程序结构力学

程序结构力学—几何组成分析

1 原理分析

普通结构力学中常用的几何组成分析方法主要为两种，一类是基于三角形组成规律和瞬铰概念的几何分析方法；另一类是静力分析方法。这两种方法均有一定缺陷，前者技巧性较强，要涉及到无穷远瞬铰的概念与应用，且并不是对于所有结构都适用的，仅能解决常见类型问题；后者虽然可有效判断计算自由度为0的情况是否几何可变，但对于瞬变与常变是很难分辨的，并且由于有的体系存在非二力杆，这会使静力计算中出现剪力与弯矩，使得静力分析的方法复杂难用。

程序结构力学中的计算机几何组成分析方法克服了上述两种方法的缺陷，虽然计算量非常繁杂，但思路简单，适用于计算机编程计算。

其基本原理：

1.1 单元分析

将待分析结构拆分成杆件单元，每个杆件单元都是典型的刚体单元，因此只需保证杆端两点距离不变，故可对结构进行简化与划分，同时每个杆件单元有6个杆端位移，其中有3个被

三个独立的约束方程约束。由单元的刚体位移的各点几何关系可推导出3个约束方程： 211212122121

()

()u u y y v v x x θθθθ=--=+-=

（1u 、1v 、1θ，2u 、2v 、2θ，分别是杆端1,2的水平、竖向、转角位移未知量。）

将其变换为矩阵形式：

111212122210()100001001()00010010u v y y x x u v θθ????

??--??????????--=????????????-????

???????

? 1.2 联立集成

以此单元杆件分析为基础，对结构进行整体的分析。整体节点位移向量?的在袁驷教授的《程序结构力学》一书中的3-2-4小节中有所说明：将所有节点位移按照编码的顺序排列成一个向量，12()T i N ?=????……，称为结构的整体节点位移向量。

将各个单元的几何约束方程（共M 个）联立起来（按照集成规则），则形成了整体几何约束方程，写成矩阵形式：0G ?=，G 为M ?N 的矩阵，称为整体几何约束矩阵。

1.3整体分析

对于建立起来的整体几何约束方程0G ?=，我们可以进行几何可变性的分析了。从物理意

义来看：该体系有N 个节点位移，受到了M 个约束，但其中只有r 个约束是独立的（r 是矩阵的秩）。

具体分析：

（1）=0r N ??=，此时独立约束数等于节点位移数，节点位移向量解出来是0，体系为几何不变体系。

（2）M N M r ?＞＞（矩阵行多于列），则体系必定有多余约束。

记体系多余约束数：n=M-r 。

（3）M N r N ?＜＜，表明独立约束数少于节点位移数，因此体系几何可变。

记体系的自由度为m=N-r 。对于可变体系，有m 个位移自由度未被约束；对于几何不变体系，m=0。

（4）瞬变体系的定义：原来是几何可变、经任意可能的微小变位后都成为几何不变的体系。则m ＞1的结构一定是常变体系（至少可以按两个自由度的位移模态发生变位）。当m=1时，先让体系按该位移模态发生微小位移，对于新生成的G ，进行二次计算，若二次计算的*

m =0则为瞬变，若*m =1，则为常变体系。

至此，几何组成分析的原理简述完毕。该方法是几何方法，不涉及内力和应变等其他因素，适应范围极广；且求解功能强大：几何不变体系的多余约束数目，几何可变体系的自由度数及相应位移模态，常变瞬变的区分等都能求解。

2 求解流程

基本思路：

1 拆散杆件，假设各杆件单元可以有自由的刚体位移。

2 施加节点和支座约束，组成体系。

3 求解体系的节点位移。

4 若节点仅有零解，则体系几何不变，否则几何可变。

具体做法（仅为个人总结）：

1 单杆分析，列出几何约束矩阵。

2 确定单元定位向量。

3 按法则集成为0G ?=。

4 计算该矩阵的解，并算出r 、m 、n ，以此分析。

3 计算实例（自编）

例：单杆分析（M ＞N ），杆长为l 。

解：

单元约束矩阵：

10010001001001001l -????-????-??

对该杆有：11220u v u v ====，单元定位向量为：(1)(001002)T λ=。 因此整体几何约束矩阵G 中第一，二列分别由单元矩阵的第三，六列组成。

整体几何约束方程：

120000=01-10G l θθ???????????=????????????????

可知：r=2、n=1、m=0，该结构为有一个多余约束的几何不变体系，亦即为一次超静定结构。