人教课标版高中数学必修4第二章平面向量章末回顾

第二章 平面向量 章末回顾

一、思维导图

二、章末检测题

（一）、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列关于向量的叙述，正确的个数是( )

①向量的两个要素是大小与方向；

②长度相等的向量是相等向量；

③方向相同的向量是共线向量．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【知识点】 向量的概念

【数学思想】分析问题

【解题过程】②长度相等的向量，还有方向相同才是相等向量。①③正确，长度相等的向量不一定是相等向量，相等向量要求长度相等，方向相同．

【思路点拨】 对向量的概念一定要熟悉。

【答案】 C

2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4

【知识点】向量的数量积

【解题过程】cos ,=<>a b a b a b ，夹角为π4

【思路点拨】向量的数量积的公式

【答案】 A

3．设a ，b 是共线的单位向量，则|a ＋b |的值是( )

A ．等于2

B ．等于0

C ．大于2

D ．等于0或等于2 【知识点】共线的单位向量

【数学思想】数形结合

【解题过程】2

222+=++a b a b a b ，a ，b 是共线的单位向量，a ，b 可能是同向或是反向，故|a ＋b |的值是等于0或等于2。

【思路点拨】共线向量表示方向相同或相反。

【答案】 D

4．已知向量a ＝(2,1)，a b 10=，|a +b |＝52，则|b |＝( )

A. 5

B.10 C ．5 D ．25

【知识点】向量的运算

【数学思想】计算能力

【解题过程】∵a ＝(2,1)，∴|a |＝5，

∵2222+=++a b a b a b ＝50，∴225=b 故5=b ，

【思路点拨】向量的运算

【答案】 C

5．下列说法正确的是( )

A ．单位向量都相等

B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量

C ．|a ＋b |＝|a －b |，则a b =0

D ．若a 与b 是单位向量，则a b =0

【知识点】 向量

【解题过程】单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；当b =0时，a 与c 可以为任意向量；|a ＋b |＝|a －b |，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D 项还要考虑夹角．

【思路点拨】向量的概念

【答案】 C

6．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa +b 与a 垂直，则λ＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

【知识点】向量垂直

【数学思想】计算能力

【解题过程】由题意=(+4,-3-2)λλλa +b ，a ＝(1，－3)，

∵λa +b 与a 垂直，

∴λa +b ·a ＝λ＋4＋(－3)·(－3λ－2)＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1.

【思路点拨】向量垂直，数量积为零

【答案】 A

7．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为p q =+c a b ，则实数,p q 的值为( )

A ．p ＝4，q ＝1 B.p ＝1，q ＝4

C ．p ＝0，q ＝4 D.p ＝1，q ＝－4

【知识点】向量的基本定理

【数学思想】计算能力

【解题过程】∵(3,2)(,2)p q p q p q =-=+=-+-c a b ，∴3,22,p q p q -+=??-=-?解得1,4.p q =??=?

【思路点拨】向量的坐标表示.

【答案】 B

8．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )

A ．－32 B.32 C ．2

D ．6

【知识点】 向量垂直

【解题过程】 依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D.

【思路点拨】 数量积为零

【答案】 D

9．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数()()()f x x x =+-a b b a 是( )

A ．一次函数且是奇函数

B ．一次函数但不是奇函数

C ．二次函数且是偶函数

D ．二次函数但不是偶函数

【知识点】向量运算

【数学思想】函数思想

【解题过程】由题设知22()f x x x =-b a ，因为|a |≠|b |，所以22()()f x x =-b a ，所以函数()f x 是一次函数且为奇函数．

【思路点拨】数量积为零

【答案】 A

10．设02θπ≤≤，已知两个向量12(cos ,sin ),(2sin ,2cos OP OP θθθθ==+-），则向量12p p 长度的最大值是( )

【知识点】向量的模.

