第十章 统计量与参数估计

第十章 统计量与参数估计

§10.1 样本与统计量

一. 总体与样本

例1 欲了解一批灯泡的寿命X (小时)的分布情况，只能抽取n 个作破坏性试验，根据试验结果来推断X 的分布。 1．总体与个体

研究对象的全体称为总体。例1中，我们关心的是全体灯泡寿命的分布情况，即寿命X 的所有可能的取值及其概率分布。因此寿命X 是连续的随机变量。一般地把我们关心的随机变量X 称为总体。

组成总体的每个单元称为个体。例1中，我们关心的是灯泡的寿命。所以个体也可理解为总体X 的取值。 2．简单随机抽样

为了使抽样具有充分的代表性，所以要求： （1）每个个体被抽到的机会均等； （2）每次抽取是独立的（共抽取n 次）。

这样的抽样叫做简单随机抽样。通常的抽样都是无放回的，当总体很大时，可以满足独立性。 3．样本

在总体中抽取n 个个体，称为总体的一个样本，记为 ( X 1 , X 2 , … , X n ) ，其中每次抽样X i ( i = 1 , 2 , … , n )也都是随机变量（解释），共n 个随机变量，加上括号，表示样本是一个整体。 4．样本的容量

抽取的个体数n ，称为样本的容量。

5．独立同分布

每次抽取的X i 来自总体，应该与总体X 有相同的分布（概率密度相同），所以说样本是一组具有独立同分布的随机变量。 6．样本观察值（样本值）

样本的测试结果记为 ( x 1 , x 2 ,… , x n ) ，是一组数据，在容易产生误会时，大小写要分清，尤其在作理论分析时，一般都取大写，作为随机变量处理。

二．统计量

1．三个重要统计量

（1）样本均值：∑==n

i i X n X 1

1

（2）样本方差：∑=--=n

i i X X n S 1

22

)(11 （3）样本标准差（又称为样本均方差 ）：2S S =

其中X 作为均值可以反映总体X 的均值（不是等同），S 2 是数据与均值偏离值平方的平均，体现样本的离散程度，因而可以反映总体X 的方差。

x 和s （计算值）可以利用函数计算器的统计功能快速得到（可安排多媒体

课件演示）。 2．统计量的概念

统计量是含有样本X 1 , X 2 , … , X n 的一个数学表达式，并且式中不含未知参数，因而可以在得到样本值后立即算出它的数值来。

在抽样之前，统计量的值无法确定，抽样测试之后，可以观察到它的取值，因此统计量是随机变量，是由样本派生出来的随机变量。

三．抽样分布

统计量既然是随机变量，当然有它的概率分布，称为抽样分布。以下仅给出结论，结论都对正态总体而言。

1．样本均值的分布

（1）若总体X ～2(,)N μσ，则i X ～2(,)N μσ（独立同分布），于是作为线性函数

11n

i i X X n ==∑～2,N n σμ?? ? ??

? （2

）特别地，标准化以后，得X U =

～(0,1)N 。

2．t 分布

当总体标准差σ未知时，U 不再是统计量，这时可用样本标准差S 代替，但不再是正态分布，而是一种新的分

布

X T =

～(1)t n -叫做服从于自由度1-n 的t 分布。它的密度曲线与正态曲

线相类似 (见图8)。 3．2

χ分布

为了将样本方差S 2和总体相比较、联系。构造出

2

2

2

(1)n S χσ-=

～2(1)n χ-，

叫做服从于自由度为1-n 的2

χ分布，也是一种新的分布。其密度曲线 (见图9)在原点右侧，这是因为2

χ统计量是不会出现负值的。

U 、T 、2

χ是继X 、2S 、S 后第二轮复合而成的统计量，可以更有利于

实际的应用。

四．临界值

1．设U ～N (0,1) ，有关U 的概率可查表。如果反过来，已知概率α，求λ使αλ=>)(U P 或αλ-=≤1)(U P ，倒查表得到的λ称为标准正态分布的右侧α临界值，意为右侧的概率为α，又叫α分位点，记为αU （见图10）。

