双曲线焦点三角形问题

双曲线焦点三角形的几个性质

在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122

22=-b

y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：

性质1、若θ=∠21PF F 则2cot

221θb S PF F =?特别地，当 9021=∠PF F 时，有2

21b S PF F =?

性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？

性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。

性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线122

22=-b

y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A

||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-

a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-

所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A

性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则

22b

a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶

点）。]arctan ,0[b

a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|

||| e a

c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF

当点P 在双曲线右支上时，有1

1

2cot 2tan +-=e e βα

当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα