三角函数在物理学中的应用
三角函数的应用
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。
公式总结
1．利用二倍角公式求极值
正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin =
如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2
A
y = 当 0
45=θ时，y 有最大值 2
max A y =
2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±
βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±
在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为
)cos sin (
2
2
2
2
22θθb
a b b
a a
b a y ++++=
令
φcos 2
2
=+b
a a ，
φsin 2
2=+b
a b
则 )sin(22φθ++=
b a y
当 0
90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y +=
3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式
2cosa -12a sin
= 2
cosa 12cos +=a
a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan
+=-=+= a
a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot
+=-=-+= 典型例题解析：
1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ）
【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S =
有θθsin gt 2
1cos 2L 2?=，解得θ
θθ2s i n gL 2cos sin gL
t =
?=
，当0
45=θ时，t 有最小值．
【答案】C
2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？
【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有
2
2
1cos mv mgR =
?θ ① R
v m mg N 2
cos =-θ ②
由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为
θθθθ2sin 2
3
cos sin 3sin mg mg N N x =
?=?= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2
3
mg N f x =
= 从f 的表达式可以看出，当θ=450
时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值
图2
图1
mg f 2
3
m ax =
3、如图3所示，重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
【解析】木块受四个力的作用，即重力G ，地面的支持力F N ，摩擦力f F 和施加的外力
F ，受力分析如图7所示，设力F 与x 轴夹角为θ，由于物体在水平面上做匀速直线运动，
处于平衡状态，所以在x 轴和y 轴分别列平衡方程： f F F =θcos ①
G F F N =+θsin ② 且有
N f F F μ= ③
联立①②③式，θ
μθμsin cos +=
G
F
利用和差角公式变形为 )
sin(12
φθμμ++=
G
F (其中μ
φ1
=
tg )
当1)sin(=+φθ 时，F 具有极小值 2
min 1μ
μ+=
G
F
F 与x 轴正方向间夹角μθ1-=tg
4、用跨过定滑轮的绳牵引物块，使其从图4所示位置起沿水平面向左做匀速运动。若物块与地面间的动摩擦因数为1<μ，绳与滑轮质量不计。试分析运动过程中绳拉力的变化情况。
【解析】本题为讨论物理量的变化规律的问题， 设绳子拉力为F ，受力分析、列平衡方程、求解F 同上一例题。
θ
μθμsin cos +=G
F
利用和差角公式变形为 )
sin(12
φθμμ++=
G
F (其中μ
φ1
=
tg )
∵1<μ，1>φtg ∴ 900
≥φ≥450
而随物块向左运动， 450
≤θ≤900
则 1800
≥>+)(φθ900
随θ增大，)sin(φθ+减小，F 增大，
图
4
若变形为 )
cos(12φθμμ-+=
G
F （其中μφ=tg ）则0
45<φ，据前面所述，
φθ- 在第一象限，随θ增大，)cos(
φθ-减小，F 增大。 由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。
5、求带等量同种正电荷Q 的中垂线上的电场强度分布情况，并求出其最大值。
【解析】如图所示，设MN =2a ，θ=∠PMN ，
θ2
2221cos E E a
Q k r Q k
=== 由平行四边形定则可得
θθθsin cos 2sin 2221a
Q
k
E E == 令y=θθsin cos 2
=θθsin sin -12
）（=θθ3
sin -sin
θθθcos sin 3-cos y 2=' ）
（θθ2sin 3-1cos = = 0 3
1
sin 2=θ 33sin =
θ时，E 有最大值2934a
kQ 所以从O 点经P 到无限远处，场强是先增大后逐渐减小的， 其中P 点距O 点为
a 22处时电场强度最大，为2
934a kQ
6、2011年全国理综I 卷第25题：如图所示，与水平面成45°角的平面MN 将空间分成I
和II 两个区域。一质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的粒子以速度 从平面MN 上的 点水平右射入I 区。粒子在I 区运动 时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E ；在II 区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II 区离开时到出发点的距离。粒子 的重力可以忽略。
【解析】：设粒子第一次过MN 时速度方向与水平方向成α1角，位移与水平方向成α2角且α2=45°，在电场中做类平抛运动，则有：
得出：，
在电场中运行的位移
在磁场中做圆周运动，且弦切角为α=α1－α2，
，得出：
在磁场中运行的位移为：
所以首次从II 区离开时到出发点p 0的距离为：
7、一帆船要向东航行，遇到了与航行方向成一锐角θ的迎面风，现在使帆面AB 与航行方向成角?，且使?＜θ，这时风力可以驱使帆船向东航行。设风力的大小为F ，求船所受的与帆面垂直的力和驱使船前进的力。
【解析】：如图所示，AB 为帆面，船所受的与帆面垂直的力1F 是风力F 的一个分力，且
）（?θ-Fsin F 1=，1F 又分解至航行方向和垂直于航行方向的两个力3F 和4F ，其中3
F 驱使船前进，4F 使船身倾斜
??θ?sin -Fsin sin F F 13）（==
8、地面上有一堵高h 的墙，O 点离墙距离为d 。又O 点以v0抛出一石子，要石子越过墙顶A ，v0至少多大？
【解析】：d t v =?θcos 0 ? θ
cos 0v d
t =
①
2
02
1sin gt t v h -
?=θ ② 将①式代入②式得
θ
θ2202
cos 21tan v d g d h -= ?