【数学思想】运算能力 【解题过程】∵12PP ＝2OP －1OP ＝

(2sin cos ,2cos sin )θθθθ+---，

∴|12PP |＝【思路点拨】向量坐标运算、模。

【答案】C

11．设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )

A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2

【知识点】最值

【数学思想】运算能力

【解题过程】法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(sin θ，cos θ)，则a －c ＝(1－

sin θ，－cos θ)，

b －

c ＝(－sin θ，1－cos θ)，(a －c )·(b ·c )＝－sin θ(1－sin θ)－cos θ(1－cos θ)＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin()4πθ+，则其最小值是1－2，选D.

法二 (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2

＝1－(a ＋b )·c ＝1－|a ＋b |·|c |·cos <+>，a b c ，

∵|a ＋b |＝2，|c |＝1，cos <+>，a b c 最大值为1. ∴(a －c )·(b －c )的最小值为1－ 2.

【思路点拨】1、坐标运算。2、向量的数量积

【答案】 D

12．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()

PA PB PC +?的最小值是( )

A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2

【知识点】向量的数量积及在几何中的应用.

【数学思想】数形结合

【解题过程】由平行四边形法则得2PA PB PO +=，故()

2PA PB PC PO PC +?=?， 2PC PO =-，且PO 、PC 反向，设PO ＝t (0≤t ≤2)，

则()2PA PB PC PO PC +?=?＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2(t －1)2－1． ∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，()

PA PB PC +?取最小值，为－2，

【思路点拨】向量的数量积及在几何中的应用。

【答案】 D.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)

13．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －2b )，则|2a ＋b |的值是________．

【知识点】向量垂直，向量模长

【数学思想】计算能力

【解题过程】由于a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，故2a ·b ＝1，所以|2a ＋b |2+a b b ＝4＋2＋4＝10.

【思路点拨】a ·(a －2b )＝0

【答案】 10 14．给出下列四个结论：

①若a ≠0，且?=?a b a c ，则b ＝c ；

②若|a ·b |＝|a |·|b |，则a ∥b ；

③在△ABC 中，a ＝5，b ＝8，c ＝7，则20BC CA ?=；

④设A (4，a )，B (6,8)，C (a ，b )，若OABC 是平行四边形(O 为原点)，则∠AOC

________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 【知识点】向量概念

【数学思想】分析问题

【解题过程】 ()0/?=???-=?

=a b a c a b c b c ，故①错；由|a ·b |＝|a ||b |可知cos ,1<>=±a b ，∴a ∥b ，故②正确；222cos 2a b c C ab

+-=＝52＋82－722×5×8＝12， ∴5BC CA CB CA ?=-?=-?故③错；由OABC 是平行四边形可得a ＝2，

b ＝6，则cos ∠AOC 2020OA OC

OA OC ?=AOC 【思路点拨】向量的数量积.

【答案】②、④

15．与a ＝(12,5)平行的单位向量是________．

【知识点】向量单位化

【数学思想】计算能力 【解题过程】125125(,)(,)13131313

==--或a e a 【思路点拨】向量单位化

【答案】 (1213，513)或(－1213，－513)

16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：

①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .

②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.

③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)．

【知识点】向量的模、夹角、数量积.

【数学思想】分析问题

【解题过程】当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；

对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图，则∠BAD ＝60°，AC ＝a ＋b ，由菱形的性质可知，

a 与a ＋

b 的夹角为∠BAC ＝30°.

【思路点拨】向量的模、夹角、数量积.

【答案】②

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求：

(1)a 与b 的夹角θ；

(2)(a －2b )·b .

【知识点】 向量的投影、夹角、数量积

【数学思想】运算能力

【解题过程】(1)由题意，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1，

∴a ·b ＝|a ||b|cos θ＝－|b |＝－1. ∴1cos =2

θ=-a b a b . 由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π

3为所求．

(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.

【思路点拨】用向量的投影、夹角、数量积的公式计算。

【答案】 2π

3、－3

18．(12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b .

