重点高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

线面角的求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1

C 1

D 1

B 1

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 ，设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.8 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2

（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直

线，其中θ为OA 与OC 所成的角，

B α

图3

θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）

1．平面的斜线和平面所成的角：

已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是

斜线在平面α内的射影。设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：

1||||cos AB AO θ=u u u r u u u r ，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ==u u u r u u u r u u u r

又∵||||cos AC AO θ=u u u r u u u r

，

可以得到：12cos cos cos θθθ=?，

注意：2(0,

θ∈（若22

θ=

，则由三垂线定理可知，

OA AC ⊥，即2

θ=

；与“AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ”不相符）。

易得：1cos cos θθ< 又1,(0,

θθ∈即可得：1θθ<．

则可以得到：

（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。

说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；

2．若//a α或a α?，则规定a 与α所成的角为0o

；

3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤o o

；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12cos cos cos θθθ=?）。

例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

θ2

θ1O

解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则∠AOD 即为OA

与面OBC 所成的角，可知∠DOC=30° ,cos ∠AOC=cos ∠AOD·cos ∠DOC ，∴cos60°=cos ∠AOD·cos30°

∴ cos ∠AOD= √3／3 ∴ OA 与面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。

2．例题分析：

例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，

60,45ABC OBC ∠=∠=o o ，求斜线AB 和平面α所成角。

解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角，

又∵12cos cos cos θθθ=?，

∴cos cos 60122

cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠=

==÷=∠o

o ，

∴45BAO ∠=o ，即斜线AB 和平面α所成角为45o

．

例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ，

∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1

AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，

在1Rt A BO ?中，11

AO A B =，∴130A BO ∠=o

．（法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，又∵112cos cos 452A BB ∠==

，116cos 3B B B BO BO ∠==， ∴11112

cos 32cos cos 26

A B

B A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=o

．

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=?求线面角显得更加方便。

例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值。

解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心，设四面体的边长为a ，则3

CO a =

， O C

B A

A 1

D D

∵90

AOC ∠=o

，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角， ∴3

cos 3

ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33．

2．如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，且24,610PC PB PD ===，求PC 和平面ABCD 所

成的角。

αA

B C

高中数学-立体几何-线面角知识点

WORD文档立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。若l ,m ，则l // m 。方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l

l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行：方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：

l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α

3.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。三．夹角问题。（一）异面直线所成的角：（1）范围：(0 ,90 ] （2）求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）

人教版数学必修二知识点总结

第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。（4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式

高一数学期中考试总结与反思

高一数学期中考试总结与反思许中银高一数学期中考试按事先约定的计划已圆满地结束了。从考试的结果看与事前想法基本吻合。考试前让学生做的一些事情从成绩上看都或多或少有了一定的效果。现将考前考后的一些东西总结。（1）考试的内容：本次考试主要考查内容为高中数学必修1全册，必修4到1.2.1任意角的三角函数。从卷面上看，必修1集合部分占29分，约占总分的18％。函数概念与基本初等函数I 部分140分，约占总分的88％。必修4三角函数部分14分，占总分约为8.5％。从分值分布看基本合理。（2）考试卷面题型分析。卷面上只有填空和解答两种题型。第I卷第1小题“设集合M＝{}{}R y y y y x∈ x x x 22 ＝ , ，， = R =, ∈ N 则M∩N＝”为集合交集问题，放在此处对于学习能力差的同学较难。第2题考查补集、子集问题。第3小题为计算题，根式计算问题。4，5，6，7为一般性问题应准确性还可以。第10题为偶函数定义域为[]a a2,1-，要考虑端点关于原点对称，有不少学生不太熟悉这种形式。第12题是关于恒成立问题，因为组内集体备课未强调，有的人讲，有的人没有讲，但也有很同学做对。13题为考 1，但是在考场上没有做出来的还是很多。14前讲过的原题答案为 24 题较难考虑画图后比较端点大小，没有讲过这种问题的班级做对的学