若求使αλ=>)(U P ，则查表得到的是2/αλU =，称为双侧α临界值 (见图11)，意为对称两侧的概率之和为α，它们的概率意义分别是

αα=>)(U U P 和

αα=>)(2/U U P 。

比如645.105.0=U ，96.1025.0=U 。

2．t 分布和

2χ分布的右侧临界值记为)(n t α和)(2

n αχ。括号内的n 是自由度，

不要与样本容量相混淆，如602

.2)15(01.0=t ,067.14)7(05.02=χ的概率意义为01.0)6025

.2)15((=>t P 05.0)067.14)7((2=>χP (见图12、13) t 分布表和2χ分布表已直接编为临界值表，不必“倒查表”。

正态分布和t 分布的左侧临界值是对称值αU - 和)(n t α-（左侧概率为α），不必另行查表。

而2χ分布无对称性，左侧临界值是

)(21n αχ-（右侧概率是α-1，左侧概率当然是α）(见图14)，需另行查表。

)(2n χ分布的双侧临界值(见图15)是

21()n αχ-（左）和)(2

2

n αχ（右）

。 例2 求满足以下概率式的临界值并给

出对应的记号

（1）05.0))14((2

=<λχP ， 则517.0)14(95.02

==χλ；

（2）05.0))8((=<λt P ， 则8595.1)8(95.0-=-=t λ； （3）05.0))8((=>λt P ， 则3060.2)8(925.0==t λ；

（4）05.0)(=<λU P ， 则645.195.0-=-=U λ； （5）05.0)(=>λU P ， 则96.1925.0==U λ。

例3 对于查表得到的

7638.2)10(01.0=t 和483.20)10(2

0025=χ，

给出它们的概率意义。

解 01.0)7638

.2)10((=>t P ， 01.0)7638.2)10((=-

02.0)7638.2)10((=>t P ， 025.0)483.20)10((2=>χP ， 975.0)483.20)10((2=<χP 。

§10.2 点估计

一．点估计的概念

总体X 的分布类型往往是已知的，如),(2σμN ，但它的参数不知道，要通过样本来估计，称为点估计。

二．样本数字特征法

用样本的均值、方差来估计总体的均值、方差是很自然的，即

11?n i i X X n μ===∑，2221

1?()1n i i S X X n σ===--∑，?S σ= 这里在字母上加一个“帽子”是为了表明这仅仅是估计值而非准确值。这样的估计方法称为样本数字特征法。

例1 某果园有1000株果树，在采摘前欲估计果树的产量，随机抽选了10株，产量（公斤）分别为 ：

161， 68， 45， 102， 38， 87， 100， 92， 76， 90

假设果树的产量服从正态分布，试求果树产量的均值与标准差的估计值，并估计一株果树产量超过100公斤的概率。

解 利用计算器的统计功能，可计算得到产量均值9.85?==x μ

公斤，标准差22.34?==S σ

公斤。于是 3409.0)41.0(122.349.851001)100(=Φ-=??

?

??-Φ-=>X P

即一株果树产量超过100公斤的概率为0.34 。

三．估计量及其评选标准

用来估计未知参数的统计量（如X 、2

S ）称为估计量。一般的提法是：设θ

是总体X 的未知参数，找一个统计量（表达式）),,,(??21n

X X X θθ=来估计θ，即以θ?的观测值作为θ的估计值，则称θ?为θ的估计量。这里θ是未知的但客观存在的固定常数，不是随机变量，而θ?是随样本值而变动的，是随机变量。估计量不是唯一的，可以通过多种途径和方法去寻找、构造，如矩估计法、最大似然估计法等，应该制定一套评判标准来评价它们的优劣。

（1）无偏性

设θ?是θ的估计值，若θθ=)?(E ，则称θ?是θ的无偏估计量。其统计意义是：

θ?是随机变量，它的波动中心（均值）等于θ，即经过多次抽样，θ?的观察值将

围绕着θ变动，没有“系统”误差，当然是较好的。

X 和2S 都分别是总体均值μ，总体方差2

σ的无偏估计，其中μ=)(X E 显

然，而2

2)(σ=S E 的推导复杂，S 2 的表达式中，分母是1-n 而不是n ，正是

为了满足无偏性。

（2）有效性

对于多个无偏估计量，方差小的波动小，稳定性好。即方差)?(θ

D 越小越好，设θθθ==)?()?(21

E E （都是无偏估计），若)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2

?θ有效。 X 是的所有无偏估计中最有效的。

§10.3 区间估计

一．置信度与置信区间

有了点估计，还要进一步作误差估计，数理统计中的误差估计必然具有概率特征，即要用概率去描述，要与概率相联系。设θ是未知参数，希望确定一个区间( a , b ) ，使它包含θ的把握很大，写成概率式，即 αθ-=<<1)(b a P 。取

