程是 .

三,在空间直角坐标系中,已知曲线222400x y z ?+-=?=?

,求经过此曲线的圆柱面方程.

四,在空间直角坐标系中,给定两个直线方程

12220210:,

:244020x y z x y l l x y z y z -++=+-=????++-=-+=??

求它们的距离和公垂线方程.

五,在空间直角坐标系中,求与两个球面

2

2

2

9x y z ++=与2

2

2

(5)4x y z ++-= 都相切的圆锥面方程.

六,在平面上有两个右手直角坐标系12[,,]I O e e ,'

'''

12[,,]I O e e ,

在坐标系12[,,]I O e e 下,二次曲线Γ的方程是

22:410422180.x xy y x y Γ++-++=

在坐标系'

''

12[,,]I O

e e 下,二次曲线Γ的方程是标准方程.

求(1),'

O 在12[,,]I O e e 中的坐标,(2), '

'

12,e e 在12[,,]I O e e 中的坐标, (3),求二次曲线Γ在'

'''

12[,,]I

O e e 中的标准方程.

北京理工大学2016-2017学年第一学期

2016级本科生解析几何期末试题B 卷

姓名________________ 班级________________ 学号________________

一、填空题（40分）

1.在空间右手直角坐标系中，给定两点集(){},,|20A x y z x y z =

++-=与点集

()1,,|231x y z B x y z -?

?===????

，则A 中点到B 中点距离的最小值为________________；

2.在空间仿射坐标系中给定一平面:210x y z π-+-=，则过点()0,1,1-与平面π平行的平面方程是________________；

3.在空间右手直角坐标系中，曲面S 的方程是2

2

21x y z -=+，点()0,0,1P S -∈，则在S 上且过点P

的直线方程是________________；

4.在空间直角坐标系下，二次方程2

2

2

0x y z yz +++=的图形是________________；

5.在空间直角坐标系中，给定二次曲面()2

2

2

:110x y z Γ++--=和平面方程:70y z π++=，则二次

曲面Γ上的点到平面π的最大距离是________________；

6.在空间直角坐标系中，曲线2231

0y z x ?+=?=?

绕z 轴旋转的旋转面方程是________________；

7.在空间给定不同面的四点A,B,C,D ，平面π在坐标系;,,I A AB AC AD ????

下的方程是20x y z ++=，

则平面π在坐标系;,,I B BC BD BA ??'??

下的方程为________________；

8.在平面仿射坐标系中，二次曲线22

2410x xy y ++-=的中心是________________； 9.在平面仿射坐标系中，二次曲线2

2

0x y y -+=过原点的切线方程为________________；

10.在空间直角坐标系中，椭球面方程222

1234

x y z ++=，球面方程222x y z r ++=，如果该椭球面与该球面有且仅有两个交点，则r =________________。

二、（10分）在空间直角坐标系中，二次曲面Γ关于三个坐标平面都对称，并且两条曲线经过它，这两

条曲线方程是2214163x y z ?+

=???=?

和2

2041

y z x ?-=???=-?，求此二次曲面的方程。

三、（10分）在一个空间右手直角坐标系中，空间曲线L 的参数方程为

3sin 4sin ,5cos x t

y t t z t =??

=-∞<<+∞??=?

。证明：曲线L 是一个圆并且求出它的半径。

四、（10分）在空间右手直角坐标系中，曲面S 的方程是222

445250x xy y z -++-=。证明曲面S 是一个柱面。

五、（10分）球面与圆锥面相切是指所有切点构成一个圆。在空间直角坐标系中，求与两个球面

2221x y z ++=与()2

2231x y z ++-=都相切的圆锥面的方程。

六、（10分）在一个平面右手直角坐标系下，曲线S 的方程是2

2

2220x xy y x ++--=，说明曲线S 是什么图形，并且求出它的对称轴所在直线的方程。

七、（10分）在平面右手直角坐标系下，椭圆的方程为22

193

x y +=。证明：过原点的任意直线将此椭圆围成的区域分成面积相等的两部分，并求出此椭圆的面积。