16.半群与独异点
1)在R中定义二元运算：* ,a*b=a+b+ab,对于任意a,b 属于 R,证明
1)
2)
1)证明：对于任意 a,b,c属于R
(a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc
a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abc
得：(a*b)*c=a*(b*c)
所以
2)证明：当e=0,那么 对于任意 a属于R
e*a=0+a+0xb=a
a*e=a +0 +b x0=a
所以e是该半群的单位元，所以
2)设V=
a*u=v*a=x
证明V是独异点
证明：
由题设可知，存在u_0和v_0，使得：
a*u_0=v_0*a=a
现证明u_0为右单位元：
对任意的x∈S，有v∈S，满足
x = v*a
= v*a*u_0
= x*u_0
故得，u_0为右单位元。
同理可证v_0为左单位元。
由单位元的性质知 u_0=v_0=e 为单位元。
3 S={a,b,c},*是S上的二元运算，且x*y=x ,对于x,y∈S
1. 证明
2. 将
证明 (x*y)*z=x*z=x
x*(y*z)=x*y=x，所以
(2)任取e不属于S。令W = S∪{e}，且定义W上的二元运算*1 如下：
任意x,y∈S，x *1 y = x；
任意x∈S，x *1 e = e *1 x = x；
e *1 e = e；则
4, V=
c也是可交换的
证明 (a*b)*c=a*(b*c)=a*(c*b)=(a*c)*b=(c*a)*b=c*(a*b)
得证
5 设V=<{a,a},*>是半群，且a*a=b,证明 1)a*b=b*a 2)b*b=b
证明 1) a*a=b => (a*a)*a=b*a =>a*(a*a)=b*aè a*b=b*a
2)当a*b=a，b*b=a*a*b=a*(a*b)=a*a=b 得证
当a*b=b， b*b=(a*a)*(a*a)=a*(a*a)*a=(a*b)*a=b*a=b得证
6.设V=
1）任取a∈S, 有a*a=a
证明如果 a*a=c,c=!a，那么 c*a=a*a*a=c*a矛盾
2)对于任意a,b,c ∈S,那么a*b*a=a
证明如果 a*b*a=c,c=!a，那么 c*a=a*b*a*a=a*b*a a*c=a*a*b*a=a*b*a，
所以a*c=c*a矛盾
3) 对于任意a,b,c ∈S,那么a*b*c=a*c
证明：c*a*b*c=cà
a*c*a*b*c=a*cè(a*c*a)*b*c=a*c ->a*b*c=a*c
7. V=
证明：(a*b)*(a*b)=(b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=b*a*b=(b*a)*b=(a*b)*b=a*(b*b)=a*b
8.设V=
证明：任意y∈S,(x*e)*y=x*(e*y)=x*e 得证
9，证明每个有限半群都有幂等元
证明: 任取b∈S 则 b,b^2,…皆属于 S,而S是有限的，必存在k>j, b^j=b^k
令 p=k-j>=1 ,b^k=b^j*b^p=b^k*b^p 从而对于 q>k恒有b^q=b^q*b^p
因为 p>=1,故存在正整数 n使得np>k，于是
b^np=b^np*b^p=(b^np*b^p)*b^p=…=b^np*b^np.
取 a=b^bp, a^2=a
10.V=
。
V1=<{0},*>
V2=<{1},*>
V3=<{0,1},*>
V4=<{0,2},*>
V5=<{0,1,2},*>
V6=<{1,3},*
>
V7=<{0,1,2,3},*>
V8=<{0,1,3},*>
V2,V3,V5,V6,V7,V8是子独异点
11. 设V=
类是:[a]=[c] [b]=[d],给出商代数A/~的运算表
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
解：
* [a] [c]
[a] [a] [c]
[c] [c] [a]
12,V=
∈I且x∈S}, IS={x*a|a ∈I且x∈S},称I是V 的理想，在S上定义二元关系R,
xRyóx=y或者x∈I且y∈I
1)，证明R是V上的同余的关系
2),描述商代数(S/R,*)
证明： 当x1Ry1,x2Ry2,那么
1) x1=y1,x2=y2 x1*x2=y1*y2 所以 x1*x2Ry1*y2
2) x1=y1,x2∈I且y2∈I , x1*x2∈SI,y1*y2∈SI,，(IS包含于I 和SI包含于I)所以x1*x
2∈I,y1*y2∈I, ，所以x1*x2Ry1*y2
3) x1∈I且y1∈I, x2=y2, x1*x2∈IS,y1*y2∈IS,，(IS包含于I 和SI包含于I)所以x1 *
x2∈I,y1*y2∈I, ，所以x1*x2 R y1*y2
4) x1∈I且y1∈I, x2∈I且y2∈I, x1*x2∈SI,y1*y2∈SI(且x1*x2∈IS,y1*y2∈IS,)
(IS包含于I 和SI包含于I),所以x1 * x2∈I,y1*y2∈I, ，所以x1*x2 R y1*y2
2)商代数(S/R,*)集合A为{[x],[x1],[x2],…[xn]}
[x]里面的元素为:x∈I
其余的等价类[xi]={xi,yi|xi=yi,且xi∈S但不属于I}
因为自动机不重要，所以13--16 隐去，如有疑问，可以和我联系讨论