第六章平稳随机过程
第六章 平稳随机过程 6.1平稳过程的概念与例子
第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变 . 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程. 例6.1 设,...}2,1,0,{,±±=n X n 是实的互不相关随机变量序列,且,0][=n X E
2
][σ
=n X D ,试讨论随机序列的平稳性.
解 因为,0][=n X E ???≠===--,
0,00,],[),(2ττσττ
n n X X X E n n R 其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳序列.
在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型.
例6.2设,...}2,1,0,{,±±=n Z n 为复随机序列,且,0][=n Z E mn n m n Z Z E δσ2][=,
,...)
2,1,0(,2±±=∞<∑∞
-∞
=n w n n n
σ
为实数序列.对于每一个t,可以证明级数
t
iw n n
n e
Z
∑∞
-∞
=在
均方意义下收敛.令
X(t)=
t
iw n n n e
Z ∑
∞
-∞
=
利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得
E t X E =)]([[
t
iw n n
n e
Z
∑∞
-∞
=]=0,
[
)]()([E t X t X E =-τt
iw n n n e
Z ∑
∞
-∞
=,
])
(∑
∞
=
∞--n t iwm m e
Z τ
=
τ
n iw n n
e
Z
E 2∑∞
-∞
=.
所以X(t)为平稳过程.
物理上,cos(wt),sin(wt)或iwt e 都是描述简谐振动的,t iw n n n
e t w t w ),sin(),cos(都可
以看作具有随机振幅的简谐振动.上述例题说明,若不同频率的随机振幅互不相关,则这种简谐振动的有限项甚至无限项的加(只要它是均方收敛的)都是平稳过程. 例6.3 设随机{N(t),}0≥t 是具有参数λ的泊松过程,随机过程{X(t),t }0≥定义为:若随机点在[0,t]内出现偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t)=-1, (1) 讨论随机过程X(t)的平稳性; (2) 设随机变量V 具有概率分布, ,
21}1{}1{===-=V P V P
且与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)平稳性.
解 (1)由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在[0,t]内随机点出现k 次的概率
,...
2,1,0,!
)()(==-k k t e t P k
t
k λλ 故
),
(....}
!
4)(!
2)(1[...
)()(}1)({4
2
20t ch e
t t e
t P t P t X P t
t
λλλλλ--=++
+=+++==
),
(....}
!
5)(!
3)([...)()(}1)({5
3
31t sh e
t t t e t P t P t X P t
t
λλλλλλ--=++
+
=+++=-=
于是,
)(..1)(.1)]([)(t sh e t ch e t X E t m t t X λλλλ---===.2t e λ- 故X(t)不是平稳过程.其他略.
例6.4 设有状态连续,时间离散的随机过程),2sin()(Qt t X π=其中Q 是(0,1)上均匀分布的随机变量,t 只取整数值1,2,…,试讨论随机过程X(t)的平稳性. 解 因为
?
?
=
=
=1
2s i n ()()2s i n ()]2{sin()]([π
ππdq q f qt Qt E t X E qt)dq=0,
?-=
-=-1
)](2sin[)2sin()]()({),(dq t q qt t X t X E t t R τππττ
=
?????≠==--?,
0,0,0,21
]])2(2cos[)2[cos(21
1
0τττππτdq q t q
所以X(t)是平稳过程.
现在我们用此例说明宽平稳过程不一定是严平稳过程.事实上,令1t t =,由于状态11)(x t X =对应两个q 值,即 1
112)a r c s i n (t x q π=
,1
122)
arcsin(t x q ππ-=
于是得随机过程的一维概率密度为 ()
.11
)
(),(2
1
11
221
1111x
t dx dq q f dx dq q f x t f -=
+=π
可见X(t)的一维概率密度与时间t 有关,故X(t)只是宽平稳过程.,而不是严平稳过程.
例6.5 设X(t)=Xf(t)为复随机过程,其中X 是均值为0的实随机变量,f(t)是t 的随机函数..试证X(t)是平稳过程的充要条件是q
w c i ce t f q wt i ,,,1,)()(-==+为常
数.
证明 充分x 性:令,)()(q wt i ce t f +=记D[X]=2σ,因为E{X}=0,故 0)]([)]([)(===t Xf E t X E t m X , 由于)]()([),(ττ-=-t X t X E t t R X
=,.][22)])([)(22ττσiw q t w i q wt i e c e e c X E =+--+ 所以X(t)是平稳过程.
