范德蒙行列式的应用

幂零矩阵性质及应用

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题实行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A 为n 阶方阵，若存有正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。

2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。

3、设11

11

n n nn a a A a a ??

?=

?

???

，称11

11n n nn a a A a a ??

?

'= ? ???为A 的转置， 称11

1*1n n

nn A A A A A ??

?

=

? ???

为A 的伴随矩阵。 其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式

4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。

5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。

6、形为

010(,)000001J t λλλλλ?? ? ?

?= ? ? ???

的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。

7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。

8、次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。

（二）、一些引理

引理1：设A ，B 为n 阶方阵，则()()*

**,AB B A AB B A '''==

引理2：(),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则

有()0,()0A f A m A ==。

引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若

当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形。

引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。

引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根。

引理6：相似矩阵具有相同的特征值。 引理7：设12,,

,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，

12n A λλλ=?

?，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为

12(),(),,()n f f f λλλ。

引理8：k 阶若当块11

k a J a ?? ?

?= ? ??

?

的最小多项式为()k x a -且有()0k k J aE -=。

引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子。

引理10：A ，B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存有可逆矩阵T ，使得

112

2

11n n T AT T BT λμλμλμ--????

? ?*

*

? ?== ? ? ? ??

??

?

。 引理11：任意n 阶A ，B 方阵，有()()tr AB tr BA =。

二、 幂零矩阵的性质

（下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高

等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零矩阵的十一条性质） 性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0。 证明：?

A 为幂零矩阵 k Z +∴?∈ .0k s t

A =

令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00

.k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ=

又有0k A =，知00k

k A A A ==?= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-?= 00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ?

A 的特征值全为0

A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。 得证 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0k k Z trA +?∈=。

证明：?

A 为幂零矩阵，由性质1，知：

A 的特征值全为0 即120n λλλ==

==

由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ==

==

从而有 120k k k k n trA λλλ=++

+=

?由已知，120

k k k k n k Z trA λλλ+

?∈=++

+=(1.1)

令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值

且i λ互不相同重数为(1,2,

,)i

n i t =

由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222

1122333

112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=???

?+++=?

(1.2)

因为方程组（1.2）的系数行列式为

12222121212

12121211

11

()

t t t t

t

t

t

t

t

t

t t t i j j i t

B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=

==∏-

又(1,2,)i

i t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠

从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,

,)i n i t ==

即A 没有非零的特征值

A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证

性质3：若A 为幂零矩阵，则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J

和主对角线上的元素为0

证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A

的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存有可逆矩阵T ，使得

12

1

s J J T AT J -??

?

?= ? ??

?

其中11

i i i J λλ?? ?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

由引理4，知(1,2,

,)i i s λ=为J 和特征值

又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,

,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0

由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===

12,,

,s J J J 为幂零矩阵 得证

性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴?∈ .0k s t

A =

00k

k A A A ∴==?= A 一定不可逆

由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====

由引理7，得

,A E E A +-的特征值分别为

1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=

且有1211n n A E λλλ'''+=== 1211n n E A λλλ''''

''-===

即1,1A E E A +=-= 得证 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,

,n λλλ为A 的特征值

若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 12

0n A λλλ==

∴至少存有0i λ=0为A 的特征值

又由引理7，得 0110i λ+=≠为A E +的一特征值

这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化

性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零

矩阵 证明：

A 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴?∈=

又AB BA = ()00k k k k AB A B B ==?= AB ∴也为幂零矩阵 得证

性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=+++

+

121

1

23111

1()(1)(0)k k k

mE A E A A A m m m m

m ---+=

-+++-≠

证明：

0k A = k k k E E A E A ∴=-=-

21()()k E A E A A A -=-++++

即121()k E A E A A A ---=++++

任意0m ≠，有

[(

)]k k k k k

A mE mE A mE A m E m

∴=+=+=+ 21

1

121

11

1()((1))k k k A m E E A A A m m m

m ---=+

-+++-

2

1

112

1

111

()((1))k k k mE A E A A A m m m

---=+-+++- 即有21

1

121

111

1()((1))k k k mE A E A A A E m m m

m

---+?

