第八章 8.5空间几何体及空间向量
§8.5空间向量及其应用
1．空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2，则称a 与b 互相垂直，
记作a ⊥b . ②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b ). ②交换律：a ·b ＝b ·a .
③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
(3)
概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．
2．零向量能作为基向量吗？
提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )
(4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( √ ) 题组二 教材改编
2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →
＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2
b ＋c
B.12a ＋1
2
b ＋c
C ．－12a －1
2b ＋c
D.12a －1
2
b ＋
c 答案 A
解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →
)
＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .
3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 答案
2
解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2
＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，
∴|EF →
|＝2，∴EF 的长为 2. 题组三 易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行
C ．异面
D ．相交但不垂直
答案 B
解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →
＝(1,1，－1)，
∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →
共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .
5．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →
，若P ，A ，B ，C
四点共面，则实数t ＝______. 答案 1
8
解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18
. 6．设μ，v 分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β
解析 当v ＝(3，－2,2)时，μ·v ＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v ，所以α⊥β； 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，μ∥v ，所以α∥β.
空间向量的线性运算
例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →
＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.
解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，
∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1——→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→
＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .
(2)∵N 是BC 的中点，
∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →
＝－a ＋b ＋12BC →
＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋1
2c .
(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →
＝－1
2a ＋????a ＋c ＋12b ＝12a ＋1
2
b ＋
c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→
＝1
2
c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→
＝????12a ＋12b ＋c ＋????a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3
2
c . 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→
表示OC 1→，则OC 1→
＝________________.
答案 12AB →＋12
AD →＋AA 1→
解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，
∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→
＝12AB →＋12
AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →
等于( )
A.1
2
(－a ＋b ＋c ) B.1
2
(a ＋b －c )
C.1
2
(a －b ＋c ) D.1
2(－a －b ＋c ) 答案 B
解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →
)＋12AB →
＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →
)＝12OA →＋12OB →－12OC →
＝1
2
(a ＋b －c )． 共线定理、共面定理的应用
例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →
＝EB →＋12(BC →＋BD →)
＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，
由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →
＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .
又EH ?平面EFGH ，BD ?平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .
思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
(0≤k ≤1)．
(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→
共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1——→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→
，
∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→
共面． (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，
当0 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→ 共面， ∴MN ∥平面ABB 1A 1. 综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0 空间向量数量积及其应用 例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点． (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长； (3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值． (1)证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD → ＝c ， 由题意知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝1 2(b ＋c －a )， 所以EG →·AB →＝1 2(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝1 2? ???1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB → ，即EG ⊥AB . (2)解 由题意知EG → ＝－12a ＋12b ＋12c ， |EG → |2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12 ， 则|EG → |＝22，即EG 的长为22. (3)解 AG →＝12(AC →＋AD → )＝12b ＋12c ， CE →＝CA →＋AE → ＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE → 〉＝AG →·CE →|AG →||CE →| ＝ ????12b ＋12c ·? ??? －b ＋12a ????12b ＋12c 2·??? ?12a －b 2 ＝－1232×3 2 ＝－23， 由于异面直线所成角的范围是????0，π 2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为2 3 . 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置． (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解． 跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1→ 的长； (2)求BD 1→与AC → 夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12 . |AC 1→ |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×????12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→ |＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC → ＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC → |＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos 〈BD 1→，AC → 〉＝BD 1→·AC → |BD 1→||AC → |＝66. 即BD 1→与AC → 夹角的余弦值为66 . 向量法证明平行、垂直 例4 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面P AD； (2)平面P AB⊥平面P AD. 证明以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°. ∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)， M ?? ??32 ，0，32， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM → ＝????32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则????? DP →·n ＝0，DA →· n ＝0，即????? －y ＋2z ＝0， 23x ＋3y ＝0， 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)． ∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM → . 又CM ?平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD . (2)方法一 由(1)知，BA →＝(0,4,0)，PB → ＝(23，0，－2)， 设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)， 则????? BA →·m ＝0，PB →· m ＝0，即????? 4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0， 令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)， 又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD . 方法二 如图，取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2,1)，BE → ＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A . 又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA → ，∴BE ⊥DA . 又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ?平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ?平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD . 思维升华 (1)用向量证明平行的方法 ①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量． ②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． ③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量． (2)用向量证明垂直的方法 ①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直． ②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． ③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直． 跟踪训练4 如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1∥BC 且B 1C 1＝1 2 BC ，二面角A 1－AB －C 是直二面角．求证： (1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C . 证明 由二面角A 1－AB －C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，可得AA 1⊥平面BAC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴∠CAB ＝90°且CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 设AB ＝2，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)，B 1(0，2,2)． (1)A 1B 1——→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，AC → ＝(2,0,0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·A 1A →＝0，n · AC →＝0，即????? －2z ＝0，2x ＝0， 即????? x ＝0，z ＝0. 取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1——→＝2n ，即A 1B 1——→ ∥n ， ∴A 1B 1⊥平面AA 1C . (2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1——→＝(1,1,0)，A 1C → ＝(2,0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则??? ?? m ·A 1C 1——→ ＝0，m · A 1C →＝0，即? ???? x 1＋y 1＝0， 2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB 1→ ⊥m . 又AB 1?平面A 1C 1C ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝1 2x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6) D ．(6,6，－6) 答案 B 解析 由b ＝1 2x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)． 2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.14 5 D ．2 答案 D 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( )