北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

数学九年级上册知识点总结

第一章特殊的平行四边形复习

中考考点综述：?

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是历年中考的必考内容之一,主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学,使学生逐步学会分别从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法。

重难点:

1.矩形、菱形性质及判定的应用

2.相关知识的综合应用

知识点归纳

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；(２）一一个角是直角.

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角;

性质２矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法１:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件:（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法２:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cｍ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2:菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )

A．对角线互相平分; B.四条边都相等； C.对角相等; D.邻角互补

例3：已知：如图，□ＡBＣD各角的平分线分别相交于点E,Ｆ,G，?H,

?求证：?四边形EFGH是矩形.

二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1)是平行四边形；(２)一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角;

菱形的判定

菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件：(1）是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直．菱形判定方法２：四边都相等的四边形是菱形.

例1已知:如图,四边形AＢCD是菱形,F是ＡB上一点,ＤF交AC于E.

求证：∠AＦD=∠CBE．

例２已知:如图A ＢCD 的对角线ＡC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形A ＦCE 是菱形．

例3、如图,在 Ａ

ＢCD 中,Ｏ是对角线AC 的中点，过点Ｏ作AC 的垂线与边AD 、B Ｃ分别交

于E 、Ｆ，求证：四边形ＡFCE 是菱形.

例４、已知如图，菱形A ＢCD 中，E 是ＢC 上一点,AE 、BD 交于Ｍ， 若AB=AE,∠EAD ＝2∠B ＡE 。求证：AM=BE 。

例５． (１0湖南益阳)如图,在菱形ABCD 中,∠A =６0°,AB =4，O 为对角线ＢD 的中点,过O 点作ＯE ⊥AB ,垂足为E ． (1)求线段BE 的长.

例6、（20１1四川自贡)如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥ＡB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交

ＢC 的延长线于F 。请你猜想DE 与ＤＦ的大小有什么关系？并证明你的猜想

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

D B O

60

例7、（201１山东烟台)

如图，菱形ABCD的边长为2,ＢD=2,Ｅ、Ｆ分别是边ＡD,ＣD上的两个动点,且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BＤE≌△BCF；

(2）判断△BＥF的形状，并说明理由;

(3)设△BEＦ的面积为S,求S的取值范围.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)

②有一个角是直角的平行四边形(矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等

．．．．．．．的平行四边形

．．．．．叫做正方形．

．．．．．．并且有一个角是直角

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴;

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:

边:对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角;

对角线：对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法:

?（1)有一个角是直角的菱形是正方形；

?(２）有一组邻边相等的矩形是正方形．

?注意：1、正方形概念的三个要点:

?(１）是平行四边形;

? (2)有一个角是直角； ? (３）有一组邻边相等.

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD 中,对角线的交点为O,E 是O Ｂ上的

一点，ＤＧ⊥AE 于G ，DG 交OA 于Ｆ． 求证：ＯE=ＯＦ．

例2 已知:如图，四边形A ＢCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l ２，作BM ⊥l 1于M,ＤN ⊥ｌ

1于

N,直线MB 、DN 分别交ｌ2于Q 、P 点. 求证：四边形PQMN 是正方形．

例3、(２0１１海南）如图，P 是边长为１的正方形ABCD 对角线ＡC 上

一动点(Ｐ与A 、C 不重合)，点Ｅ在射线ＢC 上，且PE ＝PB . （1)求证：① PE ＝P Ｄ ; ② ＰE ⊥PD ； （2)设A Ｐ=x , △PB Ｅ的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围; ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

１.对角线互相垂直平分的四边形是( ）

Ａ.平行四边形、菱形 Ｂ.矩形、菱形??Ｃ．矩形、正方形 D .菱形、正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( ） A .等腰梯形? B .正方形??C .平行四边形? Ｄ.矩形

3．如图,已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时,它是菱形 B .当AC ⊥ＢＤ时，它是菱形

C .当∠ABC=90０

时，它是矩形 Ｄ．当A Ｃ=ＢD 时,它是正方形

４.如图，在ABC △中,点E D F ，，分别在边AB ,BC ，CA 上，且DE CA ∥,DF BA ∥.下列四

个判断中,不正确．．．的是( ) A.四边形AEDF 是平行四边形?Ｂ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形

C.如果AD 平分BAC ∠,那么四边形AEDF 是菱形

Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形

5.如图,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =,则AF 等于（ ）

C B A Ａ

Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ

Ａ．B

．? C

． D.8

6.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ,两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ,分别交

AD BC ，于E F ，点,连结CE ,则CDE △的周长为( ) A .5cm B ．8cm ? C ．9cm D ．１0ｃm

7.在右图的方格纸中有一个菱形A ＢＣＤ（A 、B 、C 、Ｄ四点均为格点）， 若方格纸中每个最小正方形的边长为1,则该菱形的面积为

８．如图,在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ,已知120 2.5AOD AB ∠==，，则AC 的长为 .

９.边长为5cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是 .