-+++-=

1211121211

231111()((1))111(1)k k k k k k mE A E A A A m m m m

E A A A m m m m

------∴+=

-+++-=-+++-

性质8：若A 为幂零矩阵且A 0≠，则A 不可对角化

但对任意的n 阶方阵B ，存有幂零矩阵N ，使得B N +可对角化 证明：

A 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴?∈=且A 的特征值全为零

()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A == 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ 从而有0

0()(1)k A m k n λλ=≤≤

因为0A 0,k 1≠∴>，又此时 0

0()2k A m k λλ=≥

即A 的最小多项式有重根，由引理5，知 A 不可对角化 B 为n 阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存有可逆矩阵T ，使得

12

1

s J J T BT J -??

?

?= ? ??

?

其中1

1

i i i J λλ?? ?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

令 i i

i i D λλλ??

?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

则有01

1

0i i i J J D ?? ?

?'=-= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-?== 即i J '为幂零矩阵(1,2,

,)i s =

现令12s J J J J ??' ? ?'

'= ? ? ? ?'??

1

2

s D D D D ?? ?

?= ? ??

?

1112

122

s s s J D J J J D T BT J D J J D -?

?'+?? ?

? ?

'+

?'===+ ? ? ? ? ?

??

?'+?

?

即111

()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+

又D 为对角阵，由（1）式知 11B TJ T TDT --'-=可对角化 令N =1TJ T -'- 且取 12max(,,

,)s k n n n = 则有

120k

k

k

k s J J J J ??' ? ?''==

? ? ? ?'?

?

111

1

1

2()()()()()00k k

k k k k k

k k s J J N TJ T T J T

T T T T J ----??' ? ?'''=-=-=-=-=

? ? ? ?'?

?

即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵 得证

性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶

数最高的若当块的阶数

证明；令A 为n 阶幂零矩阵 由性质3知， 存有可逆矩阵T 使得

12

1s J J T AT J -??

?

?= ? ??

?

其中01

1

0i J ?? ?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

且()0i n i J = 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=

取12max(,,

,)s k n n n =，则k n ≤ 且有

112

1112()00(1.5)

k k

k k k s s J J J J A T T T T T T J J ---??

??

?

?

?

?===??= ? ?

? ? ????

?

即0k A =

若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤ 00k A = 若0k k <，则000.i i s t n k ?> 且000k i J ≠

由（1.5）式，得

00

0001

12

112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --??

??

?

?

?

?==≠ ? ?

? ? ??

??

?

这与00k A =矛盾。 0k k n =≤ 得证

性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三

角形

证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0

若B 与A 相似 由引理6，得 A 与B 有相同的特征值 B ∴的特征值也全为0，由性质1，知 B 也为幂零矩阵 A 为幂零矩阵由性质3知， 存有可逆矩阵T 使得

12

1s J J T AT J J -??

?

?== ? ??

?

其中01

10i J ??

?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

且()0i n i J = 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=

由性质9，知 12max(,,

,)A s k n n n =为A 的幂零指数

又A 与B 相似，A 与J 相似 从而有B 也与J 相似

∴?可逆矩阵P 使得12

1

s J J P BP J J -??

?

?== ? ??

?

又由性质9，知 12max(,,,)B s k n n n =为B 的幂零指数

从而有 A B k k =

又01

10i J ??

?

?= ? ??

?

(1,2,,)i s =为严格上三角

12s J J J J ?? ?

?∴= ? ?

?

?也为严格上三角形 即A ，B 都相似于严格上三角形J 得证

性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'-∈都为幂零矩阵，特别

有2()0A *=

证明：

A 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴?∈=

由引理1，知 ()()00k k A A '''=== ()()00k k A A ***=== ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-?=

,,A A A *'∴-都为幂零矩阵 ()()()00k k k k mA m A m ==?= ()mA m Z +∴∈也为幂零矩阵

又A 为幂零矩阵 0A = 即()1r A n ≤-

若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0 则有 0A *= 从而有2()0A A **== 若()1r A n =-，则由性质3知， 存有可逆矩阵T ，使得

12

1s J J T AT J J -??