05.0=α时，把握是0.95%。α往往事先取定，α-1称为置信度。( a , b ) 称为参数θ的α-1置信区间，a 称为置信下限，b 称为置信上限。

二．正态总体的区间估计

直接求置信区间难度较大，实际求解时，往往从已知的统计量入手。比如统

计量(U X μ=-～(0,1)N 分布已知，如果总体标准差σ已知，那么关于U 的不等式变形可得到关于μ的不等式，所以只需求 A , B ，使

α-=<<1)(B U A P 即可。满足此式的区间很多，其中“区间居中”是效果最好的，所谓“区间居中”是指区间左侧和右侧的概率相等，都等于2α。因为正态分布有对称性，区间居中的概率公式是{}αλ-=<1U P ，于是可确定2/αλU =，将不等式2/2/ααU U U <<-变形可得

22U U X X ααμ-<<+

（1）正态总体方差2

σ已知时，均值μ的置信区间 按上面的公式，置信区间是

2U ,U X X αα?

-+ ?

注意：σ已知时，应借助于U 统计量，要查正态分布表；置信区间有两个端点，所以要找双侧临界值（下标带有2/α）

例2 设总体X ～(,0.09)N μ，测得n = 4 的样本观测值为：12.6，13.4，12.8，13.2，求μ的0.95置信区间。

解 05.0=α,3.0=σ已知，采用U 统计量，查表得96.1025.0=U ，计算

13=x ，所以置信限为

94.2134

3.096.113025

.0±=?

±=±n

U x σ

，

置信区间为( 12.706 , 13.294 )。

（2）正态总体方差2

σ未知时，均值μ的置信区间

σ未知，以S 代替，得到t 统计量，要查t 分布表；置信区间公式类似为

???

?

??-+--n S n t X n S n t X )1(,)1(22αα 例3 例2中设X ～2(,)N μσ,2

σ 未知，求μ的置信区间（取05.0=α）。

解 计算得13=x ，3651.0=S 。σ未知，采用t 统计量，查表得

1824.3)14(025.0=-t ，所以置信限为

581.0134

3651.01824.313)

3(025.0±=?

±=±n

t x σ

置信区间为( 12.419 , 13.581 )。

例3的信息量比例2少（σ未知），在同样的置信度下置信区间比较宽，精度比较小是很自然的。

（3）正态总体方差2

σ及标准差σ的置信区间

2χ统计量就是为提取2σ的信息而设计的，所以借助于2χ统计量，由概率式}{αχ-=<<12b a P 及区间居中原理。可得21(1)a n αχ-=-，

2

(1)b n αχ=-，利用不等式

2

2

2122

(1)(1)(1)n S n n ααχ

χσ---<

<-

变形，得到2σ的置信区间是

2222212(1)(1),χ(1)χ(1)n S n S n n αα-??

-- ? ?--??

。 σ的置信区间，只需将端点开平方即可

σ<< 例4 设零件长度)(mm X ～2(,)N μσ，抽取n = 16件零件测量，经计算得

087.12=x ，00507.02=s S 2 = 0.00507，求零件长度与标准差的置信区间

（05.0=α）。

解 σ未知，求μ的置信区间应采用t 统计量，查表得t 0.025(15)=2.1315，置

信限为

0.02512.087 2.131512.0870.038x t ±=±=± 均值μ的置信区间为( 12.049 , 12.125 )。

求

σ的置信区间，采用2χ统计量，查表得262.6)15(2975.0=χ，

488.27)15(2025..0=χ，2σ的置信区间为

??

?

????262.600507.015,488.2700507.015

开方后即标准差σ的置信区间：( 0.0526 , 0.1102 )

三．置信度的选择

对于同一个样本，信息量是固定的，于是会出现“有得必有失”的局面：如果提高置信度，就会降低估计精度（置信区间变宽）；反之，想提高估计精度，就需降低置信度。如果希望两者都提高，则只有增加样本容量，即增加信息量。

在做区间估计时，首先要选择合适的统计量（三种情形），这不仅关系到查哪一张表，用哪一个置信区间公式的问题，还为下一节学习假设检验打下必要的基础。