数学模型 汽车刹车距离(完成稿)为爱车一族提供科学依据

目录

摘要 (2)

关键词 (2)

问题提出 (3)

问题分析 (3)

符号说明 (4)

模型假设 (4)

模型建立与求解 (5)

模型检验 (19)

结果分析 (22)

模型应用 (22)

模型优缺点及改进 (25)

建模体会 (26)

参考文献 (26)

摘要

本文从汽车的刹车距离的两个方面：反应距离与制动距离入手研究十类大众化的汽车在公路的刹车情况，进而对这十类汽车的车主提出安全驾驶建议。

在模型的建立过程中，本文主要从影响汽车刹车距离的两个主要因素：司机的反应时间、汽车的车速入手。对于影响刹车距离的其他因素如：路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技巧和身体状况等都视为相同的状态。

在对于刹车过程的具体分析，主要分成两个阶段：第一阶段称为“反应阶段”即匀速直线运动阶段，利用公式d′=t v'求得；第二阶段称为“制动阶段”即匀减速直线运动阶段,利用功能原理及牛顿第二定律得出：Fd″=Mv2/2；进而得出刹车的距离公式d=t v'+kv2。

再者从所收集得来的数据中运用最小二乘法拟合数据，得出k值，代入公式d=t v'+kv2得出刹车的速度与距离关系式。进而给驾驶者提出安全驾驶建议。

关键词：反应距离制动距离功能原理牛顿第二定律最小二乘法

问题提出

如今已进入汽车时代，怎么保持在公路上安全刹车已经成为越来越重要的问题，那么应该怎么样规范才能使人们在安全的条件下驾驶汽车。请研究你所常见的十种汽车的刹车距离，进一步对各种车型的车主提出建议。

问题分析

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系，一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立不同车型下刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手：

首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”；

在第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离为“制动距离”

进而可得出：刹车距离=反应距离+制动距离

下面对各阶段具体分析：

反应距离阶段：

根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速没有改变，也就是说在此瞬间汽车做匀速直线运动，反应时间取决于驾驶员状况和汽车制动系统的灵敏性,与汽车的型号没有关系，而在不同年龄段的司机状况（包括反应、警觉性、视力等）有一定差别，因此在这研究中可以考虑分年龄段研究反应距离；正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常好，与驾驶员状况相比，可以忽略。

制动距离阶段：

在制动过程，汽车的轮胎产生滚动摩擦，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停止。用物理的语言来陈述，那就是：汽车制动力使汽车做减速运

动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失。

在制动过程中，按照汽车的刹车系统及结构设计，不同车型在在相同条件下的紧急刹车的加速度是有一定区别的，也就是说，最大制动力受到汽车设计，车重，刹车系统性能的影响，所以认为不同车型的刹车情况是不同的。

换言之，需要对不同型号的汽车测试其在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后利用测试数据拟合出模型d=t v +kv2中的系数k 值，那么所得到不同车型下的刹车距离与车速之间的二次函数经验公式，对于所有在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，既没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。

符号说明

模型假设：

（1）、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；（2）、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；

（3）、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动；

（4）、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失；

（5）、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离

模型建立：

根据假设（2）、（3），汽车在反应阶段做匀速直线运动，立即得到反应距离：

d′=t v'（1.1.1）

根据牛顿第二定律和假设（4），汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a是常数，有F=ma；再根据功能原理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失：Fd″=Mv2/2；所以d″=v2/2a

令，k=1/(2a)，就得到制动距离：

d″=kv2（1.1.2）

最后，根据假设（5），及（1.1.1）—（1.1.2）式，刹车距离为

d=t v'+kv2（1.1.3）

（1.1.3）式就是汽车刹车距离的数学模型

模型的求解过程：

反应时间t′的数据，摘选自华北科技学院学报：

反应时间测试操作：将测试者分为老中青三组,每组20名。青年组年龄为20～30岁,中年组年龄为35～45岁,老年组年龄为51～60岁。测试者均在正常情况的驾驶：

以下研究的数据是汽车的制动距离，结合最小二乘法进行拟合。利用公式：S=∑（kv2-d″）2进行求解：

解答时先对S求导可得：S′=∑2k（v2）2-2d″v2

令S′=0 ，可求得k值：

8

2

i 18

2

2

1

22()

i i i

i v d k v ==''

=

∑

∑

(1)

选取汽车之家（https://www.360docs.net/doc/91360783.html,/）提供10种不同型号汽车在公路的制动距离实测数据进行模型建立。

型号一：2010款，捷豹XFR v8机械增压版

对表（2-10-1）五列与六列数据进行求和

8

2

i 1

2i i v d =''∑

=165509.259

8

22

1

2()i i v =∑

=3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k=0.055

可得出此类车的刹车模型：

型号二：2010款，上海大众-途观2.0TSI 旗舰导航版

（2-10-2）8

2

i 1

2i i v d =''∑

=178536.265

8

22

1

2()

i i v =∑

=3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.059

可得出此类车的刹车模型：

型号三：2010款，沃尔沃C30 2.0智雅版

（2-10-3）8

2

i 1

2i i v d =''∑

=155413.580

8

22

1

2()

i i v =∑

=3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.052

可得出此类车的刹车模型：

型号四：2010款，现代ix35 2.4领舰版

（2-10-4）8

2

i 1

2i i v d =''∑

=163832.562

8

22

1

2()i i v =∑

=3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.054

可得出此类车的刹车模型：

型号五：2010款奥迪A3 Sportback 1.8T 豪华型

对表（2-10-5）五列与六列数据进行求和

8

2

i 12i i v d =''∑

= 158993.827

8

22

1

2()

i i v =∑

= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.053

可得出此类车的刹车模型：

型号六：奔驰E300L ，真正的商务车标杆

对表（2-10-6）五列与六列数据进行求和

8

2

i 1

2i i v d =''∑

= 147996.914

822

1

2()

i

i v

=∑= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.049

可得出此类车的刹车模型：

型号七：年轻人的第一辆车！测试海马王子

1.0L

（2-10-7）8

2

i 1

2i i v d =''∑

= 204872.685

8

22

1

2()i i v =∑

= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.068

可得出此类车的刹车模型：

型号八：瑞虎 2010款 改款 1.6S MT 豪华型

（2-10-8）8

2

i 1

2i i v d =''∑

= 167950.617

8

22

1

2()

i i v =∑

= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.056

可得出此类车的刹车模型：

型号九：行政商务新选择 宝马535L i

（2-10-9）8

2

i 12i i v d =''∑

= 160638.889

8

22

1

2()

i i v =∑

= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.053

可得出此类车的刹车模型：

型号十：一汽-大众CC 2.0T ，科技点缀感动

（2-10-10）8

2

i 1

2i i v d =''∑

= 160545.062

8

22

1

2()

i i v =∑

= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.053

模型的检验

检验过程：将制动过程的速度数值代入制动距离公式d″=kv2，进而对比其与实际制动距离的差值，确立模型的合理性。

型号一：2010款，捷豹XFR v8机械增压版

型号三：2010款，沃尔沃C30 2.0智雅版

型号四：2010款，现代ix35 2.4领舰版

型号五：2010款奥迪A3 Sportback 1.8T 豪华型

型号六：奔驰E300L，真正的商务车标杆