高二数学选修1-2全册第3章综合素质检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2010·安徽文，2)已知i 2＝－1，则i (1－3i )＝( ) A.3－i B.3＋i

C ．－3－i

D ．－3＋i

[答案] B

[解析] 该题考查复数的四则运算

i(1－3i)＝－3i 2＋i ＝3＋i ，故选B.

2．复数z ＝－1＋i

1＋i ＋1在复平面内所对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] A

[解析] z ＝－1＋i

1＋i ＋1＝1＋i ，故复数z 所对应的点为(1,1)，在第一象限．

3．复数? ????1－i

1＋i 10的值是( )

A ．－1

B ．1

C ．－32

D ．32

[答案] A

[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i

1＋i ＝－i ，(－i )10＝－1，故选A.

4．若z 1＝(x －2)＋yi 与z 2＝3x ＋i (x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在(

) A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] C

[解析] 由已知得????? x －2＝3x ，y ＝－1，∴????? x ＝－1，

y ＝－1，

∴z 1＝－3－i ，故选C.

5．对于复平面，下列命题中真命题的是( )

A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的

B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的

C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的

D ．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的

[答案] D

[解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a ，b )对应复数的实部与虚部．

6．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )

A ．－34＋i B.34－i

C ．－34－i D.34＋i

[答案] D

[解析] 方法一：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，

则x ＋yi ＋|x －yi |＝2＋i ，

即x ＋x 2＋y 2＋yi ＝2＋i ，

∴??? x ＋x 2＋y 2＝2

y ＝1

把y ＝1代入x ＋x 2＋y 2＝2中， 得x 2＋1＋x ＝2，

∴x ＝34，∴z ＝34＋i .

方法二：代入法验证答案易得．

7．复数z 满足方程|z ＋2

1＋i |＝4，那么复数z 的对应点P 组成的图形为(

) A ．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆

B ．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆

C ．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆

D ．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆

[答案] C

[解析] |z ＋2

1＋i |＝|z ＋(1－i )|

＝|z －(－1＋i )|＝4，

设－1＋i 的对应点为C (－1,1)，

则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．

8．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于(

)

A ．1＋52

i B ．－1＋52i C ．1－52

i D ．－1－52

i [答案] D [解析] 设x ＝it (t ∈R 且t ≠0)，

于是2ti －1＋i ＝y －(3－y )i ，

∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，

∴????? y ＝－12t ＋1＝－(3－y )∴????? t ＝－52y ＝－1

∴x ＋y ＝－1－52

i . 9．已知复数(x －2)＋yi (x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x

的最大值是( ) A.32

B.33

C.12

D. 3

[答案] D

[解析] 因为|(x －2)＋yi |＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，

以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤y x ≤ 3.

10．设复数z 为虚数，条件甲：z ＋1z

是实数，条件乙：|z |＝1，则( ) A ．甲是乙的必要非充分条件

B ．甲是乙的充分非必要条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件

[答案] C

[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z ＝a ＋bi (b ≠0且a ，b ∈R )，则z ＋1z ＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝????a ＋a a 2＋b 2＋????b －b a 2＋b 2i .因为z ＋1z 为实数，所以b ＝b a 2＋b 2

.因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝1，所以|z |＝1.而当|z |＝1，a 2＋b 2＝1，条件甲显然成立．

11．如果复数z 满足条件|2z ＋1|＝|z －i |，那么在复平面内z 对应的点的轨迹是( )

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

[答案] A

[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化简，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此为圆的方程．

12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是()

A．z对应的点在第一象限

B．z一定不为纯虚数

C.z对应的点在实轴的下方

D．z一定为实数

[答案] C

[解析]∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，

∴z对应的点在实轴的上方．

又∵z与z对应的点关于实轴对称．

∴C项正确．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．(2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________.

[答案]6－2i

[解析]本题考查了复数的基本运算．

∵z·z＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.

14．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋i sinβ，则复数z1·z2的实部是__________ [答案]cos(α＋β)

[解析]z1·z2＝(cosα＋i sinα)(cosβ＋i sinβ)

cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i

＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i

故z1·z2的实部为cos(α＋β)．

15．实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝________.

[答案]27或1 27

[解析]本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2

＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝1 27.

16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．

[答案] π4或54

π [解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，

所以θ＝π4或54

π. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i (3z )＝1－3i ，求z .

[解析] 将方程两边化成a ＋bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解．

设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则

x 2＋y 2－i [3(x ＋yi )]＝1－(3i )，

即x 2＋y 2－3y －3xi ＝1＋3i ，

由复数相等得?????

x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3 解得????? x ＝－1y ＝0或?????

x ＝－1y ＝3 ∴z ＝－1或z ＝－1＋3i .

18．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i (x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．

[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得

x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，

根据复数相等的充要条件，得

?????

x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2.

方程②的解为x ＝－3或x ＝6.

所以实数x 的值为－3.

[点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．

19．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ，

(1)求w ＝z 2＋3z －4

(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1

＝1－i ，求实数a 、b . [解析] (1)w ＝－1－i

(2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋ai ＋b (1＋i )2－1－i ＋1

＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i

＝(a ＋2)－(a ＋b )i

∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i

∴a ＝－1 b ＝2

20．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，求a 和b .

[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋yi (x ，y ∈R )

则b ＝x －yi ，

由(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，得

(2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，

即?

???? 4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴????? x 2＝1y 2＝1 ∴?????

x ＝±1y ＝±1 ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ；

a ＝1－i ，

b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i .

21．(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝5－5i 2＋i

无解． [证明] 原方程可化简为|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝1－3i .

设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，代入上述方程，整理得

x 2＋y 2－2xi －2yi ＝1－3i ，根据复数相等的充要条件，

得?????

x 2＋y 2＝1， ①2x ＋2y ＝3. ② 将②代入①，消去y 整理，得8x 2－12x ＋5＝0.

因为Δ＝－16<0，所以上述方程无实数解．

所以原方程在复数范围内无解．

[点评] 本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．

22．(本题满分14分)复数z 满足|z ＋i |＋|z －i |＝2，求|z ＋1＋i |的最大值与最小值．

[解析] 在复平面内，|z ＋i |＋|z －i |＝2表示复数z 对应的点Z 到点A (0，－1)，B (0,1)的距离之和为2，而|AB |＝2，所以点Z 的轨迹为以A ，B 为端点的线段(包括两端点)．而|z ＋1＋i |＝|z －(－1－i )|表示点Z 到点C (－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB 上的点到点C 的距离的最大值与最小值，如右图．

易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝5，

|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.

[点评]本题主要考查复数|z－z1|的几何意义，即|z－z1|表示复数z与z1对应的两点之间

的距离．利用数形结合法是求解本题的关键．