北京市朝阳区2017届高三二模数学(文科)试卷及答案(word版)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（文史类） 2017.5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是 （A ）

11x y

< （B ）2log ()0x y -> （C ）33

x y <

（D ） 11()()2

2

x

y

<

（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是

（A ）15 （B ）29 （C ） 31 （D ） 63

（4）“0,

0x y >>”是“2y x

x y

+≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移

π

4

个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为 （A ）π8 （B ）π4 （C ）π2 （D ）3π4

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为

（A

（B

） （C ）3 （D

）

（7）已知过定点(20)P ，的直线l

与曲线y =

相交于Α，Β两点，Ο为坐标原点，

当ΑΟΒ?的面积最大时，直线l 的倾斜角为

（A ）150

（B ）135 （C ）120

（D ）30

（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *

∈N ），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是

(A)甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙都有可能

第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）已知集合{}

121x A x -=>错误！未找到引用源。，{}

()0B x x x =-2<错误！未找到引用源。，则A B = ．错误！未找到引用源。

（10）在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ?边界及

内部的任意一点，则x y +的最大值为 ．

（11）已知平面向量,a b 满足()(2)4+?-=-a b a b ，且2=a ，4=b ，则a 与b 的夹角

等于 .

俯视图

正视图

侧视图

（12）设函数3

1,0,(),0,

x x f x x a x ?+>=?+≤?则(1)f = ；若()f x 在其定义域内为单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．

（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>与抛物线2

8y x =有一个公共的焦点F .设这两

曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 ；该双曲线的渐近线方程为 ．

（14）设P 为曲线1C 上动点，Q 为曲线2C 上动点，则称PQ 的最小值为曲线1C ,2C 之间

的距离，记作12(,)d C C ．若221:2C x y +=，22

2:(3)(3)2C x y -+-=，则

12(,)d C C = _____；若3:e 20x

C y -=，4:ln ln 2C x y +=，则34(,)d C C =_______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）

在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c >>2sin =0b C -．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若b =1c =，求a 和△ABC 的面积．

（16）（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是首项113a =

，公比1

3q =的等比数列．设13

2log 1n n b a =-

*()n ∈N ．

（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列；

（Ⅱ）设2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

（17）（本小题满分13分）

某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率

分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．

（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[185,195]（单位:cm ）的人数；

（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生

的平均身高；

（Ⅲ）在样本中，从身高在[145,155)和[185,195]（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这

两人的身高都不低于185 cm 的概率．

（18）（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，

90ACB ∠=?，1AC BC ==，12AA =，D 是棱1AA 的中点．

（Ⅰ）求证：11

B C 平面BCD ；

（Ⅱ）求三棱锥1B C CD -的体积；

（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点Q ，使得1CQ BC ⊥？

请说明理由．

A

B

C A 1

B 1

C 1

D

a

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆W ：22

214x y b

+=(0)b >的一个焦点坐标为.

（Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；

（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的

任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线

1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．

（20）（本小题满分13分）

已知函数()ln f x x x =，2

()2

a g x x x a =

+-()a ∈R ． （Ⅰ）若直线x m =()0m >与曲线()y f x =和()y g x =分别交于,M N 两点.设曲线

()y f x =在点M 处的切线为1l ，()y g x =在点N 处的切线为2l .

（ⅰ）当e m =时，若1l ⊥2l ，求a 的值；

（ⅱ）若1

2l l ，求a 的最大值；

（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-在其定义域内恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <． 若0λ>，且21ln 1ln x x λλ->-恒成立，求λ的取值范围．

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（文史类） 2017.5

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 解：2sin =0b C -，

2sin sin 0C B C -=

.

因为0πC

<<，所以sin 0C ≠， 所以sin B =

. 因为0πB <<，且a b c >>，所以π

3

B =． …………6分 （Ⅱ）因为b =1c =，

所以由余弦定理222

2cos b a c ac B =+-， 得2

2

1

1212

a a =+-??

，即220a a --=. 解得2a =或1a =-（舍）.

所以2a =.

11=sin 2122ABC S ac B ?=??=

…………13分 （16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知得：1111()()333

n n

n a -=

?=. 131

2log ()1=213

n n b n =--（*n ∈N ）.

则12(1)1212n n b b n n +-=+--+=.

所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列. …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

241n b n =-，则数列2{}n b 是以3为首项，4为公差的等差数列.

21

()413

n n n n c a b n =+=+-.

则111...()37...(41)393n

n T n =+++++++-.

即n T =

11[1()]33113

n ?--+(341)2n n +-?.

即2

1112()223

n n T n n =++-? (*n ∈N ). …………13分

（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，

(0.0050.0200.0250.040

a ++++?=. 解得 0.010a =．

所以样本中学生身高在[185,195]内（单位:cm ）的人数为

400.01104??=． ……………4分

（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则

1500.051600.21700.41800.251900.1x =?+?+?+?+?

7.532684519171.5=++++= ．

所以，该校男生的平均身高为171.5 cm ． …………8分

（Ⅲ）样本中男生身高在[145,155)内的人有

400.005102??=（个），记这两人为,A B ．

由（Ⅰ）可知，学生身高在[185,195]内的人有4个，记这四人为,,,a b c d ． 所以，身高在[145,155)和[185,195]内的男生共6人．

从这6人中任意选取2人，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ， 共15种情况．

设所选两人的身高都不低于185 cm 为事件M ，

事件M 包括,,,,,ab ac ad bc bd cd ，共6种情况． 所以，所选两人的身高都不低于185 cm 的概率为

62

()155

P M =

=． ………………13分

（18）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，11

B C BC ，

且BC ?平面BCD ，11B C ?平面BCD ， 所以11

B C 平面BCD . ………………4分

（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=?，

所以1AA BC ⊥，AC BC ⊥， 则BC ⊥平面11AAC C . 即BC ⊥平面1C CD .

