2020届山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三数学模拟试题及答案

绝密★启用前

2020届山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三数学模拟试题

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．集合{

}

2

|2,x x x x R =∈的非空真子集的个数为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

答案：C

画出函数2x

y =和2y x 的图象，根据图象知集合有3个元素，得到答案.

解：

画出函数2x y =和2y

x 的图象，根据图象知集合{}2

|2,x x x x R =∈有3个元素，

故集合{

}

2

|2,x x x x R =∈的非空真子集的个数为3226-=. 故选：C .

点评：

本题考查了真子集个数，方程的解，画出函数图象是解题的关键.

2．复数z 满足{}

2,,0z z c z c a z C a c -++=∈>>，则z 对应点的轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

答案：B

设复数z x yi =+，根据椭圆定义直接得到答案. 解：

设复数z x yi =+，则22z c z c a c -++=

=>，

根据椭圆定义知z 对应点的轨迹为椭圆. 故选：B . 点评：

本题考查了椭圆的轨迹方程，意在考查学生对于椭圆基础知识的理解.

3．()6

211x x x ??-- ??

?展开式中的常数项为（） A ．35- B ．5-

C ．5

D ．35

答案：A

将二项式()6211x x x ??-- ???表示为()666

221111x x x x x x x x ??????--=--- ? ? ??????

?，得出其通项，令x 的

指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项. 解：

()666

221111x x x x x x x x ??????--=--- ? ? ??????

?， 展开式通项为()()626628266661111k

r

k r k k r r k k r

r C x x C x C x C x x x ----??????--??-=?-?-?-? ? ?????

，

令620

820k r -=??-=?

，得34k r =??=?，

因此，二项式()6

211x x x ??-- ??

?展开式中的常数项为346635C C --=-，故选A.

点评：

本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.

4．1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒

在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为：12t y -=，且该种病毒细胞的个数超过810时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（）天（lg 20.3010≈） A ．25 B ．26 C ．27 D ．28

答案：C 计算1

8120t y -==，得到27.6t ≈，得到答案.

解： 取1

812

0t y -==，故8221log 108log 10t -==，即218log 1018127.6lg 2t ??

=+=+≈ ???

，

故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27. 故选：C . 点评：

本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f （x ）(

)21

x x

x e e x --=

-的图象大致是()

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：C

首先根据奇偶性的判断可知f （x ）(

)21

x x

x e e x --=-为偶函数，排除A ，再通过x >1进行特值判断即

可得解.

解：

函数的定义域为{x|x ≠±1}， f （﹣x ）(

)()221

1

x x

x

x

x e e x e

e x x -----===--

f （x ）

，则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排

除A ，

当x >1时，f （x ）>0恒成立，排除B ，D ， 故选：C. 点评：

本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法： （1）根据奇偶性判断； （2）根据特值判断； （3）根据单调性和趋势判断.

6．当0a <时，关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212

a

b x x x x =++取得最值的充分条件是（） A ．有最大值，1b ≤-

B

．有最小值，b ≥-C ．有最大值，5b ≤- D

．有最小值，3

b ≤-

答案：C

计算得到124x x a +=，2

123x x a =

，计算3

b ≤-

，根据充分条件的定义得到答案. 解：

不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，故124x x a +=，2

123x x a =

.

1212114433a b x x a a x x a a ??=++

=+=--+≤-= ?-??

当143a a -=

-

，即a =时等号成立，根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C . 点评：

本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

7．若()sin 6f x x πω?

?=- ???()[0,],0x πω∈>有零点，值域为2,M ???-+∞?????

，则ω的取值范围是（） A ．14,23??

????

B ．4,23??????

C ．11,63

??????

D ．117,

612??

????

答案：D

根据函数零点和值域得到506

4

π

π

ωπ≤-≤

，解得答案. 解：

[0,]x π∈，则,666x π

π

πωωπ??-∈--????，()f x 有零点，值域为2,2M ???-+∞?????

， 故506

4π

πωπ≤-≤

，解得117

612

ω≤≤. 故选：D .

点评：

本题考查了三角函数值域和零点问题，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.

