离散数学期末考试试题
离散数学试题(A卷及答案)
一、证明题(10分)
1) ( -P A ( —Q A R)) V (Q A R)V (P A R)= R
证明：左端 =(-P A-QAR) V ((Q V P)A R￡((—P A-Q)AR)) V((Q V P)A R)
：=(^P V Q) A R)V(( Q V P ) A R匕(一(P V Q )V(Q V P)) A R
：=(「P V Q )V( P V Q )) A fcT A R置换)：=R
2) x(A(x) —.B(x)) ：= - x A(x) _._x B(x)
证明：x ( A(x) > B(x)〉= x ( f(x) V B(x))= x—A(x) V x B(x)=—- x A(x)V x B(x)=- x A(x) -l x
B(x)
、求命题公式(P V (Q A R)) >(P A QA R)的主析取范式和主合取范式(10分)
证明：(P V (Q A R))「(P A Q A R>=— (P V (Q A R)) V (P A QA R))
二(—P A ( 一QV -R) )V (P A Q A R)
二(一P A — Q)V ( -P A -R)) V (P A Q A R)
二(_PA _Q R) V (_P A _QA 一R) V ( _P A QA _R)) V ( _PA _QA _R)) V (P A Q R)
二m0V m1V m2V m7
u M3V M4V M5V M6
三、推理证明题(10分)
1)C V D,(C V D)》-E, -E >(A A -B), (A A证明(1) xP(x)
—B)r(R V S)「：R V S(2)P(a)
(1) (C V D)—；「E(3) -x(P(x) >Q(y) A R(x))
证
明：
(2) -E >(A A -B)(4)P(a) >Q(y) A R(a)
(3) (C V D)—.(A A -B)(5)Q(y) A R(a)
⑷(A A -B)_. (R V S)(6)Q(y)
V D)_ (R V S)(7)R(a)
(5) (C
⑹C V D(8)P(a)
⑺R V S(9)P(a) A R(a)
2)-x(P(x) —；Q(y) A R(x)) , xP(x)二Q(y) A(10) x(P(x) A R(x))
x(P(x) A R(x))(11)Q(y) A x(P(x) A R(x))
四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取耐1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍证明设
印,a2，…，a m1为任取的1个整数，用m去除它们所得余数只能是0, 1,…，m- 1，由抽屉原理可知，耳,a2，…，a m d这m+ 1个整数中至少存在两个数a s和a t，它们被m除所得余数相
同，因此a s和a的差是m的整数倍。
五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B U C)=(A-B) n (A-C) (15分)
证明???x 三A- ( B U C) ：j x 三 A A XP ( B U C) =xw A A( x^B A x^C)：二(x 三 A A x^B)A( xwA
A x「O = x - (A-B)A x. (A-C) = x ? (A-B)A( A-C)「?A- (
B U C) = (A-B)A( A-C)
六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={
R1、R*S、S*R、R {1,2}、S[{1,2}] ( 10 分)
12 2 2 解：R-={
七、若f:A T B 和g:B T C是双射，则(gf ) -1=f-1g-1(10 分)。
证明：因为f、g是双射，所以gf: A T C是双射，所以gf有逆函数(gf) -1: C T A。同理可推f-1g-1: C T A是双射。
因为
R {1,2}={<1,1>,<2,4>} , S[{1,2}]={1,4}。
八、(15分)设是半群，对A中任意元a和b,女口b必有a*b^ b*a,证明：
(1) 对A中每个元a,有a*a= a。
(2) 对A中任意元a和b,有a*b*a= a。
(3) 对A中任意元a、b和c,有a*b*c = a*c。
证明由题意可知，若a*b= b*a,则必有a= b。
(1) 由(a*a)*a= a*( a* a)，所以a*a= a。
(2) 由a*( a*b*a) = (a*a)*( b*a) = a*b*( a*a) = (a*b*a)* a,所以有a*b*a= a。
(3) 由(a*c)*( a* b* c) = (a*c*a)*( b*c) = a*( b*c) = (a* b)* c = (a* b)*( c*a*c) = (a*b*c)*( a*c),所以有a*b*c = a* c o
九、给定简单无向图G=
证明若n A c m：+ 2,贝V 2n》n i-3mF 6 (1 )。
