高三数学上学期开学考试试题文
哈师大附中高三上学期第一次月考
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．若全集U R =，集合{
}
2
4M x x =>，301x N x
x ?-?
=>??+??
，则)(N C M U 等于（ ）
A ．{2}x x <-
B ．{2x x <-或3}x ≥
C ．{3}x x ≥
D ．{23}x x -≤< 2．若复数z 满足(12)5i z +=,i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ ） A.2i - B.2- C.2 D.2i 3．与函数y x =相同的函数是（ ） A ．2
y x =
B ．2
x y x
= C
．
()
2
y x =
D ．log (01)x a y a a a =>≠且
4．幂函数2
231
()(69)m
m f x m m x -+=-+在(0+)∞，
上单调递增，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5.已知函数()ln f x x x =，则()f x （ ）
A. 在()0,+∞上递增
B. 在()0,+∞上递减
C. 在10,e ?
? ???上递增 D. 在10,e ?? ???
上递减
6．函数ln 1
()1x f x x
-=
-的图象大致为（ ）
7．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；
B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件；
C. 若命题:,21000n p n N ?∈>，则:,21000n p n N ??∈>；
D. 命题“(),0,23x
x
x ?∈-∞<”是假命题.
8．设0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）
A. a b c >>
B. b a c >>
C. c a b >>
D. c b a >>
9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]
0,1x ∈时 ()21x
f x =-，
则（ ）
A. ()()11672f f f ??<-<
??? B. ()()11762f f f ??
-<< ?
??
C. ()()11672f f f ??
<<-
?
??
D. ()()11762f f f ??<-< ??? 10．若函数,1
()(4)2,12
x a x f x a x x ?≥?
=?-+
x x ≠都有()()1212
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()48，
B. [
)48， C. ()1+∞， D. ()18，
11．已知函数3log ,03,
()4,3x x f x x x <≤??=?->??
若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则
实数m 的取值范围是（ ） A. 1,12??
??? B. ()1,1,2??-∞?+∞ ??? C.
[)1,1,2??-∞?+∞ ??? D. 1,12??
???
12.已知函数()ln (2)24(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得
1()0f x >，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (ln 3,2)
B. (]0,2ln3-
C. (0,2ln 3)-
D. [)2ln3,2- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．设函数2
3(1)()4(1)
x x f x x
x
-≥?，则[])2(f f = ．
14．若函数()y f x ＝的定义域是1[,2]2
，则函数()2log y f x ＝的定义域为 ． 15.已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
16.已知命题:p 函数()()2
210f x ax x a =--≠在()0,1内恰有一个零点；命题:q 函数
2a y x -=在()0,+∞上是减函数，若()p q ∧?为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）设函数()=271f x x -+. （Ⅰ）求不等式()f x x ≤的解集；
（Ⅱ）若存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，求实数a 的取值范围．
18．（本题满分12分）已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ
=??
=?（θ为参数），曲线2C 的参数
方程是3,423x t t y =-??+?=??
（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最大值和最小值．
19.（本题满分12分）已知函数()3
3,f x x x a a R =-++∈．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．
20．（本题满分12分）已知点()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，F
是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．
21．（本题满分12分）设函数23()=x
x ax
f x e
+（a R ∈）． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）若()f x 在[)3+∞，
上为减函数，求a 的取值范围.
22. （本题满分12分）
已知函数2()ln f x x mx =-，2
1()2
g x mx x =+，m R ∈,令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当1
2
m =
时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.
哈师大附中高三上学期第一次月考
数学（文科）答案
一、选择题.
1.B
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.C
8.A
9.C 10.B 11.A 12.B 二、填空题
13. 0 14. 2,4????
15.[)1,+∞ 16.12a <≤
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由f （x ）≤x 得|2x ﹣7|+1≤x， ∴
，
∴不等式f （x ）≤x 的解集为
； …… 5分
（Ⅱ）令g （x ）=f （x ）﹣2|x ﹣1|=|2x ﹣7|﹣2|x ﹣1|+1，
则，∴g（x ）min =﹣4，
∵存在x 使不等式f （x ）﹣2|x ﹣1|≤a 成立，
∴g（x ）min ≤a，∴a≥﹣4. …… 10分 18. 解：（1）曲线C 1的参数方程是（θ为参数），则
，
∵sin 2θ+cos 2θ=1，
，∴曲线C 1的普通方程是
； …… 3分
曲线C 2的参数方程是（t 为参数），
消去参数t ，t=3﹣x ，代入
，即2x+3y ﹣10=0
∴曲线C 2的普通方程是2x+3y ﹣10=0． …… 6分 （2）设点P （2cosθ，sinθ）为曲线C 1上任意一点， 则点P 到直线2x+3y ﹣10=0的距离为d ， 则
（其中43
sin ,cos 55
??=
=）…… 10分
∵sin （θ+φ）∈[﹣1，1] ∴max 1513
13
d =，此时sin()1θ?+=-，min 51313d =，此时sin()1θ?+= (12)
分
19. 解 ：（Ⅰ）()'
233f
x x =-+，9k =-，()21f =-
切线为：()192y x +=--，即9170x y +-= (6)
分 （Ⅱ）()'
233f
x x =-+，令()'0f x =，则1x =±
X
(),1-∞-
1-
()1,1-
1 ()1,+∞
()'f x - 0 +
0 -
()f x
极小值
极大值
所以()f x 的极小值为()1=a-2f -，极大值为()1=a+2f …… 12分
20.解： (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝23
3，得c ＝ 3.
又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (4)
分
(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 2
4＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2
－3)>0，即k 2
>3
4时，
122
12216141214k x x k x x k ?
+=??+?
?=
?+?
|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－3
4k 2＋1
. 点O 到直线PQ 的距离d ＝
2
k 2＋1.
所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2
－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t
t 2＋4＝4
t ＋4t
. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7
2时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7
2x －2. …… 12分
21.解：(1)对f (x )求导得
f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a
e x . 因为
f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0. 当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ， 由f ′(x )>0，0 f ′(x )<0有x<0或x>2, 故 a=0时()f x 在0x 处取得极值 …… 6分 (2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a e x ， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0， 解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数． 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数， 知x 2＝6－a ＋a 2＋366 ≤3，解得a ≥－92. 故a 的取值范围为?????? －92，＋∞. …… 12分 22.解：（1）定义域为(0,)+∞， 当12m =时，2 11'()x f x x x x -=-= 令'()0f x >，01x ∴<<， 令'()0f x < 1x ∴> 所以，增区间：(0,1) ，减区间：(1 +)∞， …… 5分 （2）法一：令 . 所以. 当时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数， 又因为 .所以关于的不等式 不能恒成立. 当时， .令 得 ， 所以当时，；当时，， 因此函数在是增函数，在 是减函数. 故函数的最大值为 . 令，因为 ， ， 又因为 在 上是减函数，所以当 时， . 所以整数的最小值为2. …… 12分 法二：由恒成立知 恒成立， 令 ，则 ， 令，因为，，则为增函数. 故存在，使，即， 当时，，为增函数，当时，，为减函数. 所以， 而，所以，所以整数的最小值为2. …… 12分