二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计

课程名称

概率论与数理

统计

课时100分钟

任课教师课型

刘涛

新授课

专业与班级

课题

财务管理B1601---B1606

二维随机变量及其分布

“二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75

教材分析

页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，

对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布

是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。

学习目标

知识与技能

过程与方法

情感态度与价

值观

了解二维随机变量的背景来源；

了解二维随机变量的基本思想；

掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运

用。

通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分

析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的

能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发

展整合所学知识解决实际问题的能力。

通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发

学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索

精神。

1.二维随机变量及联合分布函数定义

2.二维离散型随机变量及联合概率函数

教学分析教学内容

3.二维连续型随机变量及联合概率密度

4.二维随机变量的边缘分布

5.随机变量的相互独立性

教学重点教学难点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性二维连续型随机变量及其分布

教学方法与策略

前50分：

1.引例 3.二维离散变量

板书设计 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量

后50分：

5.边缘分布

6.相互独立性

1.引导课题…………2分钟

2.学生活动…………3分钟

3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟

4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟

教学时间设计

5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟

6.二维随机变量的边缘分布……20分钟

7.随机变量的相互独立性……25分钟

8.课堂小结…………5分钟

教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。

教学进程

教学意图教学内容教学理念

引出课题某地区气候状况需要考虑温度、湿度、风力等多个随机激发学生的变量；研究股票的投资价值，要考虑股票的市盈率、市兴趣，让学生

（2分钟）净率、资本报酬率等多个指标。体会数学来

源于生活。

学生活动问题细化，让学生们具体考虑：日常生活中还有哪些实从日常生活例符合以上特征。并总结其特点。的经验和常（3分钟）识入手，调动

学生的积极

性。

二维随机变量及联合分布函数定义（15分钟）1、二维随机变量

若对于试验的样本空间8/Ω中的每个试验结果e，

有序变量

(X,Y)都有确定的一对实数值与

e相对应，即

X=X(e)，Y=Y(e)，则称(X,Y)为二维随机变量

或二维随机向量．

2、联合分布函数

二维随机变量

(X,Y)的联合分布函数规定为随机

变量X取值不大于实数x的概率，同时随机变量Y取值

不大于实数

y的概率，并把联合分布函数记为F(x,y)，

即

教师给予引F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),-∞

．导，回归到刚

提出的问题

上。

3．联合分布函数的性质

．(1)

0≤F(x,y)≤1；

(2)

F(x,y)是变量x

(固定

)或

(固定

x)的

非减函数；

lim F(x,y)=0,lim F(x,y)=0

(3)x→-∞y→-∞，

lim F(x,y)=0,lim F(x,y)=1

x→-∞y→-∞x→+∞

y→+∞

；

(4)F(x,y)是变量x

(固定

)或

(固定

x)的

右连续函数；

(5) P(x

例题：设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=A(B+arctan x)(C+arctan y)

求：常数A,B,C(-∞

解：由分布函数F(x,y)的性质得：

ππ

lim A(B+arctan x)(C+arctan y)=A(B+)(C+)=1

x→+∞22

y→+∞

lim A(B+arctan x)(C+arctan y)=A(B-)(C+arctan y)=0 x→-∞2

lim A(B+arctan x)(C+arctan y)=A(B+arctan x)(C-)=0 y→-∞2

由以上三式可解得：A=1

π2

,B=π

,C=π

二维离散型随机变量及联合概率函数（10分）4.二维离散型随机变量及联合概率函数

如果二维随机变量

(X,Y)仅可能取有限个或可列

无限个值，那么，称

(X,Y)为二维离散型随机变量．

二维离散型随机变量

(X,Y)的分布可用下列联合

分布率来表示：

P(X=a,Y=b)=p,i,j=1,2,L,

i j ij

通过引导及

具体的例题

展现二维离

散型随机变

量。

其中，

p≥0,i,j=1,2,L,

∑∑p

i j

．

也可用下边的概率分布表表示：

X Y y

L y

P(X=x)

∑p

L p

∑p

M M L M L

P(Y=y)∑p i1

∑p

②??

5.二维连续型随机变量及联合概率密度

（1）对于二维随机变量(X，Y)的分布函数

F(x,y)，如果存在一个二元非负函数

f(x,y)，使得对于任意一对实数

(x,y)有

F(x,y)=?x?y f(s,t)dt ds

-∞-∞

成立，则

(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度．

（2）二维连续型随机变量及联合概率密度的性质

①f(x,y)≥0,-∞

通过引导及

具体的例题

展现二维连

续型随机变

量。

二维连续型+∞+∞

-∞-∞

f(x,y)dxdy=1

；

随机变量及联合概率密③设

(X,Y)为二维连续型随机变量，则对任意一

V OAB =?1?

度（20分）条平面曲线L，有P((X,Y)∈L)=0；’

④在

f(x,y)的连续点处有

?2F(x,y)?x?y =f(x,y)

;

⑤设

(X,Y)为二维连续型随机变量，则对平面上

任一区域D有

P((X,Y)∈D)=??f(x,y)dx dy

例.求在D上服从均匀分布的随机变量（X,Y）的密

度函数和分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1

围城的三角形区域。

解：如图，区域D为直角三角形△RT OAB，其面

积为：

S111

224

所以由均匀分布的定义可得，（X,Y）的联合密度函

数为：

?4,(x,y)∈D

f(x,y)=?