必要性:设X(t)是平稳过程,则
)]()([),(ττ-=-t X t X E t t R X =),()(][2τ-t f t f X E 上式必须与t 无关,取,0=τ有22
)(c t f =(常数). 因此)(,)()(t ce t f t i ??=为实函数,于是
))].()((e x p [)()(2τ??τ--=-t t i c t f t f 上式应与t 无关,故
,
0)]()([=--τ??t t dt
d 于是,)(q wt t +=? 故 q
w c i ce
t f q wt i ,,,1,)()
(-=
=+为常数.
6.2 联合平稳过程及相关函数的性质
一,联合平稳过程
对于两个平稳过程的联合分布和数字特征的讨论,可以用类似于第二章的方法.下面主要讨论两个平稳过程的联合平稳问题.若将两个平稳过程X(t)和Y(t)同时输入加法器中,加法器的输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t)是否平稳的问题.
首先分析输出过程的要求的平稳条件.由
)]()([τ-t W t W E =}]()()]{()({[ττ-+-+t Y t X t Y t X E
=])()({[τ-t X t X E +)]()([τ-t Y t Y +)]()([τ-t Y t X +})]()([τ-t X t Y =++)()(ττY X R R )]()([τ-t Y t X E +)]()([τ-t X t Y E .
上式最后两项是X(t)和Y(t)的互相关函数,一般情况下,它们与t 有关,为使输出过程W(t)是平稳,必需要求输入的两个平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数与t 无关. 定义 6.1设}),({T t t X ∈和}),({T t t Y ∈是两个平稳过程,若它们的互相关函数
)]
()([τ-t Y t X E 及)]()([τ-t X t Y E .仅与τ有关,而与t 关,则称X(t)和Y(t)是联合平
稳随机过程. 由定义有
),()]()([),(τττXY XY R t Y t X E t t R =-=- ),
()]()([),(τττYX YX R t X t Y E t t R =-=-.
当两个平稳过程X(t),Y(t)是联合平稳时,则它们的和W(t 是平稳过程,此时有 )]()([τ-t W t W E =++)()(ττY X R R )(τXY R +)(τYX R =).(τW R 二,相关函数的性质
平稳过程X(t)的相关函数).(τX R 具有如下性质.
定理6.1 设}),({T t t X ∈为平稳过程,则相关函数具有下列性质: (1) ;0)0(≥X R (2) )().(ττX X R R =-;(3));0()(X X R R ≤τ
(4) ).(τX R 是非负定的,即对任意实数n t t t ,...,,21及复数,,..
.,21n a a a 有0),(1
,≥∑
=j i j i n
j i X a a t t R
;
(5)若X(t)是周期为T 的周期函数,即X(t)=X(t+T),则)()(T R R X X +=ττ; (6)若X(t)是不含周期分量的非周期过程,当∞→τ时,X(t)与X(t+τ )
1
X
X X m m R =∞
→)(lim
ττ.
证明 由平稳过程相关函数定义,得
(1) =)0(X R .0])([])()({[2
≥=t X E t X t X E (2) =)0(X R =])()({[τ-t X t X E =)(τ-X R ; (3)由许瓦兹不等式有
])()([]
)()([)
(2
2
2
τττ-≤-=t X t X E t X t X E R X
≤-≤])([])([2
2
τt X E t X E 2
)]
0([X R
(4) 第二章定理2.2已证.
X X m m =
类似地,联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数有下列性质: (1) );0()0()(Y X XY R R R ≤τ);0()0()(Y X YX R R R ≤τ (2) ,)().(ττYX XY R R =-
例6.6设X(t)=Asin(wt+Q),Y(t)=Bsin(wt+Q-h)为两个平稳过程,其中A,B,w 为常数,Q 在π2,0()上服从均匀分布.求).(),(ττYX XY R R
解 )]()([)(ττ-=t Y t X E R XY =)]sin()sin([h Q w wt B Q wt A E -+-+τ =dq
h q w wt q wt AB π
τπ21)
sin()sin(20
?-+-+
=
).cos(2
1h w AB +τ
同理=
)(τYX R ).cos(2
1h w AB -τ
6.3随机分析 一,收敛性概念
由微积分知,若对于任给,0>ε都存在正整数N,使对一切n>N,恒有不等式 ε<-a x n (6.1) 成立,则称序列}{n x 以a 为极限,记作a
x n n =∞
→lim
.