8．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()3

1cos

3

n n f n x a x a π

+=+--为奇函数，记n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则2020S 的值是（） A ．

2023

2

B ．1011

C ．1008

D ．336

答案：A

根据奇偶性得到1cos 3

n n n a a π

+-=，计算知n a 以6为周期循环，计算得到答案. 解：

函数()3

1cos

3n n f n x a x a π+=+--为奇函数，则()1c 0os

03

n n n f a a π

+=--=， 即1cos

3n n n a a π

+-=，cos 3

n π周期为6. 2112a a -=，3212a a -=-，431a a -=-，5412a a -=-，651

2

a a -=，761a a -=.

解得11a =，232

a =，31a =，40a =，51

2a =-，60a =，71a =，n a 以6为周期循环.

故()202012345612342023

2

336S a a a a a a a a a a =+++++++++=. 故选：A . 点评：

本题考查了函数的奇偶性，数列求和，确定n a 以6为周期循环是解题的关键. 二、多选题

9．下列结论正确的有（） A ．若随机变量(

)2

~1,N ξσ

，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=

B ．若1~10,3X B ?? ???

，则()3222D X +=

C ．已知回归直线方程为?10.8y bx

=+，且4x =，50y =，则?9.8b = D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22 答案：AC

根据正态分布对称性知A 正确，计算()()32920D X D X +==，B 错误，将()

,x y 代入回归直线，计算得到C 正确，讨论三种情况得到可能数据的和为12，D 错误，得到答案. 解：

随机变量(

)2

~1,N ξσ

，()40.79P ξ≤=，则()()2140.21P P ξξ≤-=-≤=，A 正确；

1~10,3X B ??

???

，则()122010339D X =??=，故()()32920D X D X +==，B 错误；

将()

,x y 代入回归直线，计算得到?9.8b

=，C 正确；

设丢失的数据为x ，则平均数为317

x

+，众数为3， 当3x ≤时，中位数为3，故313237x

+?=+，10x =-； 当35x <<时，中位数为x ，则31237x

x +=+，4x =； 当5x ≥时，中位数为5，故312537

x

+?=+，18x =； 故可能数据的和为12，D 错误； 故选：AC . 点评：

本题考查了正态分布，二项分布，回归方程，中位数，平均数，众数，意在考查学生的综合应用能力.

10．设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(2,)t 时，4PF =，

直线l 与抛物线相交于,A B 两点，点()4,1M ，下列结论正确的是（） A ．抛物线的方程为2

4y x = B ．PM PF +的最小值为6

C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于60x y +-=对称

D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切 答案：BD

根据242

p

PF =+=得到故28y x =，A 错误，6PM PF PM PE +=+≥，B 正确，计算AB 中点()2,4D 在抛物线上，C 错误，计算1

2

DG AF =，D 正确，得到答案.

解：

22(0)y px p =>，故242

p

PF =+

=，4p =，故28y x =，A 错误； 过P 作PE 垂直于准线于E ，则6PM PF PM PE +=+≥，当PEM 共线时等号成立，故B 正确；

设()11,A x y ，()22,B x y ，设AB 中点()00,D x y 则2118y x =，2

228y x =，

相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，即028AB y k ?=，故04y =，故02x =，点()2,4在抛物线上，不成立，故不存在，C 错误；

如图所示：G 为AF 中点，故()111

222

DG OF AQ AC AF =+==，故AF 为直径的圆与y 轴相切，故D 正确； 故选：BD .

点评：

本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.

11．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（）

A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥

B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥

C ．当1AR A C ⊥时，1AR

D R ⊥

D ．当1

13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 答案：ABD

如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ?=-，()12222D R CQ b λλ?=--，

13

4

AR D R ?=-，10D R n ?=，得到答案.

解：

如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,

,0P a ，0,23a ??∈??，()

2,23,Q b ，[]0,2b ∈，

设11

A R AC λ=，得到()

22,23,22R λλλ--，[]

0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ?=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；

()

122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ?=--，取2

2b

λ=

+时，1D R CQ ⊥，B 正确；

1AR A C ⊥，则()()

1

2,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ?=--?--=-+-+=， 1

4λ=，此时11333313,,,,022224AR D R ?????=-?-=-≠ ? ? ? ?????，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ?? ? ???，14232,,333D R ??