θθθ22
0220cos 2
1cos sin hv gd d v =-
? 212cos 2122sin 20
220+=-θθhv gd d v ? 2
0202202cos 2sin hv hv gd d v +=-θθ ?
220-2cos 2sin gd h h d v =-）
（θθ ? ）
（h h d gd v -2cos 2sin 220
θθ-= ③
令?cos k d = ，?sin k h =
则?θ?θθθsin 2cos cos 2sin 2cos 2sin k k h d -=-
)2sin(?θ-=k （其中22h d k +=）
所以0v 的最小值为）
（h h d gd v -+=
2
2
2
）（h h d g v ++=220
9、已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E ＝1.5×106
V/m ，丝线长l ＝40cm ，上端系于O
点，下端系质量为m ＝1.0×10－4kg ，带电量为q ＝＋5.0×10-10
C 的小球，将小球从最低点A 由静止释放.（g 取10N/kg ） 求：（1）小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？
（2）摆动过程中小球的最大速度是多大？
【解析】：N 105.7N 105.1100.5qE F 4
-610?=???==-
N 10100.1mg G 4-??==
由动能定理有：
）
（θθcos -1mgL qELsin =将数据代入得 θθ4cos -43sin =
令θsin =t ，则2t -1cos =θ
代入上式得t 3-4t
-142
=
两边平方得t 24-t 916t 16-162
2
+= 解得25
24t =
即θsin =0.96 ，
74=θ 方法2：
θθ4cos -43sin =
42sin 8-42cos 2sin 62=+θ
θθ
2
sin
82
cos
6θ
θ
=
432tan
=
θ
372
=θ 74=θ 方法3: θθ4cos -43sin = 44cos 3sin =+θθ 4-5cos =）（?θ 37-=?θ
4
3tan =
? 37=? 所以
74=θ 方法4：由
4
3
mg qE =， 可知合力方向即为小球处于平衡位置时的方向，与竖直方向成37度角。 那么小球能偏离竖直方向的最大角为74度。
第二问：由于重力，电场力方向大小都恒定，两者合成一个大小方向都不变的恒力。这就相当于，小球只受到这一个力的作用，当这个合力的作用线通过O 向下时，这时小球速度最大。这个点就是本题中等效最低点（和物体只受重力时的最低点一样的找法。）
4
3
mg qE tan ==
? 37=? 由动能定理得
2mv 2
1
cos -1mgL -qELsin =
）（?? 代入数据得s /m 41.12v ==
10、(15分) (2013年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起
m=50kg 的物体。一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重
物与斜坡间的摩擦因数为μ=
3
≈0.58。试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值?
【解析】：根据题述，拉力F=mg=500N 。
设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面夹角为?，分析重物M 受力，如图所示。将各力分别沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件得：
在垂直斜面方向：0Mgcos
-Fsin F N =+θ? 式中是斜面对重物的支持力N F ，其大等于重物对斜面的正压力。 根据题意，重物刚好能被拉动，加速度a 可近似认为等于0，即a=O 沿斜面方向：0sin -Fcos =-θ?Mg f ， 由摩擦定律．N f μ=
联立解得：)
sin cos ()sin (cos M θθμ?μ?++=
g F
令a tan =μ，代入上式可得：))
sin()
sin(M a g a F ++=
θ?