?

?== ? ??

?

其中01

1

0i J ?? ?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s = 且()1i i r J n =-

又显然A 与J ，所以有

1

1

1

()()()(1)1s

s

s

i i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑

1s ∴= 即有101

1

0T AT J B -?? ?

?=== ? ??

?

(1.3)

又10(1)0n B +*??

-

?

?= ? ? ???

2()0B *∴= 由（1.3）式及引理1，知 11()()A TBT T B T *-*-***

==

21212()[()]()()0

A T

B T T B T *-***-***=== 得证

三、 关于幂零矩阵性质的简单应用

（一）、特殊幂零矩阵

（来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社） 1、A 为实对称矩阵且20A =，则有0A =

证明：令n n ij a A ?=)(，则由A 实对称 A A ='∴ 且0112

2

=='=∑∑==n

i n

j ij a A A A

又ij a 为实数 n j i a ij ,,2,1,0 ==∴ 即0=A 2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似 证明：令A 为n 阶n 次幂零矩阵 即)(00n k A A k n <≠=

A ∴的最小多项式 n A m λλ=)( 又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0

A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-= 由引理9，知 n A n m d λλλ==)()( 又1)()

()

()(11=∴==

--λλλλλn n

n n n D D D d

从而有 1)()()(121====-λλλd d d n

所以所有的n 阶n 次幂零矩阵的不变因子都是 n λ,1,,1,1 所以所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似 3、所有n 阶1-n 次幂零矩阵相似（1-n 为幂零指数） 证明：令A 为n 阶1-n 次幂零矩阵， 则)1(00

1-<≠=-n k A A k n

A ∴的最小多项式 1)(-=n A m λλ 又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0

A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-= 又λ

λλλλλ=∴==

--)()

()

()(11n n

n n n D D D d

又)()()()(21λλλλλλn n d d d A E f ??==-= 从而有 1)()()()(1221=====--λλλλ

λd d d d n n

所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵具有相同不变因子 1,,1,,1,1-n λλ

所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵都相似

思考：所有n 阶k n -次幂零矩阵可分为几类（相似归为一类）？？？？

因为矩阵相似等价于它们不变因子相同，所以我们要找所有n 阶0n k -≥次幂零矩阵可分为几类即可找所有n 阶n k -次幂零矩阵不变因子可分几类。又因为n 阶幂零矩阵的不变因子都是(0)m m λ≥，所以只需找k 分成1-n 份且满足每一份的数小于等于k n -并且这些的和等于k 有多少种分法。 猜想：这个问题就是求n 个盒子n 个球，盒子编号为1,2,

,n ，且第一个盒子的

球数为0n k -≥个，并且满足第1i +个盒子的球数小于等于第i 个盒子的球数，总共有多少种放球的方法（每个盒子的球数为0,1,2,

,n k -中任一数

且不同盒子球数可相同）。

我想是否可通过编一个程序来求出具体数据，通过对数据的分析得出n 、k 与放球方法之间的关系（因为知识有限未能完成这个工作，但作为数学问题这是必要的，希望在经后的学习中能有进一步的理解）。

对这个问题的思考得出以下结论：n 阶幂零矩阵A （k 为一些特殊的数据）（采用排列组合的思想仅仅做了一些简单的归纳） 0A =：只有一类

20A =：分为两种情况：当n 为偶数时有

2n 类 当n 为奇数时有

1

2

n -类 30A =：分为两种情况：当n 为偶数时又分为三种情况

当3n k =时，有1[1(1)]

3222i k i n i =-+--+

+∑类 当31n k =+时，有1[1(1)]