=- ? ???，

设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10

n BD n DC ??=??

?=??，解得(

)

3,1,3n =-，

故10D R n ?=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .

点评：

本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.

12．新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的cos y B ωβ=，y k b β=+，人体肺部结构中包含sin y A ωβ=，ln y β=的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为()f β.则下列结论正确的是（）

A ．若

()()102

f a a β=+>，则()f β为周期函数

B ．对于0,2πβ???∈ ???

，sin β

β的最小值为2π C ．若()()sin 1ln a f

βββ=-+在区间(0,1)上是增函数，则0a ≤ D ．若()()()

sin 2cos f

πβ?πβ?β=+-+，0?π<<，满足()()

11f

f ββ+=-，则

4

sin 25

?=-

答案：ABD 计算得到()()2f

a f ββ+=或()()4f a f ββ+=A 正确，设()sin g β

ββ

=

，()g β在()

00,β上单调递增，在0,2πβ?????

?上单调递减，计算得到B 正确，化简即()1cos 1a ββ≤-恒成立，计算故1a ≤，C 错误，三角恒等变换知D 正确，得到答案.

解：

()1

2

f a β=+，则()()()()221

4

f f f a f a ββββ-=

-+++， ()()()()221

224

f a f a f a f a ββββ+-+=

-+++， 代换整理得到：()()()()2120f a f f a f ββββ++-+-=????????， 若()()2f a f ββ+=，则()f β为周期函数；

若()()210f

a f ββ++-=，

则()()410f a f ββ++-=，()()42f a f a ββ+=+，则()f β为周期函数，A 正确； 设()sin g β

ββ

=

，故()2

cos sin 'g βββ

ββ-=

，设()cos sin h ββββ=-，

故()'sin 0,0,2h πββββ??

=-<∈ ???

，故()h β单调递减，

且()00h β=>，102h π??

=-<

???

，故存在0β使()00h β=. ()g β在()00,β上单调递增，在0,2πβ??

???

?上单调递减，

22g ππ??= ???，当0β→时，()1g β→，故()min 2

2g g πβπ

??== ???，B 正确； ()()sin 1ln a f βββ=-+在区间(0,1)上增函数，则()()1

cos 10'a f ββ

β=--+

≥，

即()

1

cos 1a ββ≤

-恒成立，

设()()cos 1k βββ=-，则()()()'cos 1sin 10k ββββ=-+->， 故()k β在(0,1)上单调递增，故()()

1

cos 1p βββ=-在(0,1)上单调递减，()11p =，

故1a ≤，C 错误； D.若()()()

sin 2cos f

πβ?πβ?β=+-+，0?π<<，满足()()

11f

f ββ+=-，则

4

sin 25

?=-

()()()()

sin 2cos f πβ?πββ?πβ?α=+-+=+-，其中tan 2,0,2παα??

=∈ ???

.

()()11f f ββ+=-，即函数关于1β=对称，故,2

k k Z π

π?απ+-=

+∈，

即222,k k Z ?παπ=-++∈，

()4

sin 2sin 22sin 22sin cos 5

k ?παπααα=-++=-=-=-，故D 正确；

故选：ABD . 点评：

本题考查了函数周期，最值，对称，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 三、填空题

13．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 且b c >，若在椭圆上

存在点P ，使得过点P 可作以12F F 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为______.

答案：32,??

?????

如图所示，根据题意知PAOB 为正方形，2PO c =，故b PO a ≤≤，解得答案.

解：

如图所示，根据题意知：PAOB 为正方形，故2PO c =

，故b PO a ≤≤，

故2

2

2

2b c a ≤≤，解得32e ≤≤，又b c >，故22e <，故32,e ?∈??????. 故答案为：32,32??

?????

.

点评：

本题考查了椭圆离心率的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．已知O 是ABC ?的外心，且3

A π

=

，5AB =，3AC =，若AO mAB nAC =+，则

m n +=______.

答案：

2645

计算252AO AB ?=

，92AO AC ?=，152AB AC ?=，得到方程组1525

2522

m n +=，

159

922

m n +=，解得答案. 解：

2

25

cos 2

2

2AB AB AO AB AO AB BAO AO AB AO

?=?∠=??