若存在两个不相邻结点u、v使得d( u) + d( v ) v n,则有2n=送d(w) v mb ( n—2)( n—3) + m= n i- 3mF
w^V
6，与(1)矛盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d( u ) + d( v) A n所以G是哈密尔顿
图。
离散数学试题(B卷及答案)
一、证明题(10分)
1) ((P V Q) A -(—P A ( —Q V -R))) V ( —P A -Q) V ( ~P A — R)二T
证明左端二((P V Q)A (P V (Q A R))) V -((P V Q)A (P V R))(摩根律)：=((P V Q)A (P V Q)A (P V R)) V
—((P V Q)A (P V R))(分配律)=((P V Q)A (P V R)) V _((P V Q)A (P V R))(等幕律)=T (代入)
2) -x(P(x) > Q(x)) A -xP(x) h x(P(x) A Q(x))
证明—x(P(x) > Q(x)) A -xP(x) ：=- x((P(x) >Q(x) A P(x))二- x(( ~P(x) V Q(x) A P(x))：二- x(P(x) A
Q(x)) h xP(x) A - xQ(x) h x(P(x) A Q(x))
二、求命题公式(一P 》Q)》(P V -Q)的主析取范式和主合取范式(10分)
解：(一P >Q) >(P V -Q)=—( -P >Q) V (P V —Q)二—(P V Q) V (P V — Q)= (—P A —Q)V (P V — Q) = (—P V P
V -Q)A ( —Q V P V —Q)= (P V —Q)= MJ m0V m2V m3
四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是 退化的）面积不超过 1/8 （10分）。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形 （可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即
1/8。
五、 已知 A 、B 、C 是三个集合，证明 A n （B U C ）=（A n B ） U （A n C ） （ 10分）
证明：■/ x 三 A n （ B U C ）：=x 三 A A x 三（B U C ）：=x 三 A A （ x 三B V x 三 C ）：二（x 三 A A x 三 B ）V （ x 三 A A x 三 C ） u x ? （A n B ）V A n d x （A n B ）U （ A n C ）.?.A n （ B U C ） = （A n B ）U （ A n C ） 六、 -={A 1, A 2,…，A n }是集合 A 的一个划分，定义 R={＜a , b ＞|a 、b € A , I=1 , 2,…，n}，贝U R 是A 上的等
价关系（15分）。
证明：-a € A 必有i 使得a € A ,由定义知aRa ,故R 自反。
-a,b € A ,若 aRb ，贝U a,b € A ,即卩 b,a € A ，所以 bRa,故 R 对称。
_
a,b,c € A ,若 aRb 且 bRc ,则 a,b € A 及 b,c € A 。因为 i 丰 j 时 A n A="，故 i=j ，即 a,b,c € A ，所以 aRc ,
故R 传递。
总之R 是A 上的等价关系。
七、 若f:A T B 是双射，则f 1:B T A 是双射（15分）。
证明：对任意的x € A ,因为f 是从A 到B 的函数，故存在 y € B ,使＜x,y ＞ € f , ＜y,x ＞ € f -1
。所以,f -1
是满射。
对任意的x € A,若存在y 1,y 2€ B,使得＜y 1 ,x ＞ € f -1
且＜y 2,x ＞ € f -1
,则有＜x,y 1＞ € f 且＜x,y 2＞ € f 。因为f 是函
数，则y 1=y 2。所以，f -1是单射。
因此f -1
是双射。
八、 设＜G, *＞是群，＜A, *＞和＜B , *＞是＜G *＞的子群，证明：若 A U B= G,则A =
G 或B= G （ 10分）。
证明 假设A M G 且B M G 则存在 a A a
B ,且存在b B, b'A （否则对任意的 a A , a B ,从而A =B ,即A
U B= B,得 B = G 矛盾。）
三、推理证明题(10分) 1)(P
(Q_.S)) A ( —R V P) A Q ：.R >S 证明：(1) R 附加前提
(2) -R V P P (3) P
T(1) (2),1
(4) P >(Q >S) P (5) Q >S T(3)(4),l (6)
Q P
(7) S T(5)( 6),l
(8)
R_.S CP
2) —x(P(x) V Q(x)) , - x —P(x)二.x Q(x) 证
明：⑴-x —P(x) P (2) —P(c)
T(1),US
