2010年中考试题集锦--正方形

选择题（每小题x 分，共y 分）

(2010?重庆)10．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作

AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S

正方形ABCD

＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（D ）

A ．①③④

B ．①②⑤

C ．③④⑤

D ．①③⑤

(2010?义乌)8．下列说法不正确的是D

A ．一组邻边相等的矩形是正方形

B ．对角线相等的菱形是正方形

C ．对角线互相垂直的矩形是正方形

D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形

（2010?自贡市）9．边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ A ）。

A ．2－

3

3 B ．

3

32

C ．2－

4

3 D ．2

(2010?辽宁省抚顺)8.如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中，AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ,,则图中阴影部分的面积为 C

A.

3

34 B. 6 C .

5

18 D.

5

36

(2010?泸州)2.如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角0后与△AED 重合，则θ的取值可能为（ A ） A. 90° B．60° C . 45° D . 30°

图1

（2010?柳州）9.如图4，在正方形A B C D 的外侧作等边A D E △，则AEB ∠的度数为C A ．10° Ｂ．12.5° Ｃ．15° Ｄ．20°

（2010?柳州）12．如图6，四边形A B C D 是边长为9的正方形纸片，将其沿M N 折叠，使点B 落在C D 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则A M 的长是B A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5

二、填空题（每小题x 分，共y 分）

（2010?宜宾）20．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF

三角形；

④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的番号是 ①②④

图6

F E

B

(2010?辽宁省铁岭市)15. 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A,分别过顶点B 、D 作 DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE=4,BF=3,则EF 的长为___7___________.

(2010?威海)18．从边长为a 的大正方形纸板中间挖去一个边长为b 的小正方形后，将其截

成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚． 现有一平行四边形纸片ABCD ﹙如图③﹚，已知∠A ＝45°，AB ＝6，AD ＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为

11

（2010?绥化）20．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 的对角线A 1C

和OB 1交于点M 1；以M 1A 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2 M 1，对角线A 1 M 1和A 2B 2 交于点M 2；以M 2A 1为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3 M 2，对角线A 1 M 2和A 3B 3

交于点M 3；……，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点的坐标为M n _______________．

解析：

图

② 图 ①

a A

图 ③

B

C

（第18题图）

（第15题图）

答案：(1－12n ,1

2n )或另一书写形式(2n －12n ,12n )

(2010?宿迁市)16．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④

四个三角形的周长之和为 32 ．

(2010?内蒙古包头)17．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各

做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是

252

或12.5 cm 2．

（2010?大兴安岭）20．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 的对角线

A 1C 和O

B 1交于点M 1；以M 1A 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2 M 1，对角线A 1 M 1和

A 2

B 2 交于点M 2；以M 2A 1为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3 M 2，对角线A 1 M 2和A 3B 3 交于点M 3；……，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点的坐标为M n _______________．

答案：(1－12n ,1

2n )或另一书写形式(2n

－12n ,12

n )

(2010?上海市)18.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为__1或5_________.

【解析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：

顺时针旋转得到1F 点，则1F C=1 逆

时

针

旋

转

得

到

2

F 点，则

F

F 1

E

D

C

B

A

B D C

B

A

C ′

F E ③ ② ①

④ (第16题)

22F B DE ==,225

F C F B BC =+=

(2010?河北省)18．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠

放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 =

S 2（填“＞”、“＜”或“=”）．

三、解答题：（共x 分）

(2010?日照市)如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，

BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积．

（1）证明：∵∠AEF =90o ，

图10-1

图10-2

∴∠FEC +∠AEB =90o

．………………………………………1分 在Rt △ABE 中，∠AEB +∠BAE =90o

，

∴∠BAE =∠FEC ；……………………………………………3分 （2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，

∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180o －45o =135o ． 又∵CF 是∠DCH 的平分线，

∠ECF =90o +45o =135o ．………………………………………4分

在△AGE 和△ECF 中，

??