=

=

，同理92AO AC ?=.

15cos 2

AB AC AB AC A ?=?=

， 故()

1525

2522

AO AB mAB nAC AB m n ?=+?=+

=， ()

159922AO AC mAB nAC AC m n ?=+?=+=，解得715m =，1

9n =，故2645

m n +=.

故答案为：26

45

.

点评：

本题考查了向量的应用，计算252AO AB ?=，9

2

AO AC ?=是解题的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15．已知三棱锥S ABC -

的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为SA ⊥平面ABC ，

4SA =，120ABC ∠=?，则球O 的体积的最小值为

______.

根据体积公式得到6BA BC ?=，根据余弦定理得到

AC ≥根据正弦定理得到r ≥

根据

2

2

2

2

SA R r ??

=+ ???

得到R ≥.

解：

1114332S C C AB AB V S SA BA BC -?=?=???=，故6BA BC ?=.

根据余弦定理：

222222cos 3AC BA BC BA BC B BA BC BA BC BA

BC =+-?=++?≥?，

即AC ≥BA BC =时等号成立. 设外接圆半径为r ，故2sin b

r B

=

≥r ≥设球O 的半径为R ，球心O 在平面

ABC 的投影1O 为ABC ?外心，

则

2

2

2

64102SA R r ??=+≥+= ?

??

，R ≥3

433V R π=≥. 故答案为：

3

.

点评：

本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 四、双空题

16．设双曲线22

2116x y b

-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线

与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点

(8,0)A ，(5,6)B ，则

1

2

AM BM +的最小值________. 答案：2

2

16x y +=35

延长1F Q 与2PF 的延长线交于点M ，计算121

42

OQ PF PF =

-=得到轨迹方程，取点()2,0C ，1

2

AM BM MC BM BC +=+≤，解得答案. 解：

如图所示：延长1F Q 与2PF 的延长线交于点M ， 则()2212111

4222

OQ MF PM PF PF PF a =

=-=-==， 故轨迹方程为2

2

16x y +=. 取点()2,0C ，则

1

2

OC OM OM OA ==，MOC MOA ??，故1

2

MC PA =

， 1

352

AM BM MC BM BC +=+≤=，当BMC 共线时等号成立.

故答案为：2216x y +=；35

点评：

本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点()2,0C 证明相似是解题的关键. 五、解答题

17．已知ABC ?的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， ()3cos cos sin C a B b A c C += ②sin

sin 2

A B

a c A += ③()2

2sin sin sin sin sin B A C B A -=-

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求sin sin A B ?的最大值. 答案：见解析

根据正弦定理或余弦定理计算得到3

C π

=，再计算11sin sin 2s 264in A B A π?

?=

-+ ??

??，得到最值. 解：

()3sin cos sin cos sin sin C A B B A C C +=，

()3sin sin sin C A B C C +=3tan C =，3

C π

=

若选②，则由正弦定理知：

sin sin

sin sin 2

C

A C A π-=，cos

sin 2sin cos 222C C C C ==，1

sin 22C =，3

C π= 若选③，则有正弦定理知()2

2b a c bc -=-，

222b a c bc ∴+-=，由余弦定理知：1cos 2C =

，3

C π=， 23A B π

+=

，2sin sin sin sin 3A B A A π??∴?=?- ??

?1sin sin 2A A A ?=?+????

()211cos sin 21cos 224

A A A A A =?+=+-11sin 2264A π??=-+ ???

20,

3

A π

??

∈ ???，72,666A πππ??

∴-∈- ?

??

，所以当3A π=时，sin sin A B ?的最大值是34. 点评：

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()

1

11n n n S a n n -+=

++，1,2,3n =??????

（1）设()

1

1n n b a n n =+

+，求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）设1

12n n n c a -=-，求n c 的最小值.

答案：（1）证明见解析（2）1

3

（1）整理化简得到()()

112n n

a n n +=

++()111n n n a a n n +---

++，()

1

1n n b a n n =++，化简得到

12n n b b +=，得到证明.

（2）计算()1

11

21n n a n n -??

=- ?

+??

，()121n n c n n -=+，根据题意11

n n n n c c c c +-≤??≤?，解得答案.