要使该同学向上拉动的重物质量最大，上式中分子取最大 值，即)s in (a +?=1，
))
sin(M max a g F
+=
θ
由3
3tan =
=a μ可得
30=a ，代入上式可得该同学向上拉动的重物质量M 的最大值)
3015sin(M max +=
g F
=kg 7.70kg 250=
11、（2009清华大学） 如图，一细棒质量为m ，初始时θ=30度，方形木块以恒定速度向正
左方运动。则细棒受到木块的力： A.一直增大 B.一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
【解析】：假设刚开始时，细棒的另一端刚好与方形木块接触，细棒的长度为2L ，则木块的高度为L 。设木块与细棒的接触点到支点的距离OA 为x ，
有
θsin x L = ?θ
sin L
x =
由力矩平衡条件有：
θcos mgL Fx =?θθcos sin mgL L
F
= ?θθcos sin mg F ==θ2sin 2mg
当θ=
45时取最大值，所以当方形木块向左运动的过程中，θ由
30增大到接近90 ，细棒受到木块的力是先增大再减小。
注：其中第3、4、10题，用矢量三角形法解决会要简单很多。这里主要熟悉三角函数的应用，因此没用矢量三角形法进行解答。
三角函数在物理学中的应用
三角函数的应用 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。 公式总结 1．利用二倍角公式求极值 正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin = 如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2 A y = 当 0 45=θ时，y 有最大值 2 max A y = 2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为 )cos sin ( 2 2 2 2 22θθb a b b a a b a y ++++= 令 φcos 2 2 =+b a a ， φsin 2 2=+b a b 则 )sin(22φθ++= b a y 当 0 90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y += 3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式 2cosa -12a sin = 2 cosa 12cos +=a
a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan +=-=+= a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot +=-=-+= 典型例题解析： 1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ） 【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S = 有θθsin gt 2 1cos 2L 2?=，解得θ θθ2s i n gL 2cos sin gL t = ?= ，当0 45=θ时，t 有最小值． 【答案】C 2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？ 【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有 2 2 1cos mv mgR = ?θ ① R v m mg N 2 cos =-θ ② 由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为 θθθθ2sin 2 3 cos sin 3sin mg mg N N x = ?=?= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2 3 mg N f x = = 从f 的表达式可以看出，当θ=450 时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值 图2 图1
初中数学《锐角三角函数的应用》教案
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
三角函数公式大全81739
三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数
名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
高中三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) = cot(A+B) =cot(A-B) = 倍角公式 tan2A =Sin2A=2SinA?CosA Cos2A =Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a) 半角公式 sin()=cos()= tan()=cot()= tan()== 和差化积 sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossin cosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsin tana+tanb= 积化和差 sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(-a) = cosacos(-a) = sina sin(+a) = cosacos(+a) = -sina sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =
三角函数对照表
三角函数对照表
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2ααα ααααα ==-=-=- 2tan tan 21tan 2α αα =- - sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααα αα =-=--=- - 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=?+--=?+-+=?+--=-? [][] [] [] 1 sin cos sin()sin()21 cos sin sin()sin()2 1 cos cos cos()cos()21 sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ?= ++-?=+--?=++-?=-+-- 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） 22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+± 其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan b a φ=确定 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”
最全高中数学三角函数公式
定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式
公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角函数在实际中的应用
专题3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧： 1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）． （1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号） （2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）
3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°， （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）
锐角三角函数及应用
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
三角函数公式推导和应用大全
三角函数公式推导和应用大全 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的部规律及本质也是学好三角函数的关键所在 中文名 三角函数公式 外文名 Formulas of trigonometric functions 应用学科 数学、物理、地理、天文等 适用领域围 几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等 适用领域围 高考复习 目录 1 定义式 2 函数关系 3 诱导公式 4 基本公式 ?和差角公式 ?和差化积 ?积化和差 ?倍角公式 ?半角公式 ?万能公式 ?辅助角公式 5 三角形定理 ?正弦定理 ?余弦定理 三角函数公式定义式 编辑 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形
任意角三角函数正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典． 三角函数公式函数关系 编辑 倒数关系： ； ； 商数关系： ； ． 平方关系： ； ； ． 三角函数公式诱导公式 编辑 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系： 公式四： 与 的三角函数值之间的关系： 公式五： 与 的三角函数值之间的关系：
锐角三角函数及其应用真题练习
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
三角函数定义及其三角函数公式大全
三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注 意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α
三角函数对照表(0-90)
三角函数对照表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 0 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405
三角函数公式大全
三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角函数在解题中的应用
论文提要 三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例,三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中,三角函数常常与三角形密切结合在一起,灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质.三角函数是学习高等数学的必备基础知识之一,学习时要注重三角知识的基础性,突出三角函数的周期性、单调性、奇偶性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识.本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题.