生很少。第II卷解答题15题一般性集合问题， 16题一般性二次函数问题，考查奇偶性，图象，单调区间，值域等等。17题为三角函数问题，学生初学又没有复习深化，大多数人被扣分，对m的讨论不全。第1小题对第2小题有诱导错误嫌疑。18题因为没有将分段函数总结在一起扣分，其实扣分也不太合理。 19题，第1小题用定义证明单调性过程比较规范，第2小题有同学用特值法求出m的值但缺少验证奇函数过程。 20题，较难要求学生有较强的思维能力和表达能力。一般学生只能做第1小题和部分第2小题，第3小题较难又涉及到参数和恒成立问题，全校仅有数人能完整解答出来。（3）考试成绩分析与反思笔者教两个班，高一（2）班为普通班，入学成绩较低一些，高一（24）班为二类重点班，入学成绩介于高分与低分之间。从考试结果看，好的入学成绩的学生基本上考出较好成绩，差的入学成绩基本上考出一个差的成绩。无论教育制度怎么改，量化出来的分数始终是最让师生关注的，总结大会上各级领导也基本上以分数或者分差多少来评论教师的个人业绩，多少年来似乎从未改变过。每一个师生的成绩总要拿出来晒一晒，分数好一点的人暗自庆幸我终于不在“批评”之列，不管其他学校老师的书是怎么教的，不管其他班级的学生是怎么学习的，师生的目标就是过了本校的对手，这样，日子也许会好过一些。这也是多少年没有改变过的事情。因而在平时的教学中就要注

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

人教版高中数学必修二全册知识点归纳总结

人教版高中数学必修二全册知识点归纳总结必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=3 1锥体； () h S S S S V 下下上上台体+?+=31 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

高中数学月考总结

高中数学月考总结一、回归课本，落实三基。对高考试卷进行分析不难发现，高考试题中有相当一部分试题是对基本知识、基本技能、基本方法的考查，考题往往是对课本原题的变形、改造及综合。所以在第一阶段的复习中，同学们要认真理解数学概念、强化记忆数学公式，注重通性通法，淡化特殊技巧。要把重点放在掌握知识及解题方法上，选择一些针对性强的经典题目强化训练，使基础知识系统化，基本技能、基本方法熟练化。二、注重综合，强化能力。考试命题中心提出：应更多地在知识网络的交汇点上设计试题，在综合中考查能力。高中数学的主干知识在高考命题中的主要综合有：“函数、方程、导数与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“三角、向量的综合”、“解析几何与向量的综合”、“排列组合、概率与随机变量的综合”等。数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的中心。数学思想总结提炼为：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、猜证结合思想。因此，在总复习中，要善于学习老师关于数学思想方法的评讲，自觉地、尽早地领悟数学思想方法，以综合能力为重点和难点，强化训练，使解题策略与方法明确化和系统化。三、及时总结，查漏补缺。做题的目的是培养能力，是寻找自己的弱点和不足的有效途径。对同学最有价值的试题往往不是我们会做的试题，而恰恰是我们做错的试题。要及时纠正错误，总结经验以免再犯，并将自己在平时练习中容易出错的地方辑录成册，以便在高考前提醒自己。在做试题时，如果发现自己的知识系统中有明显的漏洞，就要及时弥补，绝不可掉以轻心。四、做到“三明”、“三最”。

“问明”：打破砂锅问到底，只要不懂，坚决搞懂; “看明”：数学答案会使用，各步推理，一律弄清; “写明”：独立解题勤练习，能做会做，表达无错。数学解题追求的最高境界是：“三最”，即推理最高，方法最好、表述最简! 高三数学总复习阶段是一个艰苦漫长的过程，需要同学们坚定信心，持之以恒，坚忍不拔。愿你们能不断完善自己，取得最后的成功。

新课标高考立体几何线面角的计算归类分析知识分享

新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析深圳市第二实验学校李平作者简介李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。摘要求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词线面角空间角平移法等体积法空间向量方法线面角——直线和平面所成的角 1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90?; 若直线l //平面α或直线l ?平面α, 则l 与α所成角为0?. 2．线面角的范围: [0]2 π ，. 3．线面角的求法： (1)定义法(垂线法)． (2)虚拟法(等体积法). (3)平移法． (4)向量法. 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中. 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分

高中数学必修二总结

高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时, .当时, ；当时, 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到. （3）直线方程 ①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1. ②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点, ④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为. ⑤一般式：（A,B不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：,直线过定点；（ⅱ）过两条直线, 的交点的直线系方程为（为参数）,其中直线不在直线系中. （5）两直线平行与垂直当, 时, ；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （6）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解；方程组有无数解与重合（7）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点,则（8）点到直线距离公式：一点到直线的距离（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解. 二、圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径. 2、圆的方程（1）标准方程,圆心,半径为r；（2）一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为, 半径为