3222i k i n i =-+--+

+∑类 当32n k =+时，有1

[1(1)]

32222i k i n i =-+--+

++∑

类 当n 为奇数时又分为三种情况

当3n k =时，有11

[1(1)]

3222i k i n i +=-+--+

+∑类 当31n k =+时，有11[1(1)]

3222i k i n i +=-+--+

+∑类 当32n k =+时，有11

[1(1)]

32222i k i n i +=-+--+

++∑

类30n A -=：只有三类 20n A -=：只有两类

（这些结论是我自己归结出来的，本想找相关资料验证但没找到，所以准确与否

不可知，今后若能找到这个部分的内容再做进一步的补充）

10n A -=：只有一类 0n A =：只有一类

（二）、相关幂零矩阵的应用

（例题来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社及《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报） 1、设n 阶方阵，求证：（1）存有+∈Z k ，使得 ====++)()()(1s k k k A r A r A r （2）存有+∈Z k ，而且 n k ≤≤1， ==+)()(1k k A r A r 证明：（1）、由引理3，知 在复数域上，?可逆矩阵T 使得

11

1

t

t s J J T AT J J J -+?? ? ? ?==

? ? ? ? ??

?

(1.4)

其中????

?

?

?

?

?=i i

i J λλ11

阶数为s i n i ,,2,1 =

令t 21J ,,J ,J 为0=i λ的若当块 t i ,,2,1 =

s 2t 1t J ,,J ,J ++ 为0≠i λ的若当块 s t t i ,,2,1 ++=

因为????

??

?

??=0110 i J 由引理8，得

0)(=i n i J 且1()0i n i J -≠ t i ,,2,1 =

0)(=∴r

i J ),,,max(21t n n n k r =≥ t i ,,2,1 = 0≠=i

n i

i J λ 即i J 可逆 s t t i ,,2,1 ++=

()0r i r Z J +

∴?∈≠有i i r i n J r J r ==)()( s t t i ,,2,1 ++=

由（1.4）式，知A 与J 相似，且

++---∈???

?

??????

?

?

?==Z p T J J J J T

T A T AT T p s p

t p

t

p

p p

1

1111)(

从而，得p A 与p J 相似，

综上可得，∑∑∑+=++===

=

==s

t i p k i

s

t i k i

s

i k

i k

k

J

r J

r J r J r A r 1

1

1)()()()()(

且),,,max(21t n n n k = +∈?Z p

即得证 ====++)()()(1s k k k A r A r A r （2）、由（1）知，),,,max(21t n n n k =?

使得 ====++)()()(1s k k k A r A r A r 又已知 n n i ≤≤1 t i ,,2,1 =

n k ≤≤∴1得证

特别当)()(2A r A r =时，可得 )()()()(4321A r A r A r A r === 2、A ，B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且BA AB =，则有A B A =+ 证明：由引理10，在复数域上，存有可逆矩阵T ，使得

121n T AT λλλ-?? ?* ?= ? ??? 1

21n T BT μμμ-??

?*

?= ?

??

?

又B 为幂零矩阵 所以B 的特征值全为0，即

100

0T BT -??

?*

?= ? ??

?

12

1111()B n T A B T T AT T T T T λλλ----??

?*

?+=+= ? ??

?

1

2

111

()B n

T A B T T A T T T λλλ---*

+=+=

又T 可逆 0≠T 1

2

12n n

A B λλλλλλ*

+=

=??

由12

1

n T AT λλλ-??

?

*

?= ? ??

?

知n

λλλ,,,21 为A 的特征值

由引理7，得 n A λλλ??= 21 从而得证 n A B A λλλ??==+ 21

3、A 为n 阶方阵，求证C B A +=，B 可对角化，C 为幂零矩阵且CB BC = 证明：由性质3，知

存有幂零矩阵N ，使得N A +可对角化

即存有可逆T ，使得 12

1()n T A N T D λλλ-??

?

?+=== ? ???