论三角函数在解题中的应用 王宪 摘要：三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中，三角函数常常与三角形密切结合在一起，灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质。本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题。 关键词：三角函数三角形公式定理 高中数学的三角函数是比较难学的,也是高考必考内容.其涉及的基础知识、数学思想方法在数学和其它学科中都有广泛的运用.本文通过实例介绍几种常用的数学解题思想在三角函数中的应用. 一．培养三角函数应用于解题的思想 1. 分类的思想 分类讨论方法又称逻辑划分,中学数学最常用的数学思想方法之一,也是高考数学中常考常新的数学思想. 分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类、求解,然后综合出问题的答案.在三角函数中主要对角的终边所在的象限的三角函数值等进行分类. 2. 数形结合的思想 数形结合方法是指将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略,数形结合思想可以使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.在三角函数的学习过程中,应把三角函数的性质融于函数的图形之中,充分利用三角函数的图像来解决实际问题. 3. 函数与方程思想 方程思想是指对所求的问题通过列方程(组) 使问题获解,有些三角函数问题通过引入一个新的变量,转化命题的结构,经过变形与比较,建立起含有特定字母系数的方程组,进而
浅谈“单位圆”在三角函数中的应用(1)
浅谈“单位圆”在三角函数中的使用 胡海光 （宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013） 摘要：新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的使用及解题中的使用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。 关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；使用 1.引言 新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆和三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象和性质，明白如何用单位圆和三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。 2.单位圆的认识 单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。 2.1单位圆的定义 所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。如下图所示： 2.2为什么用 单位圆上点的坐标定义三a
2020-2021学年九年级中考专题复习：锐角三角函数及其应用(含答案)
2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用 一、选择题 1. （2020·玉林）sin 45°的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．2 D ．1 2. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4 5，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( ) A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm D . 9 cm 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB 的长为( ) A.95sin α m B.95cos α m C.59sin α m D.59cos α m 5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在 同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx
6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上， 矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. 如图，以 O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵ 上一点(不与A ，B 重合)， 连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α) 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ， 若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33 二、填空题 9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60?= . 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝ 15 8 ，则AB ＝________． 11. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的 高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
浅谈直角三角形在三角函数中的运用
浅谈直角三角形在三角函数中的运用 曲靖市罗平职业技术学校李小卫 【摘要】已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值，常见的题目有三种：一是函数值已知且角所在象限已知；二是函数值已知但角所在象限未知;三是函数值用字母给出而没有确定角的象限。这些内容都是同角三角函数关系式的一个重要应用，采用常规做法运算量大，易出错，借助直角三角形求解，避开连锁运算，尤其在选择题、填空题中采用 此法，解题速度快，准确率高，节约很多时间。 【关键词】三角函数求值直角三角形勾股定理 在三角函数求值中，使用诱导公式可以把复杂的角化为简单的锐角求值，设α为非界限角的任意角，sinα，cosα，tanα可用诱导公式把角α化为锐角θ求值，有式子：sinα= ±sinθ，cosα=±cosθ，tanα=±tanθ成立。 1．结论得出 定理：无论α是哪个象限的角（非象限角），都有一个锐角θ的三角函数值与α的同名三角函数值相等或互为相反数。 即：sinθ= sinα，cosθ= cosα，tanθ=tanα。 证明：（1）当α为第一象限角时：由终边相同的角三角函数值相等得： sinθ= sinα，cosθ=cosα，tanθ= tanα。 （2）当α为第二象限角时：α的终边与θ的终 边关于y轴对称，α与θ的关系为： α+θ=π+2kπ（k∈Z）， 即：θ=π+2kπ-α（k∈Z）。 sinθ=sin（π+2kπ-α）= sinα， cosθ=cos（π+2kπ-α）=-cosα， o tanθ= tan（π+2kπ-α）=-tanα（k∈Z） （3）同理可证明当α为第三象限角时： sinθ=-sinα，cosθ=-cosα，tanθ=tanα （4）当α为第四象限角时: sinθ=-sinα，cosθ= cosα，tanθ=-tanα. 所以：无论α是哪个象限的角都有锐角θ使得： sinθ= sinα，cosθ= cosα，tanθ=tanα。 所以欲求α的三角函数值先求对应锐角θ的三角函数值，由α的象限判断正负，从而求出α的三角函数值。 2.解题步骤：一画，二用，三求，四定。 1．画一直角三角形； 2．用勾股定理,函数值的绝对值视为两边之比，求第三边；