「口袋数学」绝对值的几何意义探究及应用，培优课程

「口袋数学」绝对值的几何意义探究及应用，培优课程

从数轴上看|a|表示数a的点到原点的距离；|a-b|表示数a、数b 的两点之间的距离。

|a-b| 的几何意义就是数轴上数a、数b的两点之间的距离。

|x-a1|+|x-a2| 就表示数x的点到数a1、a2两点的距离和，当a1≤x≤a2时，距离和最小且为a1、a2两点之间的距离|a1-a2|。

|x-a1|+|x-a2|+|x-a3| 就表示数x的点到数a1、a2、a3三点的距离和，当x=a2时，距离和最小且为a1、a3两点之间的距离|a1-a3|。

以此类推，求数x在到偶数个点的距离和，x在最中间两个点之间时，距离和最小；求数x在到奇数个点的距离和，x与最中间一个点重合时，距离和最小。

01 典型例题讲解

例1. 在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．

如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．

一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是________；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是________．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A 到B的距离与A到C的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|=7的x的值为________．

（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．

【分析】

（1）数轴上2、3两点相减距离为1，点Q可能在P点左右两侧，求出P点的数。

（2）表示出A到B的距离与A到C的距离之和；|x﹣3|+|x+2|=7，考虑x的范围，写出相应的取值。

（3）通过推断，得出当50≤x≤51时，对应的点有最小值。

【解答】

解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是3﹣2=1；

数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是2﹣3=﹣1或2+3=5；

故答案为：1，﹣1或5；|x+3|+|x﹣1|，﹣3或4．

（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|，∵|x﹣3|+|x+2|=7，

当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2=7，x=﹣3，

当﹣2≤x≤3时，x不存在．

当x＞3时，x﹣3+x+2=7，x=4．

故满足|x﹣3|+|x+2|=7的x的值为﹣3或4．

故答案为： |x+3|+|x﹣1|，﹣3或4．

（3）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|=（|x﹣1|+|x﹣100|）+（|x﹣2|+|x﹣99|）+…+（|x﹣50|+|x﹣51|）表示数x的点到1,2,3,…,100这100个点的距离和。

|x﹣1|+|x﹣100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，当1≤x≤100时，|x﹣1|+|x﹣100|有最小值为|100﹣1|=99；

|x﹣2|+|x﹣99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，当2≤x≤99时，|x﹣2|+|x﹣99|有最小值为|99﹣2|=97；

…

|x﹣50|+|x﹣51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，

当50≤x≤51时，|x﹣50|+|x﹣51|有最小值为|51﹣50|=1．

所以，当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500

02 举一反三练习

1. 同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x ﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

（1）求|4﹣（﹣2）|=________；

（2）若|x﹣2|=5，则x=________；

（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3．

2. 同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：

（1）求|5-（-2）|=________；

（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________；

（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

03 参考答案解析

1. 【答案】

（1）6

（2）-3

（3）解：由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和，

∴﹣2≤x≤1，∴x=﹣2或﹣1或0或1

【分析】

根据绝对值的性质;正数的绝对值是正数、负数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0可求解：

（1）由绝对值的性质可得原式=6；

（2）由绝对值的性质可得x﹣2=±5，解方程即可求解；

（3）由绝对值的意义可知|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和，所以可得﹣2≤x≤1，写出范围内的整数即可。

2. 【答案】

（1）7

（2）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2

（3）解：|x−3|+|x−6|有最小值，最小值是3，

理由：当x>6时，|x−3|+|x−6|=x−3+x−6=2x−9>3，

当3⩽x⩽6时，|x−3|+|x−6|=x−3+6−x=3，

当x<3时，|x−3|+|x−6|=3−x+6−x=9−2x>3，

故|x−3|+|x−6|有最小值，最小值是3.

∴|x-3|+|x-6|有最小值，为3

【分析】

（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题。|5-（-2）

|=|5+2|=7

（2）利用分类讨论的数学思想进行讨论：当x>2时；当−5⩽x⩽2时；当x<−5时，分别计算求出符合题意的整数。

解：当x>2时，|x+5|+|x−2|=x+5+x−2=7，解得，x=2与x>2矛盾，故此种情况不存在，

当−5⩽x⩽2时，|x+5|+|x−2|=x+5+2−x=7，故−5⩽x⩽2时，使得|x+5|+|x−2|=7，故使得|x+5|+|x−2|=7的整数是−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2，

当x<−5时，|x+5|+|x−2|=−x−5+2−x=−2x+3=7，得x=−5与x<−5矛盾，故此种情况不存在，

故答案为：−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2；

（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想进行解答。当x>6时；当3⩽x⩽6时；当x<3时，求出最小值即可。