南开大学2000年数学分析考研试题
南开大学2000年数学分析考研试题
1. 设()()()
()()()()22sin ,,0,0,0,0,0x y xy x y x y f x y x y +?≠?
+=??=?
，， 证明(),f x y 在点()0,0处连续，但不可微.
2. 设()f u 具有连续的导函数，且()lim 0u f u A →+∞
'=>，()0R >，
(){}222,:,,0D x y x y R x y =+≤≥ （1）证明 ()lim u f u →+∞
=+∞；
（2）求()22R Dd
I f x y dxdy '=+??；
（3）求2
lim
R
R I R →+∞.
3.（1）叙述()f x 于区间I 上一致连续的定义； （2）设()f x ，()g x 都于区间I 上一致连续且有界， 证明()()()F x f x g x =也于I 上一致连续，
4.设函数列(){}n f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a ，使得当x I ∈时，总有()n n f x a ≤，证明()f x 于I 上有界.
5.设0n a >，()1,2,
n =，1
n
n k k S a ==∑，
证明（1）若1n
n n a S ∞
=∑收敛，则1
n n a ∞
=∑也收敛.
（2)如果1λ>，1n
n n a S λ∞
=∑收敛，问1
n n a ∞
=∑是否也收敛？说明理由.
6.设(),f x t 于[)[],,a c d +∞?上连续，(),a
f x t dx +∞
?
于[),c d 上一致收敛，证明
(),a
f x d dx +∞
?
收敛.
南开大学2000年数学分析考研试题解答
1.解：()0,00f =，
()22
,x y xy
f x y x y +?≤
+
()2
22212x y x y x y +?
+≤
+()12
x y ≤+， ()()
()(),0,0lim
,0,00x y f x y f →-=，于是(),f x y 在点()0,0处连续.
显然()0,00x f =，()0,00y f =，
0→时，
()()(
),0,00,0f x y f x f y ????-?+?
sin x y x y ?+????=
的极限不存
在，
所以(),f x y 在点()0,0处不可微. 2.（1）证明 由()lim 0u f u A →+∞
'=>，
存在0M >，当u M ≥时，有()2
A f u '≥
， ()()()()f u f u f M f M =-+ ()()()f u M f M ξ'=-+ ()()2
A
u M f M ≥
-+， 由此，可知()lim u f u →+∞
=+∞； （2）解 ()22R D
I f x y dxdy '=+??
()220
R
d f r rdr π
θ'=??()()21022
f R f π?
?=
?-??； （3）解 ()()2220lim lim 4R R R f R f I R R π
→+∞→+∞-= ()22lim
42R f R R R
π
→+∞
'?=
()2lim 4
4
R f R A π
π
→+∞
'=
=
.
4.证明 由于(){}n f x 在I 上一致收敛于()f x ， 对1ε=，存在正整数N ，当n N ≥时，有
()()1n f x f x -≤，()x I ∈， ()()1N f x f x -≤，()x I ∈，
()()()()N N f x f x f x f x ≤-+1N a ≤+，()x I ∈， 即知()f x 在I 上有界. 5、
设0>n a ，n n a a a S +++= 21，
证明： （1）当1>α
时， ∑∞
=1n n
n
S a α
收敛；
（2） 当1≤α，且+∞=∞→n n S lim 时， ∑∞
=1n n
n
S a α发散。
（3） 当1≤α
，且∑∞
=1
n n a 收敛时，∑∞
=1n n n
S a α
收
敛。
证明 对任意正整数n ， 1--=n n n S S a ，
（00=S ），
因为0>n a ，所以n n S S <-1，
（1）当1>α时，利用不等式
dx x S S S S a n n S S n
n n n n ?-≤-=-111
ααα， 得 dx x dx x dx x S a N n n S S N n S S N
n n n ??∑?∑∞+==≤=≤-12211111αααα，}{2∑=N n n
n
S a α有界，故∑∞
=1n n
n
S a α
收敛；
（2） 当10<<α，且+∞=∞
→n
n S
lim 时，
α
ααα-====≥∑∑111)(N N N N
n N n N
n n n S S S S a S a ， }{1∑=N
n n
n S a α无界，所以∑∞=1n n n
S a α
发散；
当1=α，且+∞=∞
→n
n S
lim 时，
方法一
21
111≥-=-=≥+++++=+++=∑∑p n n p n n p n p
n n k p n k p
n n k k k S S S S S S a S a ， 对任意大的n ，然后取p 充分大，就可使上
式成立，于是}{1∑=n
k k k S a 不是基本列，故∑∞
=1k k
k
S a 发散。
方法二 因为 dx x S S S S a n n S S n n n n n ?-≥-=---111
1
1，
1221ln ln 1111S S dx x dx x
S a N S S N n S S N
n n n
N n n -==≥?∑?∑==--+∞→，从而
∑∞
=-21
k k k
S a 发散，
若}{n
n
S a 不收敛于0，则∑∞
=1k k
k
S a 发散，
若}{
n
n
S a 收敛于0，
则得111→-=-=
-n
n n n n n
n S a
S a S S
S ，
1211
≤≤-n
n S S ，（n 充分大），
1
21-≥
n n
n
n
S a S a
， 于是∑∞
=1k k
k
S a 发散。
当0=α
，且+∞=∞→n n S lim 时，∑∞
=1n n n
S a α∑∞
==1
n n a 发散； 当0<α，且+∞=∞
→n
n S
lim 时，
因为ααα
111
1S S S a S a N
N
n n N
n n n =≥∑∑==，
所以∑∞
=1n n
n
S a α
发散；
（3）当1=α，且S S
n
n =→∞
lim 存在有限，
)(1
11
1---≤-=k k k k k k k S S S S S S S a ， ,3,2=k ，
由于)(1121-∞
=-∑k k k S S S 收敛，所以∑∞
=1k k
k S a 收敛；
因为0lim >=∞
→S S n n ，α
α
S S n n =∞
→lim ，
从而 αα
S a S a n
n
n
n 1lim =→∞，由∑∞
=1
n n a 收敛，
得∑∞
=1n n
n
S a α
收敛。
例如1,n
n a
S n ==。
6、假设(,)f x u 在[)[],,a αβ+∞?中连续，如果对[),u αβ?∈，积分(,)a
f x u dx
+∞?都收敛，但积分(,)a
f x dx β+∞?发散，证明(,)a
f x u dx +∞?
在[),αβ上非一致收敛 ．
证明 用反证法 假若()dx u x f a
,?
+∞在[,)αβ上一致收敛，
所以()0,00>?>?εεA ，当()ε0",'A A A >时，[,)u αβ?∈，有()ε
'
,，
又由(,)f x u 在[)[],,a αβ+∞?中连续，
由条件得),(u x f 在],[]'','[βα?A A 上一致连续，从而),(),(lim ββ
x f u x f u =→，
且关于],[A A x '''∈是一致收敛的；或者说 dx u x f A A
?'
''),(在],[βα上连续，
在
()ε
dx u x f A A "
'
,中，令β→u ，可见
()εβ≤?
"
'
,A A dx x f ，
即得(,)a
f x dx β+∞? 收敛 这与条件(,)a
f x dx β+∞?
发散矛盾，
所以假设不成立． 故(,)a
f x u dx +∞?
在[),αβ上非一致收敛 ．