10.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ,若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是 (只填一个条件即可）．

1１.如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = ＢC ,则∠

A ＣP 度数是 . 1２.如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与A

B CD ，的延长线分别交于E F ，．

（1)求证:BOE DOF △≌△；

(2)当EF 与AC 满足什么关系时,以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

Ｂ Ｆ

Ｃ

Ｅ

Ｄ

Ａ

D A

B

C

D

A

B

D

A B O

B

C D A P

F

D O C B

E A 第12题图

1３.将两块全等的含3０°角的三角尺如图１摆放在一起，设较短直角边为1．

(1）四边形ＡＢC Ｄ是平行四边形吗?说出你的结论和理由：___＿__＿＿＿___＿_＿_＿__＿＿＿_＿．

(2)如图2,将R ｔ△B ＣD 沿射线BD 方向平移到Ｒｔ△B 1Ｃ1D 1的位置,四边形ABC １Ｄ1是平行四边形吗?说出你的结论和理由：_＿_＿_＿__＿＿＿___＿＿___＿＿__＿____＿___＿＿＿______． (3）在Rt △ＢCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为__＿__＿时，四边形ＡB Ｃ１D 1为矩形，其理由是＿_＿__________＿____＿__＿_＿_____＿＿_＿____；当点B 的移动距离为______时，四边形A ＢＣ１D １为菱形，其理由是______＿_＿___＿_＿＿___＿_＿_＿___＿___.(图3、图4用于探究）

应用探究：

1.如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若2

2.5DBC ∠=°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角（虚线也视为角的边）有( ） A ．6个 ? Ｂ．5个?? Ｃ．4个 ? Ｄ．3个

2.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点,则图中阴影部分的面积是( )

A ．310??Ｂ.13 ?Ｃ．25??D.4

9

3.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ )

Ａ． B. C.

Ｄ．

4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成6０°角重叠在一起(如图），则重叠四边形的面积为_＿＿____2

.cm

图4

C

A

D

B 图3

C

A

D

B 图2

D 1

C 1B 1

C

A

D

B 图1

30?

30?

B D

A

C

B C '

22.5

C B M

1

2

B A

D

C B

A

C

1 2

D 1

2

B

A

D C

D

5.如图，将矩形纸A ＢCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3厘米，EF=４厘米,则边ＡD 的长是_____＿_＿_＿_厘米.

6．如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上,四边形AEBF 是矩形.请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线(请保留画图痕迹）.

7.如图：矩形纸片ＡBC Ｄ,AB =2，点E 在ＢC 上，且A Ｅ=EC .若将纸片沿ＡE 折叠，点Ｂ恰好落在AC 上,则A Ｃ的长是 ．

第二章 一元二次方程?

一、一元二次方程

(一）一元二次方程定义

含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （二）一元二次方程的一般形式

)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式,

等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

例 方程2

2(2)(3)20m m x m x --+--=是一元二次方程,则____m =. 二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

A

B

F

E O

A

P

D

E

A B

C

D

E

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。当0≥b 时，b a x ±=+，

b a x ±-=;当b<0时，方程没有实数根。

例 第二象限内一点Ａ(x —１，x 2—２),关于x 轴的对称点为B ，且AB=6,则x ＝_＿＿＿

_＿___.

2、配方法 一般步骤:

（1） 方程)0(02≠=++a c bx ax 两边同时除以a,将二次项系数化为1. （2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。 （3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 （4） 配方,化成b a x =+2)(

（5)开方,当0≥b 时,b a x ±-=；当b<0时，方程没有实数根。 例 若方程()a x =-2

4有解，则a 的取值范围是（ ）.

A ．0≤a B.0≥a C.0>a D.无法确定 3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x

例 已知x 2＋4x －2=０，那么３x 2＋1２x ＋２０12的值为

4、因式分解法

一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。 例 已知一个三角形的两边长是方程ｘ2-8x+15=０的两根,则第三边y 的取值范围是（ ).

A ．y<8 Ｂ.3＜ｙ＜5 c ．２＜y<８ Ｄ.无法确定 补充：一元二次方程根的判别式 根的判别式

１、定义：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程

)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式。

2、性质:当ac b 42-＞０时，方程有两个不相等的实数根;当ac b 42-＝0时，方程

有两个相等的实数根；当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。

例 若关于x 的方程x 2 – 2 (a –1 )x = (b+2)2有两个相等的实根,则ａ2０1３+b 5的值 为 .

例 若关于x 的方程x 2 – 2x(k-ｘ）+6=０无实根，则k 可取的最小整数为( ）

（Ａ） - ５ （B) - 4 (Ｃ） - 3（D)- 2 补充：一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,那么a b x x -=+21，a c

x x =21。

第三章 概率的进一步认识

一、知识概括 1、频率

（1）在频率分布表里,落在各小组内的数据的个数叫做频数．．; (2)每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．

； 即：实验次数

频数

数据总数频数频率==

（3）在频率分布直方图中,由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率,而各组频率的和等于１。因此,各个小长方形的面积的和等于１。 2、概率的求法:

(１）一般地,如果在一次试验中，有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件A 发生的概率为P(A ）=n

m

(2）表格法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 (3）树状图法

通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 （当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）

例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色,一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ) (Ａ) “抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会 （B ) “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会 （C ） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会 (D ) “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会

1539