对于概率空间),,(P ?Ω上的随机序列}{n X ,每个试验结果e 都对应一序列
),...(),...,(),(21e X
e X e X n (6.2)
故随机序列}{n X 实际上代表一族(6.2)式的序列,故不能用(6.1)式定义整个族的收敛性.如果(6.2)式对每个e 都收敛,则称随机序列}{n X 处处收敛,即满足 X
X n n =∞
→lim
.
下面介绍随机序列在较弱意义下的收敛定义,它们不一定要求对每个e 都收敛. 定义6.2 称二阶矩随机序列)}({e X n 概率1收敛于二阶矩随机变量X(e),若使
)()(lim
e X e X n n =∞
→
成立的e 的集合的概率为1,
,1)}()(lim
:{==∞
→e X e X e P n n
或称 )}({e X n 几乎处处收敛于X(e),记作..X X e a n →
定义6.3称二阶矩随机序列)}({e X n 依概率收敛于二阶矩随机变量X(e),若对任意,0>ε有
0})
()({lim
=≥-∞
→εe X e X P n n ,.X X P
n →
记作.X X P n →
定义 6.4 设有二阶矩随机序列}{n X 和二阶矩随机变量
0][lim
2
=-∞
→X
X E n n (6.3)
成立,则称}{n X 均方收敛于X,记作..X X s m n → (6.3)式的极限常写作 X
mX
i l n
=..
定义6. }{n X 称二阶矩随机序列依分布收敛于二阶矩随机变量X,若}{n X 相应的分布函数列)},({x F n 在X 的分布函数F(x)的每一个连续点处有
),()(lim
x F x F n n =∞
→
记作 .X X d n →
对于以上四种收敛定义进行比较有下列关系: (1) ..X X s m n → 则 .X X P n →
(2) ..X X e a n →则 .X X P n → (3) .X X P n → 则 .X X d n → 下面只给出(1),(2)的证明. 证明(1)由切比雪夫不等式得 2
2
]
[}{ε
εX
X
E X X P n
n -≤≥-
若有0][lim
2
=-∞
→X
X E n n ,则对任给,0>ε有
0}{lim
=≥-∞
→εX
X P n n
(2)由,1}{lim
==∞
→X X P n n 故,1}0{lim
==-∞
→X X P n n
因此, 对任给,0>ε有 ,1}{lim
=<-∞
→εX X P n n .0}{lim
=≥-∞
→εX X P n n
以下只讨论最简单的均方收敛.
定理 6.2二阶矩随机序列}{n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件为
0][lim
2
=-∞
→m
n n X X E
定理6.3 设n X {},}{n Y ,}{n Z 都是二阶矩阵随机序列,U 为二阶矩随机变量,}{n c 为常数序列,a,b,c 为常数.令,..X mX i l n
=,..Y mY i l n =,..Z mZ
i l n
=,..c mc i l n =则
(1) ;lim
..c c mc i l n n n ==∞
→
(2) ;..cU U mc i l n =
(3) ,)(..bY aX bY aX m i l n n +=+ (4) ];..[][][lim
n n n n X m i l E X E X E ∞→∞
→==
(5)];..[][][lim n n mX i l E X E X E ==
(6) ];..)(..[(][][lim m n m n Y m i l mX i l E Y X E Y X E == 特别有 ];
..[][][lim 22
2
n
n
mX
i l E X
E X E ==
证明 (1),(2),(3)由均方收敛定义可证.
