三角恒等变换与解三角形(学生版)
高考微点六 三角恒等变换与解三角形
牢记概念公式,避免卡壳
1.三角恒等变换的主要公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β)=cos αcos βsin αsin β;
tan(α±β)=tan α±tan β1tan αtan β
; sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2 α;
tan 2α=2tan α1-tan 2α
. 2.正弦定理与余弦定理
(1)正弦定理
①a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C .
②sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R .
③a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C .
注:R 是三角形的外接圆半径.
(2)余弦定理
①cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 2
2ac
, cos C =a 2+b 2-c 2
2ab .
②b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,
a 2+
b 2-
c 2=2ab cos C .
活用结论规律,快速抢分
1.辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+φ)(其中
?
??tan φ=b a . 2.在△ABC 中,A >B sin A > sinB. 3.△ABC 的面积S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A .
4.设a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,则
(1)若a 2+b 2=c 2,则C =π2;(2)若a 2+b 2>c 2,则C <π2;
(3)若a 2+b 2
. 高效微点训练,完美升级
1.若sin ? ????π6-α=13,则2cos 2? ??
??π6+α2-1=( ) A.13 B.-13 C.79 D.-79
2.(2019·东北三省三校联考)已知sin ? ????π2+α=12,-π2<α<0,则cos ? ??
??α-π3的值为( ) A.12 B.23 C.-12 D.1
3.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中,A =π6,B =π4,a =1,则b 等于( )
A.2
B.1
C. 3
D. 2 4.sin 10°1-3tan 10°
=( ) A.14 B.12 C.32 D.1
5.在△ABC 中,三边长分别为a ,a +2,a +4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为( )
A.154 3
B.154
C.214 3
D.354 3
6.(2019·成都诊断)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A sin B +sin C +b a +c =1,则C =( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
7.(2019·昆明诊断)已知3cos 2α=4sin ? ????π4-α,α∈? ??
??π4,π,则sin 2α=( ) A.79 B.-79 C.19 D.-19
8.(2019·石家庄一模)在△ABC 中,AB =2,C =π6,则AC +3BC 的最大值为( )
A.7
B.27
C.37
D.47
9.(2019·江西八所重点中学联考)若点(θ,0)是函数f (x )=sin x +2cos x 图象的一个对称中心,则cos 2θ+sin θcos θ=( )
A.1110
B.-1110
C.1
D.-1
10.已知tan ? ????α-5π4=15,则tan α=____________. 11.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟,从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.
12.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,b -c =2,cos
A =-14,则a 的值为________.
13.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P ? ??
??-35,-45. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.
14.(2019·潍坊一模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知(a +2c )cos B +b cos A =0.
(1)求B ; (2)若b =3,△ABC 的周长为3+23,求△ABC 的面积.
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
解三角形 说课稿(优.选)
高中 数学 编号:__5__
必修五第一章解三角形的说教材文稿 各位专家、评委老师,大家好! 我说教材的题目是人教版高中数学《解三角形》专题。 下面我将从三个方面九个视角来进行说明. 一、说课标 高中数学课程的总目标是:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。 (一)课程目标: 1.知识与技能:学生初中已学过解直角三角形和锐角三角函数,我们通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.过程与方法: (1)通过推导定理的过程,培养学生观察、比较、分析、概括的能力,体会数形结合的思想. (2)通过解三角形在实际中的一些应用,培养学生提出问题、分析和解决问题能力. (3)通过学习提高学生数据处理能力和获取知识能力. 3. 情感态度与价值观: (1)鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程,激发其求知的欲望;培养学生乐于探究、敢于创新的精神. (2)认识数学应用价值和文化价值,发展数学应用意识,体会数学的美学意义,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. (二)内容标准: 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 本专题的主要内容是两个重要定理,即正弦定理和余弦定理,以及这两个定理在解任意三角形中的应用.这两个定理是学习有关三角形知识的继续和发展,它进一步揭示了三角形的边角之间的关系,在生产、生活中有着广泛的应用. 新课改要求我们进行课程开发和整合,这就需要我们走出教材,要想走出教材我们就要先走入教材,吃透教材。第二方面说教材
高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2).
中考专题复习解三角形
1.(10分) 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600 ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决 定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 2. 如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD =20m ,某人在点A 处,测得塔底C 的仰角为45o ,塔顶D 的仰角为60o ,求山高BC (精确到1m ,参考数据:2 1.41,3 1.73≈≈) 3.(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4.(8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ,后考虑到安全因素,将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处,使0 30=∠ADC (如图所示). (1)求调整后楼梯AD 的长; (2)求BD 的长. (结果保留根号) 5.(8分)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ,∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位) 6.(8分)(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D 在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B 处,测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:, ).
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
高三排列梳理与解三角形难点突破-教师用卷
排列梳理与解三角形难点突破 副标题 一、选择题(本大题共9小题,共45.0分) 1.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同 的安排方式共有() A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查排列组合的实际应用,注意分组方法以及排列方法的区别,考查计算能力.把工作分成3组,然后安排工作方式即可. 【解答】 解:4项工作分成3组,可得:C42=6, 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成, 可得:6×A33=36种. 故选:D. 2.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参 加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为() A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查排列和计数原理的实际应用,注意优先考虑特殊元素,属于中档题. 根据题意,分两种情况讨论选出参加竞赛的4人,①选出的4人没有甲,②选出的4人有甲,分别求出每一种情况下的参赛方案种数,由分类计数原理计算可得答案.【解答】 解:根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛, 分两种情况讨论: ①选出的4人没有甲,即选出其他4人即可,有A44=24种参赛方案; ②选出的4人有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,在剩余4人中任选3人,参加剩下的三科竞赛,有A43=24种参赛方案,则此时共有3×24=72种参赛方案;则有24+72=96种不同的参赛方案. 故选D. 3.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有()种(用 数字作答). A. 720 B. 480 C. 144 D. 360 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,比较基础. 甲、乙、丙等六位同学进行全排,再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的4 6=2 3 ,即可得出 结论.
三角函数与解三角形专题训练
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
高二解三角形综合练习题
解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1