???∠=∠=∠=∠=FEC GAE ECF AGE EC AG o

,135, ∴△AGE ≌△ECF ； …………………………………………6分 （3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．

又∵∠AEF =90o ，

∴△AEF 是等腰直角三角形．………………………………7分 由AB=a ，BE =

2

1a ，知AE =

2

5a ，

∴S △AEF =8

5a 2

．…………………………………………………9分

(2010?重庆市潼南县)24.(10分) 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延

长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.

（1）证明：△AB E ≌△DAF ；

（2）若∠AGB =30°，求EF 的长.

24．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形

∴AB=AD

在△ABE 和△DAF 中 ??

?

??∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF -----------------------4分

（2）∵四边形ABCD 是正方形

∴∠1+∠4=900

∵∠3=∠4

∴∠1+∠3=900

∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD 中， AD ∥BC ∴∠1=∠AGB=300

在Rt △ADF 中，∠AFD=900 AD=2

题图

24

∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE ≌△ADF ∴AE=DF=1

∴EF=AF-AE=13- -----------------------------------------10分

(2010?乌鲁木齐市)24.如图9，边长为5的正方形O A B C 的顶点O 在坐标原点处，点A C 、分别在x 轴、y 轴

的正半轴上，点E 是O A 边上的点（不与点A 重合），EF C E ⊥，且与正方形外角平分 线A C 交于点P .

（1）当点E 坐标为(30)，时，试证明C E E P =；

（2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（0t >）”，结论 C E E P =是否仍然成立，请说明理由；

（3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形B M E P 是平行四边形？若存在，用t 表示点M 的坐标；若不存在，说明理由.

24.解：（1）过点P 作P H x ⊥轴，垂足为H

∴2190∠=∠=° ∵E F C E ⊥ ∴34∠=∠ ∴C O E E H P △∽△

∴

C O E H

O E

H P

=

··········································· 2′

由题意知:5C O = 3O E = 2EH EA AH H P =+=+

∴

523H P

H P +=

得3H P = ∴5E H = ··········································································································· 3′

在R t C O E △和R t E H P △中

∴CE ==

34EP =

=

故C E E P = ········································································································ 5′

（2）C E E P =仍成立.

同理.C O E E H P △∽△ ∴C O E H O E

H P

=································································ 6′

由题意知:5C O = O E t = 5EH t H P =-+ ∴

55t H P

t H P

-+=

整理得()()55t HP t t -=-

∵点E 不与点A 重合 ∴50t -≠ ∴H P t = 5E H =

∴在R t C O E △和R t E H P △中

C E =

EP =

∴C E E P =····················································· 5′

（3）y 轴上存在点M ，使得四边形B M E P 是平行四边形. ······································· 9′

B

P

G

图9

O

F

A

E C

y A

R

H

O M

C y B

G

P

F

x

过点B 作BM EP ∥交y 轴于点M ∴590C EP ∠=∠=° ∴64∠=∠ 在B C M △和C O E △中

64BC O C

BC M C O E ∠=∠??

=??∠=∠?

∴B C M C O E △≌△ ∴B M C E = 而C E E P = ∴BM EP =

由于B M E P ∥ ∴四边形B M E P 是平行四边形. ··········································· 11′ 故B C M C O E △≌△可得C M O E t == ∴5O M C O C M t =-=-

故点M 的坐标为()05t -，················································································· 12′

(2010?青岛市) 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF

是什么特殊四边形？并证明你的结论． 证明：（1）

证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，

∴R t R t ABE AD F △≌△． ∴BE ＝DF ．

········ 4分 （2）四边形AEMF 是菱形．

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ． ∵BE ＝DF ，

∴BC －BE = DC －DF . 即C E C F =． ∴O E O F =． ∵OM = OA ，

∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，

∴平行四边形AEMF 是菱形． ········ 8分

（2010?宁夏）已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、DA 上的点，且CE =DF ，AE 与BF 交于点M ．

A

D B

E F

O

C

第21题图

A

D B

E

F

O

C

第21题图

（1）求证：△ABF ≌△DAE ；

（2）找出图中与△ABM 相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．

22．(1)证明：在正方形ABCD 中： AB=AD=CD, 且∠BAD=∠ADC=0

90 ∵CE=DF

∴AD-DF=CD-CE 即：AF=DE 在△ABF 与△DAE 中 ??