(4)因为当∞→n 时,有
])([2
bY aX bY aX E n n +-+=
.0][2][22
2
2
2
→-+-≤Y
Y E b X
X E a n n
由均方收敛定义知(4)得证. (5)由许瓦兹不等式有
,1].[)1.()[(2
22Y E Y E Y E ≤=
令X X Y n -=,代入上式,得到
2
]{][0X E X E n -≤2
][X X E n -=),(,0][2
∞→→-≤n X X E n 所以, ]...[][][.n n n mX i l E X E X E im l ==∞→ (6)由许瓦兹不等式,有
=-][][Y X E Y X E m n =-][Y X Y X E m n ==-++--]2))([(Y X Y X Y X Y Y X X E m n m n
==-+-+--])[(})[()])([(X Y Y E Y X X E Y Y X X E m n m n
),
,(,0}
{}
{}
{2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
∞→→-+-+--≤m n X E Y
Y E Y E X
X E
Y
Y E X
X E
m n m n
所以, ]...)(..[(][][lim m n m n Y m i l mX i l E Y X E Y X E ==
定理6.4设}{n X 为二阶矩阵随机序列,则}{n X 均方收敛的充分必要条件为下列极限存在:].[lim
,m n m n X X E ∞
→
证明 必要性由定理6.3之(6)易知.现在证充分性.设 c X
E X X E m n m n ==∞
→2
,].[lim ,
由]2[2
2
2m m n n
m n X X X X E X X E +-=-
]2[2
2
m
m n n
X E X X E
X E +-=
,02lim
2
,=+-=-∞
→c c c X X
E m
n
m n ,
根据定理6.2知}{n X 均方收敛.
以上讨论了具有二阶矩的随机序列均方极限的性质.对于一般的二阶矩过程
}),({T t t X ∈,可以类似地定义它的均方极限,且有类似的均方极限性质.
二,均方极限
下面在讨论随机过程}),({T t t X ∈的均方连续导数积分等概念中,假定
}),({T t t X ∈是二阶矩过程,参数集
T 为直线上一个有限区间(可以为}
),({T t t X ∈无穷区间).
定义6.6 设有二阶矩过程}),({T t t X ∈,若对每一个t T ∈,有 ,0])()([lim
2
=-+→t X h t X E h
则称X(t)在t 点均方连续,记作).()(...t X h t mX i l =+若对T 中一切点都均方连续,则称X(t)在T 上均方连续. 考虑到
=-+])()([2
t X h t X E ),(h t h t R X ++-),(h t t R X +-),(t h t R X ++)
,(t t R X (6.4)
定理6.5(均方连续准则) 二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方连续的充要条件为相关函数),(21t t R X 在(t,t)处连续.
证明 必要性;若).()(...t X h t mX i l =+则由定理6.3之(6)得 )].
()([lim
),(lim
21,21,2121t X t X E t t R t
t t t X t
t t t →→→→=. 充分性:若),(21t t R X 在(t,t)处连续,令(6.4)式的0→h 取极限即可得证.. 推论 若相关函数),(21t t R X 在{(t,t),}T t ∈上连续,则它在T T ?上连续.
证明 若在),(21t t R X 在{(t,t),t }T t ∈处连续,则由定理6.5知X(t)在T 上均方连续,故
),()(..11
t X s X m i l t s =→),()(..22
t X s X m i l t s =→
再由定理6.3之(6),故
)].()([lim
),(lim
2
12
1,,t X s X E t s R t t t s X t t t s →→→→===)].()([21t X t X E ),(21t t R X ,
知),(21t t R X 在T T ?上连续. 三,均方导数
定义6.7 设有二阶矩过程}),({T t t X ∈,若存在另一个随机过程)(t X '满足 则称X(t)在t 点均方可微,记作 h
t X h t X m i l dt
t dX t X h )
()(..)()(0
-+==
'→.
并称)(t X '为X(t)在t 点的均方导数.若X(t)在T 上每一点t 均方可微,则称它在T 上均方可微.
类似地,若随机过程}),({T t t X ∈'在t 点均方可微,则称X(t)在t 点二次均方可微.
)(t X '的均方导数记为
)(t X ''或
2
2
dt
X d
并称它为二阶矩过程X(t)的二阶均方导数.同理可定义更高阶均方导数. 为了叙述均方可微准则,我们把相关函数),(21t t R X 的如下极限(若存在)
]
)
,(),()
,(),([lim
2
1212212
121122110
,021h h t t R h t t R h h t h t R h t h t R X X X X h h -+-
+-++→→
称为),(21t t R X 在点),(21t t 的广义导数,记作
2
1212
),(t t t t R X ???.