(3) -x(P(x) V Q(x)) P (4) P (c) V Q(c) T(3),US (5) Q(c) T(2)(4),I (6) x Q(x)
T(5),EG
对于元素a
*b.二G,若a*b.二A因A是子群，a-1“，从而a-1* ( a*b) = b . A,所以矛盾，故a*b.「A。同理
可证a* b FB，综合有a* b .-'A U B= G
综上所述，假设不成立，得证A= G或B= G
九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的(10分)。
证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G i、G2、…、G k。任取结点u、v € G,若u和v不在图G 的同一个连通分支中，则［u, v］不是图G的边，因而［u, v］是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支G i (1 < i < k )中，在不同于G i的另一连通分支上取一结点w，则［u , w］和［w , v］都不是图G的边，，因而［u , w］和［w , v］都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和
v的任意性可知，G是连通的。
一、选择题.(每小题2分，总计30)
1. 给定语句如下：
(1) 15是素数(质数)
(2) 10能被2整除，3是偶数。
(3) 你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！
(4) 2x+3>0.
(5) 只有4是偶数，3才能被2整除。
(6) 明年5月1日是晴天。
以上6个语句中，是简单命题的为( A),是复合命题的为(B),是真命题的为(C),是假命题的是(D),
真值待定的命题是(E)
A:①⑴(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1) (6) B: ①⑵(4) ②⑵(4)(6) ③⑵(5)
C:①(1)(2)(5)(6) ②无真命题3( 5) D: ①(1)(2) ②无假命题③(1)(2)(4)(5)
E:①⑷(6) 笑(6) ③无真值待定的命题
2. 将下列语句符号化：
(1)4是偶数或是奇数。(A)设p：4是偶数，q : 4是奇数
(2)只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。(B)设p：王荣努力学习，q :王荣取得好成绩
(3)每列火车都比某些汽车快。(C)设F(x):x是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x 比y快。
A:① p V q ② p A q ③ p q B: ① p q ② q p ③ p A q
C:①-x y ((F(x) A G(y)) (H(x,y)) ②-x (F(x) y(G(y) A H(x,y)))③-x (F(x) A y(G(y) A
H(x,y)))
,R2是(B),R 3是(C)。
3.:R1 是(A)
A B C:①自反的，对称的，传递的
反对称的⑤对称的4.设S={①，{1} , {1 , 2}}，则有
(1) (A) S
(3)P(S)有(C)个元数。
A:①{1,2} ② 1 B:
②反自反的，对称的③自反的
⑥自反的，对称的，反对称的，传递的
(2) (B) S
(4)( D)既是S的元素，又是S的子集
③{{1,2}}④{1}
C:⑤3 ⑥6⑦7⑧8 D: ⑨⑴⑩①
二、证明（本大题共2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分）
1、用等值演算算法证明等值式（p A q）V （p人一q）二p
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
三、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分，总计30分）
1、设P x, y为x整除y, Qx为x :: 2,个体域为'1,2?，求公式：
-x y Px,y > Q x 的真值。
2、设集合A 31,2,3,4] A上的关系R」￡1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,3 , 3,4二求出它的自反闭包，对称闭包和传递
闭包。
3、设A =〈1,2,4,8,12,24,1上的整除关系R&1总「印耳?A?整除a^f, R是否为A上的偏序关系？若是
则：
1、画出R的哈斯图；（10分）
2、求它的极小元，最大元，极大元，最大元。（5分）
四、用推导法求公式p、q：」?p的主析取范式和主合取范式。（本大题10分）答案:
选择题
1. A:③ B: ③ C:③ D:① E:②
2.A: ① B: ② C:②
、证明题
1.证明左边=((p A q) V p)A( (p A q) V「q))（分配
律）
二p A( (p A q) V「q)) (吸收
律）
二p A( (p V -q) A (q V r))（分配律）