所以111111332B CC D C CD V S BC CC AC BC -=

?=??? 111

211323

=????=. ………9分 （Ⅲ）因为在侧面11ACC A 中，11

2

AC AA =，1AA AC ⊥，D 是棱1AA 的中点，

所以1145,45A DC ADC ∠=?∠=?.则1C D DC ⊥. 因为BC ⊥平面1C CD ， 所以1BC C D ⊥. 所以1C D ⊥平面BCD . 又1C D ?平面1C DB ，

所以平面BCD ⊥平面1C DB ，且平面BCD 平面1C DB BD =， 过点C 作CQ BD ⊥于Q ，所以CQ ⊥平面1C DB . 则 CQ ⊥1BC .

所以在线段BD 上存在点Q ，使得1CQ BC ⊥. …………14分 （19）（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =222

1b a c =-=.

则椭圆W 的方程为2

214

x y +=.

离心率2

c e a =

=

. …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 0

0(

,)2

x y ． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为00

2(1)

1y y x x --=

． 令1y =-，则C 0

(

,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 0

0(

,1)2(1)

x y --．

所以00(,)2x OE y = ，00

00(,1)22(1)

x x GE y y =-+- ，

000

000()(1)222(1)

x x x OE GE y y y ?=-++-

22

20000044(1)

x x y y y =-++-．

因为点M 在椭圆W 上，则2

20014

x y +=，所以220044x y =-． 则2

00014(1)

x OE GE y y ?=-

+-

0011y y =--+0=．

因此OE GE ⊥ ．故90OEG ∠=

． ……………14分

（20）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}

0x x >.

()1l n f x x '=+，()1g x ax '=+.

（ⅰ）当e m =时，(e)2f '=，(e)e 1g a '=+.

因为12l l ⊥，所以(e)(e)1f g ''?=-. 即2(e 1)=1a +-. 解得3

2e

a =-

. ………………3分

(ⅱ)因为1

2l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.

即ln 0m am -=在()+∞0，上有解.

设()ln F x x ax =-，0x >， 则11()ax F x a x x

-'=

-=. （1）当0a ≤时，()0F x '>恒成立，则函数()F x 在()+∞0，上为增函数.

1 当0a <时，取e a x =，(e )e (1e )0.a a a F a a a =-=-<

取e x =，(e)=1e 0F a ->, 所以()F x 在()+∞0，上存在零点.

2 当0a =时，()ln F x x =存在零点，1x =，满足题意.

（2）当0a >时，令()0F x '=，则1

x a

=

. 则()F x 在(0)a

1，上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.

所以()F x 的最大值为11

()ln 10F a a

=-≥.

解得1

0

a ≤.

取1x =，(1)=0F a -<.

因此当1

(0,]e

a ∈时，方程()0F x =在()+∞0，上有解. 所以，a 的最大值是

1

e

. ………………8分 另解：函数()f x 的定义域为{}

0x x >.

()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+. 则()1ln f m m '=+，()1g m am '=+.

因为1

2l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.

即ln m am =在()+∞0，上有解. 因为0m >，所以ln m

a m

=

.

令ln ()x

F x x =(0x >). 2

1l n ()0x

F x x

-'==. 得e x =.

当(0,e)x ∈，()0F x '>，()F x 为增函数； 当()e,x ∈+∞，()0F x '<，()F x 为减函数； 所以max 1()(e)e

F x F ==. 所以，a 的最大值是

1

e . ………………8分 （Ⅱ） 2

()ln 2

a h x x x x x a =--+ (0),

x > ()ln h x x ax '=-.

因为12,x x 为()h x 在其定义域内的两个不同的极值点， 所以12,x x 是方程ln 0x ax -=的两个根. 即11ln x ax =，22ln x ax =. 两式作差得，12

12

ln ln x x a x x -=

-.

因为0,λ>120x x <<，由21ln 1ln x x λλ->-，得121ln ln x x λλ+<+.

则1212

11()a x x a x x λ

λλλ++<+?>

+

?

1212ln ln x x x x --12

1x x λ

λ+>

+ ?112212

(1)()ln

x x x x x x λλ+-<+. 令1

2

x t x =

，则(0,1)t ∈，由题意知: ln t <

(1)(1)

t t λλ

+-+在(0,1)t ∈上恒成立，

令(1)(1)

)ln t t t t λ?λ

+-=-+（，

则221(1)()()t t t λ?λ+'=-+=22

(1)()

()t t t t λλ--+.

（1） 当2

1λ≥，即1λ≥时，

(0,1)t ?∈，()0t ?'>，所以()t ?在()0,1上单调递增.

又(1)0?=，则()0t ?<在()0,1上恒成立.

（2） 当2

1λ<，即01λ<<时，

()20,t λ∈时，()0t ?'>，()t ?在()20,λ上为增函数；

当()2

1t λ∈，

时，()0t ?'<，()t ?在()

21λ，上为减函数. 又(1)0?=，所以()t ?不恒小于0，不合题意.

综上，[1,)λ∈+∞. ………………13分