定理6.6 (均方可微准则)二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方可微的充要条件为相关函数),(21t t R X 在点(t,t)的广义二阶导数存在. 证明 由定理6.4知,X(t)在t 处均方可微的充要条件为 1
10
0)
()([
lim
121h t X h t X E h h -+→→][
])
()(2
2h t X h t X -+
存在.将上式展开
上式极限存在的充要条件为),(21t t R X 在(t,t)处的广义导数存在.
]
)
,(),()
,(),([lim 2
12211210
,021h h t t R h t t R h h t h t R h t h t R X X X X h h -+-
+-++→→
推论1 二阶矩过程 }),({T t t X ∈ 在T 上均方可微的充要条件为相关函数
),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微.
推论2若),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微,则
dt
t dm
X
)
(在T 上以及
),
,(211
t t R t X ??
),,(212
t t R t X ??
),
,(212
12
t t R t t X ???
在T T ? 上存在,且有
(1)
)];([)]
([)(t X E dt
t X dE dt
t dm X '==
(2) 1 (3)
)];()([)]()([),(21212
212t X t X E t X t X E t t t R t X '=??=
??
(4)
)].()([)]()([),(21212
12
212
12
t X t X E t X t X E t t t t R t t X ''=???
=
???
证明(1)由推论1知)(t X '存在,又由定理6.3之(5),有
)];
([])
()(.,[])
()([
lim
)]
([)]([lim
)]
([)
(0
t X E h
t X h t X m i l E h
t X h t X E h
t X E h t X E dt
t X dE dt
t dm
h h h X
'=
-+=-+=-+==
→→→
(2)由定理6.3之(6)
)].
()([)]()
()(..[)]()
()([
lim
)]
()([),(212110
2110
211
211
t X t X E t X h
t X h t X m i l E t X h
t X h t X E t X t X E t t t R t h h X '=-+==
-+=??=
??→→
其余各式类似可证.
推论2表明数学期望运算与导数运算可以交换顺序.
此外,均方导数还有类似于普通函数导数的性质,如导数唯一性;X(t)均方可微,则它均方连续;任一随机变量X(或常数)的均方导数为零;等等. 四,均方积分
设二阶矩过程 }),({T t t X ∈,f(t)为普通函数,其中T=[a,b]用一组分点将T 划分如下:
b t t t a n =<<<=...10 记n i i n
i t t ?=--≤≤)}{(max
11,作和式
].,[),)(()(111
i i i i i i n
i i n t t t t t t X t f S --=∈'-''=
∑
定义6.8 如果当0→?n 时,n S 均方收敛于S,即,0lim 0
=-→?S S E n n
则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积,并记 0
..)()(→?==
?
n m i l dt t X t f S b
a
).)(()(11
-=-''∑
i i i n
i i t t t X t f
(6.5)
称(6.5)式为f(t)X(t)在区间[a,b]上的均方积分.
定理6.7 (均方可积准则)f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为
212121),()()(t d dt t t R t f t f X b a
b
a
??
存在,特别地,二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为),(21t t R X 在[a,b]?[a,b].上可积.
定理6.8 设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积,则有 (1) ?
?=
b
a
b
a dt t X E t f dt t X t f E )]([)(])()([; (2) ])()()()([222111?
?b
a b a
dt t X t f dt
t X t f E =212121),()()(t d dt t t R t f t f X b
a
b
a
?
?
证明 (1)由定理6.3之(5),
=?])()([b
a
dt t X t f E ).])(()(..[11
-=-''∑i i i n
i i t t t X t f m i l E
==
-''-=→?∑)])(()([lim
11
i i i n
i i t t t X t f E n ?
b
a
dt t X E t f )]([)(.
类似地由定理6.3之(6)可证明(2)式.
定理6.8表明,若f(t)X(t)均方可积,则数学期望积分两种运算可以交换顺序. 均方积分有类似于普通函数积分的许多性质,如唯一性,分部积分公式等等. 定理6.9 设二阶矩过程}),({T t t X ∈在区间[a,b]上均方连续, ,,)()(b t a dv v X t Y t
a
≤≤=
?
在均方意义下存在,且随机过程}),({T t t Y ∈在区间[a,b]上均方可微,且
).()(t X t Y ='
推论 设X(t)均方可微,且)(t X '均方连续,则 ?
'=
-t
a
ds s X a X t X )()()(. (6.6)
例6.7 设}),({T t t X ∈是实均方可微过程,求其导数过程}),({T t t X ∈'的协方差函数).,(t s B X ' 解由(6.6)式
?