?

??=∠=∠=已证）已证）已证）(((DE AF ADE BAF DA AB ∴△ABF ≌△DAE （SAS ）----------------------------------------------------------------------------3分 （2）与△ABM 相似的三角形有：△FAM; △FBA; △EAD----------------------------------6分

(2010?宁德市)25．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.

⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长

25．（满分13分）解：⑴∵△ABE 是等边三角形，

∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°. ∵∠MBN ＝60°，

∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN. 即∠BMA ＝∠NBE. 又∵MB ＝NB ，

B C M F

E D C

B A

M F

E D

C B

A

∴△AMB ≌△ENB （SAS ）. ………………5分

⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小. ………………7分 ②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时， AM ＋BM ＋CM 的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB ， ∴AM ＝EN.

∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ， ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM ＝MN.

∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM. ………………10分 根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短

∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长.……11分 ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ， ∴∠EBF ＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ＝2

3x ，EF ＝

2

x .

在Rt △EFC 中， ∵EF 2＋FC 2＝EC 2， ∴（

2

x ）2＋（

2

3x ＋x ）2＝()2

13+. ………………12分

解得，x ＝2

（舍去负值）.

∴正方形的边长为2

. ………………13分

1．

（2010?宁夏）在△ABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ．

(1)判断四边形AEMF 的形状，并给予证明．

(2)若BD =1，CD =2，试求四边形AEMF 的面积．

F

A D

B C

A

B

C

26.解：（1）∵AD ⊥BC

△AEB 是由△ADB 折叠所得

∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=090，BE=BD, AE=AD

又∵△AFC 是由△ADC 折叠所得

∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=090，FC=CD ，AF=AD ∴AE=AF---------------------------------------------2分 又∵∠1+∠2=045，

∴∠3+∠4=045

∴∠EAF=090--------------------------------------3分 ∴四边形AEMF 是正方形。---------------------5分

（2）方法一：设正方形AEMF 的边长为x

根据题意知：BE=BD, CF=CD

∴BM=x －1; CM=x －2-------------------------------------------------------------------7分

在Rt △BMC 中,由勾股定理得：

2

2

2

BM

CM

BC

+=

∴9)2()1(22=-+-x x

0232

=--x x

解之得： 217

31+

=x 217

32-

=

x (舍去)

∴2

17

313)217

3(

2

+=

+

=AEMF

S 正方形

------------------------------------------10分

方法二：设：AD=x ∴AD BC S ABC ??=?2

1=

x 23

∴x S S ABC AEBCF

32==?五边形

-----------------------------------------------------------7分 ∵)2)(1(2

12

1--=

?=?x x CM BM S BMC

且BMC AEBCF

AEMF

S S S ?+=五边形正方形

∴)2)(1(2

132

--+=x x x x 即0232

=--x x

4

32

1M

F

E

D

C

B

A

解之得：217

31+

=

x 2

17

32-

=

x (舍去)

∴2

17

3132

173(

2

+=

+

=AEMF

S 正方形

---------------------------------------------10分

2．

（2010?南京）28.（8分）如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止，连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG 。

（1）设AE=x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x

的取值范围；

（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 的运动路线的长。

3． 4．

（2010?浙江省东阳）24（12分）如图，P 为正方形ABCD 的对称中心，A （0，3），B （1，0），直线OP 交AB 于N ，DC 于M ，点H 从原点O 出发沿x 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O 出发沿OM 方向以2（1）C 的坐标为 ▲ ； （2）当t 为何值时，△ANO 与△DMR 相似？ （3）△HCR 面积S 与t 的函数关系式；

并求以A 、B 、C 、R 为顶点的四边形是梯形 时t 的值及S 的最大值。 5．

6． (2010?南充市)如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝

12

BC ．

（1）求∠BAC 的度数．

（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ．求证：四边形AFHG 是正方形． （3）若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．