二p A( (p V -q) A 1)（排中
律）
二p A (p V r)（同一
律）
二p（吸收律）
2.解：p：今天是星期三。
q : 我有一次英语测验。
r我有一次数学测验。
s : 数学老师有事。
前提: L (q V r) , s t-1r , p A S
结论：q
证明：①p A s前提引入
②p①化简
③p->(q V r)前提引入
④q V r②③假言推理
⑤s①化简
⑥STF前提引入
⑦⑤⑥假言推理
⑧q④⑦析取三段论
3.A:③B: ④ C:⑥
4.A: ①B: ③C:⑧D:⑩
推理正确。
三、计算
-x y P x,y > Q x
r = y P 1,y > Q 1 上P 2,y > Q 2
=P 1,1> Q 1上p 2,1> Q 2P 1,2> Q 1上P 2,2 > Q 2 P 1,1 =1,P 1,2 =1,P 2,1 =0,P 2,2 =1,Q 1 =1,Q 2 =0
.二1》1上0》0打[[1 > 1讥[1 > 0
=1
该公式的真值是1，真命题。
—x y P x,y 》Q x 二-x P x,1 )Qx P x,2 > Q x
或者=P1,1 > Q1 P1,2 >Q1 P 2,1 > Q 2 P 2,2 > Q 2
T > T T > T F > F T > F
=T T ] iT F ：= T T ：= T
2、r(R)二「1,1., 1,2 , 2,1, 2,3 , 3,4 , 2,2 , 3,3 , 4,4 ：?
s(R) —1,1 , 1,2, 2,1, 2,3., 3,4, 3,2 , 4,3；?
t(R) —1,1, 1,2 , 2,1, 2,3, 3,4 ,1,3, 2,2, 2,4 , 1,4. /
3、（1）R是A上的偏序关
系。
(2)极小元、最小元是1,极大元、最大元是24。
四、
p ) q )- - -p q p
-p _q P
-p
=p q _q
-p _q p q
二Z (2,3)
二主合取范式口(0，)
安徽大学2004-2005学年第二学期《离散数学》期末考试试卷( A卷)参考答案
一、单项选择
1在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？( )
A. a*b=a-b
B. a*b=max{a,b}
C. a*b=a 2b
D. a*b=a b(mod 3)
2下列代数系统
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
【浙江工商大学】《离散数学》期末考试题(B)
《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 一（6%）选择填空题。 (1) 设S = {1，2，3}，R 为S 上的二元关系，其关系图如右图所示，则R 具有（ ）的性质。 A. 自反、对称、传递； B. 反自反、反对称； C. 自反、传递； D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}， A 上的等价关系 R = { (4)没有不犯错的人。 五（10%）在自然推理系统Ｐ中构造下面推理的证明： 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者Ｃ++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。 六（10%）在自然推理系统中构造下面推理的证明（个体域：人类）： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。 七（14%）下图给出了一些偏序集的哈斯图，判断其是否为格，对于不是格的说明理由，对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格（布尔代数）。 八（12%）设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，“ ”为S上整除关系， (1)画出偏序集> ,S的哈斯图； < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12}，求B的极小元、最小元、极大元、最大元，下界，上界。 九（8%）画一个无向图，使它是： (1)是欧拉图，不是哈密尔顿图； (2)是哈密尔顿图，不是欧拉图； (3)既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图； 并且对欧拉图或哈密尔顿图，指出欧拉回路或哈密尔顿回路，对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十（8%）设6个字母在通信中出现的频率如下： 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树，指出每个字母对应的编码，n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥离散数学期末考试试题及答案
厦门大学离散数学2015-2016期末考试试题答案年