'=
-t
a
X x X ds s m a m t m )()()(,
)
()(t m dt
t dm X X '=
所以,='),(t s B X )]()()][()([t m t X s m s X E X X ''-'-'= =)]()()]()([t m s m t X s X E X X ''-''=)()(),(t m s m t s R X X X '''- =
)]()(),([2
t m s m t s R t
s X X X -???
=
).,(2
t s B t
s X ???
6.4 平稳过程的各态历经性
平稳随机过程的统计特征完全由其前二阶矩函数确我们知道,对固定的时刻t,均值函数和协方差函数是由随机变量X(t)的取值在样本空间Ω上的概率平均,是由X(t)的分布函数确定,常很难求得.实际上,如果我们已经
样本记录,是否可由此获得平稳过程的数字特征的充分依据,即时间取平均来代替统计平均呢?为此,我们来回顾一下大数定律.
设独立同分布的随机变量序列,...},
2,1,{=n X n 具有
2
][,][σ
==n n X D m X E ,(n=1,2,…),则
.1}1{
lim
1
=<-∑
=∞
→εN
k k
N m X
N
P
这里若将随机序列,...}2,1,{=n X n 看作具有离散参数的随机过程,则
∑=N
k k
X N
1
1为
随机过程的样本函数按不同时刻取平均,它随样本不同而变,是个随机变量.而
][n X E m =是随机过程的均值,即任意时刻的过程取值的统计平均.大数定律表明,
随时间n 的无限增长.随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均.即只要观测的时间足够长,则随机过程的每个样本函数都能遍历各种可能状态.随机过程的这种特性即遍历性或埃尔古德性或叫各态历经性.
根据随机过程的定义知,对于每一个固定的t ,T ∈X(t)为一个随机变量,
)()]([t m t X E X =即为统计平均;对于每一个固定的Ω∈e ,X(t)即为普通的时间函
数,若在T 上对t 取平均,即时间平均.
定义6.9 设}),({∞<<-∞t t X 为均方连续的平稳过程,则分别称 ?
-∞
→=T
T
T dt
t X T
m i l t X )(21..)(
?
-∞
→-=-T
T
T dt
t X t X T
m i l t X t X )()(21..)()(ττ
为该过程的时间均值和时间相关函数.
定义6.10 设∞<<-∞t t X ),({为均方连续的过程平稳过程,若)]([)(1.Pr t X E t X =,即
X
T
T
T m dt t X T
m i l t X ==?
-∞
→)(21..)( (6.7)
以概率1成立,则称该平稳过程的均值具有各态历经性.即
).
()()(21..)],()([)()(1
.ττττX T
T
T pr R dt t X t X T
m i l t X t X E t X t X =--=
-?
-∞
→即
(6.8)
以概率1成立,则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性.
定义6.11 如果均方连续的平稳过程}),({∞<<-∞t t X 的均值和相关函数都具有各态历经性,则称平稳过程为具有各态历经性或遍历性.
从上面的讨论知,随机过程的时间平均是对给定的e,样本函数对t 的积分值再取平均,显然积分值依赖于e,故一般地,随机过程的时间平均是个随机变量.如果X(t)是各态历经过程,则)()(,)(τ-t X t X t X 不再依赖于e,而是以概率1分别等于 E[X(t)]和E[X(t))](τ-t X .这一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的,于是对随机过程的时间平均也可以由样本函数的时间平均来表示,且可以用任一个样本函数的时间平均代替随机过程的统计平均.另一方面也表明E[X(t)]和E[X(t))](τ-t X 必定与t 无关,即各态历经过程必是平稳过程.但是,平稳过程在什么条件下才具有各态历经性呢?下面先讨论平稳过程的均值具有遍历性的条件.
定理6.10设∞<<-∞t t X ),({}为均方连续的平稳过程,则它的均值具有各态历经性的充要条件为 0
))()[21(21
lim
2
22=--
?
-∞
→τττ
d m R T
T
X
x T
t
T (6.9)
定理6.11设∞<<-∞t t X ),({}为均方连续的平稳过程,则它的相关函数具有各态历经性的充要条件为 0))()()[21(21
lim
2
1221
=--
?