(1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；

(2)若|a |＝|b |，a 与b 的夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d ？

【知识点】向量的共线、向量的夹角、向量垂直的条件

【数学思想】运算能力，分析问题

【解题过程】(1)因为c ∥d ，所以c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．

又a ，b 不共线，∴1k λλ=??=-?，得11k λ=-??=-?

。即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－ k )|a |2·cos 60°，又c ⊥d ，故(k k －1)a 2＋

12

k -a 2＝0， 即(k －1)＋12k -＝0，解得k ＝1. 【思路点拨】用向量的共线、夹角、垂直的公式计算。

【答案】（1）c 与d 反向、（2）k ＝1

19．(12分)已知|a |＝3，|b |＝4，且满足(2a －b )·(a ＋2b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．

【知识点】向量的数量积，最值。

【数学思想】运算能力

【解题过程】 ∵(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2

＝2×32＋3a ·b －2×42＝3a ·b －14，

由(2a －b )·(a ＋2b )≥4，

∴3a ·b －14≥4，∴a ·b ≥6. ∴661cos ,122

<>=≥==a b a b a b a b . ∴a 与b 的夹角θ满足0≤θ≤π3.

【思路点拨】数量积计算cos ,<>=

a b a b a b

。 【答案】0≤θ≤π

3 20．(12分)设OA ＝(2,5)，OB ＝(3,1)，OC ＝(6,3)，在OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 【知识点】共线向量

【数学思想】数形结合

【解题过程】设存在点M ，使MA ⊥MB .

则存在实数λ使(6,3)(01)OM OC λλλλ==≤≤， ∴(26,53)MA λλ=--，

MB ＝(3－6λ，1－3λ)．

设(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0.

∴45λ2－48λ＋11＝0，

解得λ＝13或λ＝1115. ∴OM ＝(2,1)或OM ＝(225，115)， 即存在满足题意的M (2,1)或M (225，115)．

【思路点拨】设实数λ使(6,3)(01)OM OC λλλλ==≤≤表示M 点的坐标，结合数量积为零。

【答案】 M (2,1)或M (225，115)a 与b 的夹

21．(12分)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.

(1)求证：(a －b )⊥c ；

(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求k 的取值范围．

【知识点】向量的模、夹角、垂直。

【数学思想】数形结合、运算能力。

【解题过程】(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，

且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，

∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c

＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.

∴(a －b )⊥c .

(2)解：∵|k a ＋b ＋c |>1，

∴|k a ＋b ＋c |2>1.

∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1.

∴2k （）

a ＋

b ·b ＋

c ·c ＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1. ∵a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos120°＝－12，

∴2k －2k >0，∴k <0或k >2.

【思路点拨】向量的垂直、模、夹角的公式。

【答案】（1）略，（2）k <0或k >2

22．(12分)已知ABC ?中，(24),B(12),C(43),BC A -，，-，边上的高为AD .

(1)求证：AB ⊥AC ；

(2)求点D 和向量AD 的坐标；

(3)设ABC θ∠=，求cos θ；

(4)求证：2AD BD CD =?.

【知识点】向量的共线、坐标、夹角

【数学思想】数形结合

【解题过程】解析 (1)AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，

AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)． ∵AB ·AC ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0， ∴AB ⊥AC .

(2)设D 点坐标为(,)x y ，

则(2,4),(5,5AD x y BC =--=）． ∵AD ⊥BC ，∴AD ·5(2)5(4)0BC x y =-+-=.① 又(1,2)BD x y =++，而BD 与BC 共线， ∵5(1)5(2)0x y +-+=，②

联立①②解得x ＝72，y ＝52.

故D 点坐标为(72，52)． ∴7533(2,4)(,)2222

AD =--=-． (3)cos BA BC

BA BC θ=?＝3×5＋6×532＋62·52＋52

＝31010. (4)∵AD ＝(32，－32)，BD ＝(92，92)，DC ＝(12，12)， ∴2AD ＝92，92BD =，2DC =∴2

AD ＝BD DC ?，即2AD BD CD =?.

【思路点拨】向量的共线、坐标、夹角.

【答案】略