高中数学期末考试总结

高中数学期末考试总结时间如同白驹过隙，弹指一瞬之间，整个高一生活已经悄悄地离我们而去了，紧张的期末考试也暂时告一段落，现在，我要针对这次考试做出如下总结。言归正传，这次期末考试算是我这学期准备的最充分的、最重视的一次了，虽然各科的成绩都还不知道呢，但我认为考的并不理想。其实上了高中，我才发现自己压根儿根本就没有属于自己的“所谓的”优势学科，每科都基本在十几名左右，语文学科曾经还有考过倒数前十的悲惨历史。那么就请先允许我天真地把数理化当作“优势学科”好了。我自己对物理这次考得其实并不满意。这是因为前几次考试中所暴露出啦的问题仍然存在——面对一道貌似简单的解答题，总是因为着急而不好好读题，从而白痴地导致计算的多次错误，我通常会在这道题上会浪费很多时间进行计算过程的检查、重新理解原题以及重新选择合适的方法解题。因此，我总结了一下不光是在物理这一学科上，而是要在整个理科上面要加强的三点是“读题认真而仔细，做题不慌而不忙，计算慢而求稳”。再有，第二点就是在做选择题是，由于多选题与单选题是混合在一起的(这次例外)，所以我老是不敢多选，害怕因为自己的错选而导致扣更多的分数。虽然这是一个在考场上的策略，但这还是说明了我对概念的不熟，因此我以后要在课上更加专注于对概念的强行记忆。第三点就是选择及填空题的做题时间慢的问题，都是不好好读题导致的，所以我应该在提高自己的做题速度的同时加强自己的准确率，保证做一道对一道数学虽然还不知道确切的成绩，但我并不满意，但还是肖老师的那句话，“这次考试比较简单……”我对自己的“长项”毕竟有自知之明，我必然不是最聪明的，但确实是在用心地、努力地学习数学——这一个我认为非常难的科目。不过至于在考试中是否能够取得优异的成绩，我觉得并不是最重要的，我觉得这个成绩作为一个学期结束后的回报，应该是和自己的付出是成正比的。就自己个人感觉而言，化学这次考得也似乎比较不错。但一些老师上课讲过的概念性的内容，我却好似第一次听到，完全没有印象，因此提高课堂效率是下一步一定要做的，这一点同样适用于上面提及的物理学科。化学学科我同样可以问心无愧地告诉自己说：“下了很多功夫”，虽然不像英语数学那样经常做课外题，但却是认认真真地对待老师所留的每一项作业，认真就着答案核对每一道题，把每个不懂的知识点，每道模糊不清的题都想尽办法弄明白。但我发现我的记忆是个老大难的问题，大脑经常自动地超某个知识文件夹摁下“Delete”键，而且倒霉的是考试恰恰就考那些被无情地“删除”的知识。这个知识今天明白了，可能过几天学了新知识，就和新知识混淆了，而且容易忘。所以复习是必不可少的，我在接下来的学习中要加强自己的复习，在学好新知识的同时，要巩固，记熟旧知识。着同样适用于每一个学科。英语这次出地简单了，大部分考题都出自原书，所以我就根据课文，回归了基础，几天的复习时间我认真背诵了所有的课文，对我考试帮助很大，我要继续保持对英语的信心，毕竟英语，我认为，是目前高中课程中最有实用价值的科目了。