-∞
→ττττd R B T
T
X T
t
T
(6.10)
其中 )].()()()([)(111τττττ----=t X t X t X t X E B
例6.8 设有随机相位过程X(t)=acos(wt+Q),a,w 为常数,Q 为)
2
,0(π
上得服从均
匀分布的随机变量.问X(t)是否为各态历经过程. 解 因为 021)
c o s ()]([20
=+=
?
dq q wt a t X E π
π
,
)]cos()cos([),(Q w wt Q wt a E t t R X +-+=-ττ =dq q w wt q wt a
)cos()cos(220
2
+-+?
τπ
π
=
),()cos(2
2
ττX R w a
=
?
-∞→+=T
T
T dt
Q wt a T
m i l t X )cos(21..)( =w
Q wT Q wT T
a m i l T )
sin()sin(2..+--+∞
→=0,
故有)].([)(t X E t X = 又因为
?
-∞
→+-+=-T
T
T dt
Q w wt Q wt a T
m i l t X t X )2cos()cos(21..)()(2
ττ),cos(2
)22cos()[cos(2
121..2
2
τττw a
dt Q w wt w a
T
m i l T
T
T =
+--=?
-∞
→
故).()()(ττX R t X t X =-
过程X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性,所以随机相位过程是各态历经的. 例6.9 讨论随机过程X(t)=Y 的各态历经性,其中Y 是方差不为零的随机变量. 解 X(t)=Y 是平稳过程,事实上 X m Y E t X E ==][)]([(常数),
,][][),(2
2X
x m Y D Y E t t R +==-τ(与t 无关). 但是此过程不具有各态历经性,因为
?
-∞
→==T
T
T Y Y d t T
m i l t X ,
21..)(
Y 非常数,不等于E[X(t)],所以X(t)=Y 的均值不具有各态历经性.类似可证其相关函数也不具有各态历经性.
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
期末随机过程试题及标准答案
《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程 1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。 二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=- 如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ? 100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(， 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数， 表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 若已知100 100!1 !(100)()!2 k k k P A -= ，则2f dP Ω=? . 0 2 10(),2550 2525k k kP A =+=∑ 4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度 2,01,0, (,)0,x y x f x y <<<? =??? 其他，20(1())E X t dt π ω=? 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1 ()()X t W t =，则相关 函数2 (1,2)2 X R σ= . 7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为 0.50.500.50.500.20.30.5P ?? ?= ? ??? 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24，共12小题，每空1分） 1、数字通信系统的有效性用 传输频带利用率 衡量，可靠性用 差错率 衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可 连续 取值的信号，数字信号是指信号的参量可 离散 取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与 时间 无关，自相关函数只与时间间隔有关。 4、一个均值为零方差为2 n σ的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5、当无信号时，加性噪声是否存在？ 是 乘性噪声是否存在？ 否 。 6、信道容量是指： 信道传输信息的速率的最大值 ，香农公式可表示为： )1(log 2N S B C + =。 7、设调制信号为f （t ）载波为t c ωcos ，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([2 1 c c F F ωωωω-++。 8、对最高频率为f H 的调制信号m （t ）分别进行AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为 2f H 、 2f H 、 f H 。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为 2W 波特。 10、PSK 是用码元载波的相位来传输信息，DSP 是用前后码元载波的 相位差 来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰，二是传输中叠加的 加性噪声 。 12、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时，A 律对数压缩特性采用 13 折线近似，μ律对数压缩特性采用15 折线近似。 （已经编辑到115页2008-3-20） 第四章随机过程 （电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01） 1. 随机过程的概念及其分布律 原书91-132页90 第四章随机过程 为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。 1、随机过程的概念及其分布律 孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。 然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。 当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91 的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。 图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为 T=T(y,d) （4．1） 图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、 式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞ ? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞ ? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又随机过程试题及答案
第十二章 平稳随机过程
学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
平稳随机过程
随机过程复习试题及答案
随机过程试题及答案
平稳随机过程及其数字特征
随机过程复习题(含答案)
随机过程-习题-第4章-01
随机过程-习题-第4章
随机过程复习题(含答案)演示教学
《随机过程答案》第四章习题
北邮研究生概率论与随机过程试题及答案
最新通信原理期末考试试题及答案-(1)
第四章随机过程
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述