解：

（1）()111n n n S a n n -=-+

+，()()11

112n n n

S a n n ++∴=-+++，

当1n =时，易知112

a =

，()()1112n n n n a S S n n ++∴=-=++()1

11n n n a a n n +---++ ()()()

1221121211n n n n a a n n n n n ++--∴=

-+=++++()()()211

1211n a n n n n n -++++++，

()()11212n a n n +??∴+??++??

()11n a n n =++，

令()11n n b a n n =+

+，则(

)()11

1

12n n b a n n ++=+++，上式可化为12n n b b +=

{}n b ∴是以11b =为首项，公比为12的等比数列，1

12n n b -??

???

=

（2）()

1

11

21n n a n n -??∴=- ?

+??

()121n n c n n -∴=+，设第n 项最小，

11n n n n c c c c +-≤?∴?≤?()()()()()112

221122211n n

n n n n n n n n n n ---?≤?+++?∴??≤?+-?

，122

2111

n n n n ?≤??+∴??≤?+-?23n ∴≤≤. 所以当2n =或3n =时，最小值为2313

n c c c ===. 点评：

本题考查了等比数列的证明，数列的最值，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19．在三棱锥，S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，2AC =，E 为AB 的中

点，M 为CE 的中点.

（1）证明：平面SCE ⊥平面SAB ；

（2）在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由；

（3）若30SCA ∠=?，求二面角S CE B --的大小.

答案：（1）证明见解析；（2）存在，点N 为SB 上的靠近S 的四等分点；（3）120?. （1）先证明SC ⊥平面SAB ，再利用面面垂直的判定定理得到结论； （2）取点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即1

4

SN SB =，//MN 平面SAC ，利用面面平行，判断出线面平行，判断出结论成立；

（3）根据题意，作SO AC ⊥于O ，过O 作AB 的平行线为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立

空间直角坐标系，平面BEC 的法向量为(0,0,1)n =，求出平面SEC 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出角． 解：

解：（1）由AB ⊥平面SAC ，SC ?平面SAC ， 故AB SC ⊥，由AS AC ⊥，AB AS A ?=，

,AB AS ?平面SAB ，所以SC ⊥平面SAB ，

SC ?平面SCE ，

故平面SCE ⊥平面SAB ；

（2）存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即1

4

SN SB =

，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ， 因为AC ?平面SAC ，MF ?平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 又MF MN N ?=，,MF MN ?平面MNF ， 所以平面//MNF 平面SAC ， 又MN ?平面MNF ， 所以//MN 平面SAC ；

（3）作SO AC ⊥于O ，过O 作AB 的平行线为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，

由30SCA ∠=?，AS SC ⊥，得2

AS =

，2AO =，36

22SC =?==

，64OS =

，32

4

OC =，12AE =，

故2,1,04B ?? ? ???，21,042E ?? ? ???，32,0,04C ??- ? ???，6S ? ??

，

12,,02CE ?

?= ??

?，326,0,SC ??=-

- ? ???

， 设平面SEC 的法向量为(),,m x y z =，

由12023260m CE x y m SC x z ??=+=?????=--=??

，得()

1,22,3m =--， 平面BEC 的法向量为()0,0,1n =， 由31

cos ,212

m n -=

=-，因为二面角S CE B --为钝角，

故所求二面角为120?.

点评：

考查线面，面面平行于垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．

20．“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如表列联表：

（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？

（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券m 张（3m >，且*m N ∈），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为X 元，若要使X 的均值不低于50元，求m 的最小值.

附：()()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

答案：（1）列联表见解析，没有把握；（2）6.

（1）由列联表求出22

(1813127)50

3 3.84130202525

k ?-??==

与性别有关．

（2）由题意知X 的可能取值为20m ，1020m +，1010m +，40，30，20，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列、数学期望，进而能求出m 的最小值． 解：

解：（1）补充列联表， 男性 女性 总计 刷脸支付 18 7 25 非刷脸支付 12 13 25 总计

30

20

50

所以22

(1813127)503 3.84130202525

k ?-??==

∴没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关.

（2）由题意知X 的可能取值为20m ，1020m +，1010m +，40，30，20，

()111

204416

P X m ==?=，

()111

10202448

P X m =+=??=，