?0,其他

下面来求（X,Y）的分布函数，

F(x,y)=?x?y f(s,t)dt ds,(-∞

-∞-∞

（1）当 x < - 1 2

或y < 0 时， F ( x , y)=0

（2）当 - ≤ x < 0,0 ≤ y < 2 x + 1 时

F ( x , y)= ? y

dt ? x

4ds = 4 x y + 2 y - y 2

y -1 0

（3）当 -

≤ x < 0, y ≥ 2 x + 1时

F ( x , y) = ? x

ds ?

2 x +1 4d y = 4 x 2 + 4 x + 1

- 1 0

（4）当x≥0,0≤y<1时

F(x,y)=?y dt?04ds=2y-y2

y-1

（5）当x≥0,y≥1时

F(x,y)=?0ds?2x+14dt=1

-0

?0 1

x < - 或y < 0

? ?

F (x, y)= ?

?2 y - y 2 ?1 x →+∞

x →+∞

P( X = a )(i = 1,2,L ) 称概率 P(Y = b ),( j = 1,2,L ) 为随机变量 Y 的边缘概

综上所述，

?4xy - y 2 + 2 y ? ? ?4x 2 + 4x + 1

- ≤ x < 0,0 ≤ y < 2x +1 2

? 1

- ≤ x < 0, y ≥ 2x +1 2

x ≥ 0,0 ≤ y < 1 ?

x ≥ 0, y ≥ 1

6.二维随机变量的边缘分布

设 F ( x , y) 为二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函

数，称

P( X ≤ x) = P( X ≤ x, Y < +∞),( -∞ < x < +∞)

为 X 的边缘分布函数，并记为 F ( x )

直观可以看到

P( X ≤ x,Y < +∞) = lim P( X ≤ x,Y ≤ y) = lim F (x, y) = F (x, +∞)

y →+∞

因此，边缘分布函数 F ( x ) 也可表示为

F ( x ) = F ( x , +∞)

类似地，关于 Y 的边缘分布函数为

F ( y) = P(Y ≤ y) = P( X < +∞, Y ≤ y) = lim P( X ≤ x, Y ≤ y) = lim F ( x , y) = F (+∞, y)

7、二维离散型随机变量的边缘分布律

设 ( X , Y ) 为二维离散型随机变量， p 为其联合概

率函数 (i, j = 1,2,L ) ，称概率为

随机变量 X 的边缘概率函数，记为 P 并有

P = P( X = x ) = P( X = x ,Y < +∞) = p + p +L + p +L =∑ p ,( i = 1,2, L ) i i i i1 i2 ij ij

F (x) = P( X ≤ x) = P( X ≤ x,Y < +∞)= ? x ?? +∞ f (x, y)dy ?dx -∞ ? -∞

? X

率函数，记为 P ，并有

P = P(Y = y ) = P( X < +∞,Y = y ) = p + p + L + p + L =∑ p ,( j = 1,2,L )

1 j

2 j

用表格形式表示为：

x 2

L x

边缘概率

1g p

2g L

i g

边缘

概率

g 1

g 2

g j

8、二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的边缘概率密度

设 f ( x, y ) 为二维连续型随机变量的联合概率密

度，由 X 的边缘分布函数的定义有

X ? ?

因此称

f ( x ) = ? +∞ f ( x , y)dy ,( -∞ < x < +∞) 为 X

-∞

的边缘概率密度函数.

类似地，Y 的边缘概率密度函数为

f ( y) = ? +∞ f ( x , y)dx,( -∞ < y < +∞)

-∞

9、随机变量的相互独立性

．

（1）定义：设X,Y为随机变量，如果对于任意实

数x,y，事件

{X≤x},{Y≤y}是相互独立的，

即

P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)

则称X,Y相互独立。

（2）如果X与Y的联合分布函数等于X,Y的边缘

分布函数之积，即

P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)

F(x,y)=F(x)F(y),对一切-∞

X Y

那么，称随机变量X与Y相互独立．

，

（3）设

(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相

互独立的充分必要条件为

与一维变量

进行比较。总

二维随机变量的边缘分布（20分）P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)=p p

i j i j i g

（i,j=1,2,L）

即p=p p

ij i j

g j

结特点。

多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维

离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．

（4）设

(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y

相互独立的充分必要条件为

f(x,y)=f(x)f(y),在一切连续点上.

X Y

如果

(X,Y)~N(μ,μ,σ2,σ2,ρ)

1212

．那么，X与

Y相互独立的充分必要条件是ρ=0．

多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维

随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分

布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相

应的结论．

随机变量的相互独立性（25分）

通过与一维随机变量及其分布进行比较总结相关二维随机变量及其分布的特点。

课堂小结

（5分钟）

作业布置通过概率论与数理统计教学平台微信发布作业布置 1.仔细阅读课本第75页至第93页；

2.浏览概率论与数理统计教学平台中相关内容。通过对课堂内容的小结，让学生对本节课的内容连贯化、系统化。

明确告知学生作业要求。

教学评价

“二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。

在本节课的课程教学中，采用“案例教学法”，通过实例吸引学生注意力，以问题为导向，以分析为重点，以应用为巩固拓展，引导学生思考、解决问题，进而使学生较快理解与掌握矩估计的基本思想和基本求解步骤。在课堂教学中要让学生多思、多练、多总结，并安排作业，让学生在脱离教师带领下自己思考做题。

实践证明，在本节的教学过程中，学生均表现出较高的学习积极性和情感投入，通过交流互动说明学生已大致掌握本节内容的基本思想和基本求解步骤。