（1）解：连结OB 和OC ． ∵ OE ⊥BC ，∴ BE ＝CE ． ∵ OE ＝

12

BC ，∴ ∠BOC ＝90°，∴ ∠BAC ＝45°． ……（2分）

（2）证明：∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90°．

由折叠可知，AG ＝AF ＝AD ，∠AGH ＝∠AFH ＝90°，

∠BAG ＝∠BAD ，∠CAF ＝∠CAD ， ……（3分） ∴ ∠BAG ＋∠CAF ＝∠BAD ＋∠CAD ＝∠BAC ＝45°． ∴ ∠GAF ＝∠BAG ＋∠CAF ＋∠BAC ＝90°． ∴ 四边形AFHG 是正方形． ……（5分） （3）解：由（2）得，∠BHC ＝90°，GH ＝HF ＝AD ，GB ＝BD ＝6，CF ＝CD ＝4． 设AD 的长为x ，则 BH ＝GH －GB ＝x －6，CH ＝HF －CF ＝x －4． ……（7分） 在Rt △BCH 中，BH 2＋CH 2＝BC 2，∴ （x －6）2＋（x －4）2＝102． 解得，x 1=12，x 2＝－2（不合题意，舍去）． ∴ AD ＝12．

（2010?荆州）19.（7分）如图，将正方形ABCD 中的△ABD 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜 想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．

H

19. 猜想：BM=FN (2分)

证明：在正方形ABCD 中，BD 为对角线，O 为对称中心,

∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°

∵△GEF 为△ABD 绕O 点旋转所得

∴FO=DO, ∠F=∠BDA

∴OB=OF ∠OBM=∠OFN （4分） 在 △OMB 和△ONF 中??

?

??∠=∠=∠=∠FON B OM OF OB OFN OB M ∴△OBM ≌△OFN （6分） ∴BM=FN （7分）

（2010?徐州）27．(本题8分)如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点 M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ， 连接EP ．

(1)如图②，若M 为AD 边的中点， ①,△AEM 的周长=_____cm ； ②求证：EP=AE+DP ；

(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由．

(2010?莱芜市)

中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE . （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.

解：（1）四边形EGFH 是平行四边形． …………………………1分

的对角线AC 、BD 交于点O ． ∴点O 的对称中心． ∴EO =FO ，GO =HO ．

∴四边形EGFH 是平行四边形． …………………………4分 （2）菱形． …………………………5分 （3）菱形． …………………………6分 （4）四边形EGFH 是正方形． …………………………7分 证明：∵AC =BD 是矩形． 又∵AC ⊥BD ， 是菱形．

ABCD 是正方形，∴∠BOC =90°，∠GBO =∠FCO =45°．OB =OC ． ∵EF ⊥GH ，∴∠GOF =90°．∴∠BOG =∠COF ．

∴△BOG ≌△COF ．∴OG =OF ，∴GH =EF ． …………………………9分 由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，又∵EF ⊥GH ，EF =GH . ∴四边形EGFH 是正方形．

26.（2010?常德）如图10，若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形，显然图中有AG=CE ，AG ⊥CE.

（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M. ①求证：AG ⊥CH;

②当AD=4，CH 的长。

C

D E

图110

A

D

图11

F E

B

C

G

A

D

B

C

E

F

H M

图12

H

G F E O D

C B A

图①

H

G F E O D

C

B

A

图②

A B

C

D

O

E F G H 图③

A

B

C D O E

F G H

图④

（第23题图）

26．解：（1）AG C E =成立．

四边形ABC D 、四边形D EFG 是正方形， ∴,,G D D E A D D C == ……………1分

∠G D E =∠90AD C =?.

∴∠G D A =90°-∠ADE =∠EDC . ……………2分 ∴△A G D ?△C E D . ∴AG C E =. ……………3分 （2）①类似（1）可得△A G D ?△C E D ， ∴∠1＝∠2 …………………4分 又∵∠HMA ＝∠D M C . ∴∠AHM =∠AD C ＝90?. 即.AG C H ⊥ …………………5分 ② 解法一: 过G 作G P AD ⊥于P ,

由题意有sin 451GP PD ==?=, ∴3AP =，则tan ∠1＝

13

G P A P

=. ………6分

而∠1＝∠2，∴tan ∠2＝D M D C

＝tan ∠1＝1

3

.

∴43

D M =

，即83

AM AD D M =-=

.