高中必修二数学知识点全面总结

第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

高中数学考试反思1000字

数学考试反思1000字范文一：学生反思在刚刚结束的期中考试里，我犯了很多不该犯的错误。我知道老师对于我有着很大的期望，可是我还是没有考好。对于这点我感到十分抱歉。但是既然犯了错误就要改正，所以，通过考试我也想了很多以后一定要学习的东西。首先我要改掉考试不细心读题目的坏习惯。有时候我往往看着题目前面就顺手把后面的问题写上了，但是却错了很多。这也许也和答题技巧有关系。总之，通过以后的练习，我一定要在考试的过程之中认真审题，自习读题，把题目看准、看好。时间允许的时候要多检查几遍，绝对不允许自己再犯类似于这样的无谓的错误。其次，我还要加强英语的习题强化。通过考试，我终于明白山外有山，人外有人。平日大家都聚在一起做一样的题目，感觉不出来有什么明显的差异。可是一当考试，才发现原来那么多考试题目是我从来看都没看过的(你就先编着吧)。只怪自己买的练习题做的少。不能允许自己再继续这样下去，所以，我一定要加倍努力，从这次考试之中汲取教训，增加力量，为下一次考试做好准备，打好基础。考试技巧贵在练习。生活之中，我还要多多加强自己的练习和复习，考试之前制定周详的复习计划，不再手忙脚乱，没有方向。平日生活学习中学会积累，积累英语好词好句，积累英语难的题目，积累英语语法项目。对做完形填空等练习题也是提高英语的好方法。期中考试毕竟不是期末考试，我还是有机会的。下一次考试，我要更努力，争取不让老师、家长和同学们失望。不让自己失望。对于老师，我希望老师不要对我失去信心，虽然我这次考得并不理想，但是我相信自己的实力。下一次考试，我一定会努力的! 终究不如自己写的好，自己写才能真真与老师共同交流，找出自己的不足此次考试总体来说可以用三个词来形容闻者伤心，见者流泪，惨不忍睹!试卷发下来的那一刹那间，我屏住了呼吸。面前两个鲜红显眼的数字令我目瞪口呆。上帝啊，我的语文成绩有了历史性的突破!离及格只差那短短的一步之遥了。这个成绩是空前的，可不知道是不是绝后的。所谓种瓜得瓜，种豆得豆。我这是自食其。哎，早知今日，何必当初啊?古人云：风萧萧兮，易水寒。今我叹：考试结束兮，我玩完!亡羊补牢，无济于事啊。想不到自认优秀的我如今也会落到这般田地。说到原因嘛，是多方面的。其一也是首要的当然是自己不知道努力，没有持之以恒的刻苦精神。有的只是那三分钟的热度。这种种恶习是酿成失败的主要原料。当然，古往今来，凡成大事，离不开天时、地利、人和三者融汇.幸运女神这次从我身旁俏然而逝,没有得到她的青睐,又怎能不落到失败的深渊呢?能爬多高，就能跌多深，我算体会到了。拿起试卷一看，触目惊心!那一个个错叉好似一把把尖锐无比的刺刀，扎的我快要窒息了。该对的没对，该会的不会。今晚即将上演家庭不定项式乒乓比赛，男子单打，女子单打或男女混合双打。啊，吾命休矣! 小小的考试透露出我内心的那一份自满，那一份狂傲。让我知道自己在众人之中是多么渺小，多么不堪一击!这也算是对我一个小小的惩戒吧，为我敲响了警钟，也提前给我打上了预防针。一次失败算不了什么，失败也许是成功的前兆。一次成功也证明不了什么，它终究要成为历史。我们不可能未卜先知，只能凭着自己的那一份付出，去期待丰硕的收获! 努力吧，剩下的时间不多了...... 范文二：>学生反思< 时间过得很快很快，从来不停下脚步等待。命运掌握在我们的手中，有我们自己刻画一个人一生的姿态。花儿总有凋谢的时候，人也如此，要珍惜年少时的时光。我并没有常常珍惜生活中的点

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线）看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行）例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．（1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．二：线面垂直的证明方法：通过线线垂直，证明线面垂直 1）利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2）利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等； 3）通过线面垂直，反推线线垂直； 4）利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 ' ''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高三立体几何大题线面角专题

高三立体几何专题 1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析（Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故. 又已知，，所以平面. （Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以又，故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为 . 2.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC ，A 1 B 1的中点. （1）证明：；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ?PAD PD ?PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC PCD PC =DN ⊥PAC PA ?PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3 DN DAN AD ∠= =AD PAC 3 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=?11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==EF BC ⊥

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题一、异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面；（３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面DEF; （2）求二面角P-AD-B 的余弦值．

2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。（1）证明：EB FD ⊥；（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

高一数学必修二总结

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。－－泰戈尔高中数学必修二复习基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

高中数学必修三所有知识点总结和常考题型练习精选

高中数学必修3知识点第一章算法初步一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。（1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。（2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。（3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句：直到型当型注意：提示内容用双引号标明，并与变量用分号隔开。

三，算法案例 1，辗转相除法：例：求２１４６与１８１３的最大公约数２１４６＝１８１３×１＋３３３１８１３＝３３３×５＋１４８３３３＝１４８×２＋３７１４８＝３７×４＋０．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++ ++改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++ ++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数１０４＝３×３４＋２．．．．．．．最先出现的余数是三进制数的最右一位３４＝３×１１＋１１１＝３×３＋２３＝３×１＋０１＝３×０＋１．．．．．．．．．．．．商数为0时计算终止１０４=(3)10212 第二章统计一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。