求定积分的四种方法
定积分的四种求法
定积分是新课标的新增内容,其中定积分的计算是重点考查的考点之一,下面例题分析定积分计算的几种常用方法. 一、定义法
例1 用定义法求2
30x dx ?的值.
分析:用定义法求积分可分四步:分割,以曲代直,作和,求极限.
解:(1)分割:把区间[0,2] 分成n 等分,则△x =2n
. (2)近似代替:△32()i i i S f x x n ξ??=?=? ???
(3)求和:33
111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ?????
??∑∑∑. (4)取极限:S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ???????????L =4
43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+?
?L =224(21)lim n n n n
→∞++==4. ∴2
30x dx ?=4..
评注:本题运用微积分的基本定理法来求非常简单.一般地,其它方法计算定积分比较困难时,用定义法,应注意其四个步骤中的关键环节是求和,体现的思想方法是先分后合,以直代曲.
二、微积分基本定理法
例2 求定积分2
21(21)x x dx ++?的值.
分析:可先求出原函数,再利用微积分基本定理求解.
解:函数y =2
21x x ++的一个原函数是y =3
23x x x ++. 所以.2
2
1(21)x x dx ++?=3221()|3x x x ++=81421133????++-++ ? ?????=193. 评注:运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.
三、几何意义法
例3 求定积
分1
1dx -?的值.
分析:利用定积分的意义是指曲边梯形的
面积,只要作出图形就可求出.
解
:1
1dx -?表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.
因为2S π=
半圆,又在x 轴上方. 所
以1
1dx -?=2
π. 评注:利用定积分的几何意义解题,被积函数图形易画,面积较易求出.
四、性质法
例4 求下列定积分: ⑴44tan xdx π
π-?;⑵22sin 1
x x dx x ππ-+?. 分析:对于⑴用微积分的基本定理可以解决,而⑵的原函数很难找到,几乎不能解决.若运用奇偶函数在对称区间的积分性质,则能迎刃而解.
解:由被积函数tan x 及22sin 1
x x x +是奇函数,所以在对称区间的积
分
值均为零.
所以⑴ 4
4
tan xdx π
π-?=0; ⑵22sin 1
x x dx x ππ-+?=0. 评注:一般地,若f (x )在[-a ,a ]上连续,则有性质:①当f (x )为偶函数时,()a a f x dx -?=20()a f x dx ?;②当f (x )为奇函数时,()a a f x dx -?=0.
小结
通过这几个例题分析,让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法,懂得在什么情况该用何种方法解决问题;它有非常重要的意义,并且应用也非常广泛,因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
参考文献:
[1]《数学分析》上册(第二版)复旦大学数学系编.高等教育出版社,
[2]《数学分析》下册(第二版)复旦大学数学系编.高等教育出版社,
留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)
留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中,不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力. 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题,会达到化难为易、化繁为简的效果.本文主要利用复变函数中的留数定理,将实积分转换为复积分的方法,讨论了几类定积分的计算,首先我们来给出留数的定义及留数定理. 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点,即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <内解析,则积分 ()()1 :,02f z dz z a R i ρρπΓ Γ?=<
证明:以k a 为心,充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=(1,2,k =…,n )使这些圆周及内部均含于D ,并且彼此相互隔离,利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??, 由留数的定义,有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?. 特别地,由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?, 代入(1)式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?. 2.留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型的积分. 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数,且在[]0,2π上连续,解决此类积分要注意两点,一:积分上下限之差为2π,这样当作定积分时x 从0到2π,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后,我们可以设ix z e =,则dz izdx =, 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==,21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑.
积分不等式的若干证明技巧
题目:积分不等式的若干证明技巧 学院:数学科学学院 专业班级:数学07-4实验班 学生姓名:努尔艾拉.阿西木 指导教师:塔实甫拉提副教授 答辩日期:2011年5月10日 新疆师范大学教务处
目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献: (11) 致谢 (12)
积分不等式的若干证明技巧 摘要:不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一,它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多,本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性,是理工科学生学习的一个难点,以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发,大致地分成若干种方法,介绍有关证题的技巧和规律。 关键词:积分不等式,积分中值定理;Rolle中值定理;Cauchy中值定理;Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts:inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。
定积分测试题及答案
定积分测试题及答案 班级: 姓名: 分数: 一、选择题:(每小题5分) 1.0=?( ) A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??02sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a 8.函数F (x )=??0 x t (t -4)d t 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-323 C .有最小值-323,无最大值 D .既无最大值也无最小值 9.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,函数f (x )=??1 x 1t d t ,若f (x ) 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则: 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 定积分及应用61887 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢24 第六章 定积分及其应用 习题6-1 1、利用定积分的定义计算下列定积分: (1) ?-2 1 xdx ; 解:①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f , ②取?为]2,1[-的n 等分,此时有 ]31,)1(31[],[1n i n i x x i i i +--+-==?-,n x i 3=?=?,.,,2,1n i = ③取i i i n i x ?∈+-==31ξ,于是 )3(33)31()(],[11 1∑∑∑===+-=+-=?=?n i n i n i i i i n n n n n i x f S ξξ 2 )1(932++-=n n n , ④2 3293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=?=∞→→?-?n n n S xdx n ξ. (2) ?1 0 dx e x . 解:①令]1,0[)(C e x f x ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈, ②取?为]1,0[的n 等分,此时有 ],1[],[1n i n i x x i i i -==?-, n x i 1=?=?,.,,2,1n i = 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢24 ③取i i i n i x ?∈==ξ,于是 ∑∑∑ =====?=?n i n i n i n i n i i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ, ④n n n n i n i n x e e e n e n S dx e 11 10||||1 0 1 11lim )1(lim ],[lim --==?=∞→=∞→→?∑?ξ 11lim )1(1 1 lim )1(01-=--=--=→∞→e e t e e n e t t n n . 2、利用定积分的几何意义,说明下列等式: (1)121 0 =?xdx ; 解:因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1, 因此由定积分的几何意义知121 0 =?xdx . (2)411 0 2π=-?dx x ; 解:因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围 成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4 π,因此由定积分的几何意义知 4 11 0 2π=-?dx x . (3)0sin =?-π πxdx ; 用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似. 微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式. 一、用导数定义证明不等式法 1.证明方法根据-导数定义 导数定义:设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义,若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在,则称函数)(x f 在0x 可导,称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数,记作)(0x f y '=. 2.证明方法: (1)找出0x ,使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边;(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究. 3.例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ,其中n a a a ,,21都为实数, n 为正整数,已知对于一切实数x ,有x x f sin )(≤,试证:1221≤+++n na a a . 证 明 : 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' .则 n na a a f +++=' 212)0(. 得:x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '.由于x x f sin )(≤. 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x .即1221≤+++n na a a . 4.适用范围 用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的. 二.用可导函数的单调性证明不等式法1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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