即有)(1N TDT A -+=-

由性质11，知 N 幂零矩阵则N -也幂零矩阵 又1-TDT 与D 相似，1-∴TDT 可对角化 令1-=TDT B N C -=，则有C B A += 1-=TDT B 可对角化 N C -=为幂零矩阵 又D 为对角阵

CB CTDT CDTT CD DC DC TT C TDT BC =======----1111 得证 4、A ，B ，C 为n 阶方阵，且BA AB C CB BC CA AC -===，证明：存有

自然数0.,=≤k C t s n k

证明：因为BA AB C CB BC CA AC -===，

+

∈?∴Z m A

B C

B C

A A

BC B C A BA C AB C BA AB C C m m m m m m m m )()()()()(1

1

11111--------=-=-=-=

由引理11，得 ))(())((11A BC tr B C A tr m m --=

0))(())(()))()(()(1111=-=-=----A BC tr B C A tr A BC B C A tr C tr m m m m m

由性质2，得 C 为幂零矩阵

由性质9，知 0.,=≤?k C t s n k 得证

5、在复数域上，n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有

A E λ- 与2()A E λ-的秩相同。

证明：?因为A 对角化，则存有可逆矩阵T ，使得

12

1n T AT λλλ-??

?

?= ? ??

?

从而有

1212

12

1222()()()()()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---?? ?

-

?-= ? ?

-??

??- ?-

?-= ? ? ?-?

?

所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同

即A E λ- 与2

()A E λ-的秩相同

?因为在复数域上，存有可逆矩阵T 使得

1

2

1s J J T AT J -??

?

?= ? ???

其中1

1

i i i J λλ?? ?

?= ? ??

?

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

若(1,2,,)i J i s =不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，

有

11121011

00

()1

10

0n n J E J E ?? ? ?-= ? ??

?

?? ? ? ?-= ? ? ??

?

从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于

12()T A E T λ--的秩

也即A E λ- 的秩大于2

()A E λ-的秩，这与已知矛盾

所以所有(1,2,

,)i J i s =为对角阵，从而得证A 相似于对角阵

（三）、幂零矩阵在求逆的应用

（例题来自《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报） 1、可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆

例 ???

?

? ??---=4215311564A 求1-A

解：E B A +=???

?

? ??+????? ??---=????? ??---=10001000152152115634215311564

其中???

?

? ??---=5215211563B

且有 0521521156352152115632=???

??

??---????? ??---==BB B

???

?

?

??------=????? ??----????? ??=-=+=∴--62151115625215211563100010001)(1

1B E E B A

2、主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆

例 n n x y x y x y x A ??????

??? ??=0000000000000 求1-A

解

n

yJ xE y x x y x y x y x A +=?

?

??

??

?

?

??+

?

?

?

???

?

?

??=???????

?

??=00000

10000001000001010000

0100000010000010

000000000000

其中?

?

?

??

?

?

?

??=00000

1000000100

00010

n J 且有0=n

n

J ?

????????

? ??---=-+++-=+=--------x x y x x y x y x x J x J x J x E yJ xE A n n n n

n n n

n n

n n n n 10000)1(10)1(1)

1()(12

21

121

3221

1

3、可表为若当块的幂的矩阵和逆

例 n

n n n a a a a a a A ?-???

??

??? ??=100010010112 求1-A 解：1221

2100

10010

1--++++=?

?

??

?

??

?

??=n n n n n n n J a J a aJ E a a a a a a A

其中n n n J ????????? ??=00

000

1000000100

00010

n

n E ????????? ??=10

00

00100000010000

01 ?

?

?

???

?

?

??---=???????? ??-=-=-100

0010

00001000

1000001000000100

000101

a a a a E aJ E A n

希望通过上面的总结对幂零矩阵有一定的理解。

参考文献：

1、《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社 2006.5

2、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组

高等教育出版社 2003.4

3、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社 2005.1

4、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社 2004.4

5、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报

2001年第4期

6、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报

2003年第4期

7、《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报 2004年2月