…………………7分 在Rt DM C ?

中，C M =

3

…………………8分

而AM H ?∽C M D ?,∴

AH AM D C

C M

=,

即8

4

3

AH =

,

∴5

AH =

. …………………9分

再连接A C

，显然有AC =

∴

5C H

=

所求C H 的长为

5

108.

…………………10分

解法二：研究四边形ACDG 的面积 过G 作G P AD ⊥于P ,

由题意有

sin 451O GP ==, ∴3AP =, AG =………………8分

A

B

C

D

E

F G

图11 B

A

C

D

E

F G

1

2

图12

H P M B

A

C

D

E

F G

1

2

图12

H P

M

而以CD 为底边的三角形CDG 的高=PD =1,

AG D

AC G C G D AC D G S S S S S +=+ 四边形,

∴4×1+4×4=CH+4 ×1. ∴C H =5

108

. ………………10分

注：本题算法较多，请参照此标准给分.

（2010?本溪）25. 如图①，在直角坐标系中，点A 的坐标为(1，0)，以OA 为边在第一象限内作正方形OABC ，点D 是x 轴正半轴上一动点(OD ＞1),连结BD ，以BD 为边在第一象限内作正方形DBFE ，设M 为正方形DBFE 的中心，直线MA 交y 轴于点N ．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形． (1) 试找出图1中的一个损矩形．

(2) 试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上．

(3) 随着点D 位置的变化，点N 的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N 的坐标；若发生变化，请说明理由．

(4) 在图②中，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，连结DN ，若四边形DMGN 为损矩形，求D 点坐标．

①

②

（第25题）

(2010?山东省潍坊市)23．（本题满分11分）如图，已知正方形O A B C 在直角坐标系xOy 中，点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点O 在坐标原点.等腰直角三角板O EF 的直角顶点

O 在原点，E F 、分别在O A O C 、上，且4 2.O A O E ==，将三角板O EF 绕O 点逆时针

旋转至11O

E F 的位置，连结11.C F AE ， （1）求证：11.O AE O C F △≌△

E

（2）若三角板O EF 绕O 点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得.O E C F ∥若存在，请求出此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）证明：∵四边形O A B C 为正方形，∴O C O A =， ∵三角板O EF 是等腰直角三角形，∴11OE OF =

又三角板O EF 绕O 点逆时针旋转至11O E F 的位置时，11AOE COF ∠=∠

∴11.O AE O C F △≌△ ································································································· 3分 （2）存在. ···················································································································· 4分 ∵O E O F ⊥，

∴过点F 与O E 平行的直线有且只有一条，并与O F 垂直，

又当三角板O EF 绕O 点逆时针旋转一周时，则点F 在以O 为圆心，以O F 为半径的圆上， ······················································································5分 ∴过点F 与O F 垂直的直线必是圆O 的切线，又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为

1C F 和2C F ，

此时，E 点分别在1E 点和2E 点，满足

1122C F O E C F O E ∥，∥，····························································································· 7分

当切点1F 在第二象限时，点1E 在第一象限， 在直角三角形1C F O 中，142O C O F ==，，

111cos 2O F C O F O C

∠=

=，

∴160C O F ∠=°，∴160AO E ∠=°

∴点1E 的横坐标为：1

2cos 601E x ==°，

点1E

的纵坐标为：12sin 60E y ==

° ∴点1E

的坐标为(1． ······························································································ 9分 当切点2F 在第一象限时，点2E 在第四象限， 同理可求：点2E

的坐标为(

1.-

，

综上所述，三角板O EF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得O E C F ∥，此时点E

的坐标为(11E

或(

21.E -， ·

············································································· 11分

(2010?重庆市潼南县)10．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是（ B ）

（2010?无锡）26．（本题满分10分）

（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点,P 是BC

延长线上一点，N 是∠

DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ．

G

H E

(F)

A

B

C

D 题图

10

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，

AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB

=∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN

= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）26．解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°,

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵

,

,

=C M N,

A E M M C N

A E M C

E A M

∠=∠

=

∠∠

?

?

?

?

?

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE=MC，连接ME

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN M

N

P

D

C

E

B

A

图1