最新资料高三数学质量检测试题

山东师大附中2011届高三第七次质量检测

数学试题（文科）

1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后,将答题纸和答题卡一并交回.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的. 1．已知集合U={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则()

U C A B =（ ）

A. {1}

B. {2，4}

C. {2，3，4}

D. {1，2，3，4} 2．复数1i

z i

=

+在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努” 在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举 办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分 和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时， 发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计 算无误，则数字x 应该是（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 5. 函数()sin()f x A x ω?=+（其中π

0,||2

A ?><

）的图 象如图所示为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ）

A. 向右平移

π

12

个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度

C. 向左平移π

12

个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度

6. 已知函数2

()2f x x bx =+的图象在点(0,(0))A f 处的切线L 与直线30x y -+=平行，若数列1()f n ?

??

???

的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）

A. 2012 2011

B.

2010

2011

C.

2013

2012

D.

2011

2012

7. 已知2

()4

f x x x

=-，则(sin)

f x的最小值为（）

A. -5

B. -4

C. -3

D. 0

8. 设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x,y）满足

221

01

01

x y

x

y

?+≥

?

≤≤

?

?≤≤

?

，则OA OB

?取得最小值

时，点B的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 无数个

9. 某公司租地建仓库，每月土地占用费

1

y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费2

y与到车站的距离成正比，如果在距离车站12公里处建仓库，这两项费用

1

y和

2

y分别为3万元和12万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）

A. 5公里处

B. 6公里处

C. 7公里处

D. 8公里处

10. 设()

f x是定义在R上的奇函数，当0

x>时，()2

x

f x e

=-，则()

f x的零点个数是（）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

11. 设双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的离心率为2

e=，右焦点为(,0)

f c，方程

20

ax bx c

--=的两个实根分别为

1

x和

2

x，则点P（

1

x，

2

x）（）

A. 在圆228

x y

+=外 B. 在圆228

x y

+=上

C. 在圆228

x y

+=内 D. 不在圆228

x y

+=内

12.已知函数()

y f x

=的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数()

y f x

=的图象可能是（）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题纸的相应位置.

13．已知sin π 0()(-1)+1 >0

x x f x f x x ≤?=?

?，则5

()6f 的值

为 .

14．按右图所示的程序框图运算，则输出S 的值是 .

15. 如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在影阴部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出影阴部分的面积约为 . 16. 下列命题中：

①命题“2

R,0x x ?∈≥”的否定是“2

,0x R x ?∈≤”； ②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越强；

③若,//,//;n a m n m a ?则 ④ “2

5

a =

”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)70x a y a +-+-=相互垂直”的充要条件.其中真命题的序号是 .（请填上所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17. （本题满分12分）已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =

++

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最小值； （

Ⅱ

）

设

ABC

的内角

,,A B C

对边分别为

,,,3,()3,(sin ,1)a b c c f C m A ===-且若与

(2,sin )n B =垂直，求,a b 的值.

18. （本题满分12分）

为迎接建党90周年，某班开展了一次“党史知识 竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛 后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进 行统计，制成如右图的频率分布表： （Ⅰ）求,,,a b c d 的值； （Ⅱ）若得分在之间的有机会进入决赛， 已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名， 求获得一等奖的全部为女生的概率.

19. （本题满分12分）

如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且,PC PB F =是BP 的中点.

（Ⅰ）求证：CF//面APE ； （Ⅱ）求证：.PO ABCE ⊥面

20. （本题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项的和2

2n S n n =+，数列{}n b 是正项等比数列，且满足

1133112,()a b b a a b =-=.

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项的和.

21. （本题满分12分）

已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数2

3

()[2()]2

x g x x m f x '=+-在区间（a,3）上有最值，求实数m 的取值范围.

22.（本题满分14分）直线:(1)l y k x =-过已知椭圆22

22:1x y C a b

+=经过点（0，

离心率为

1

2

，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x=4上的射影依次为点D 、K 、E.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且,MA AF MB BF λμ==，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+的值是否为定值？若是，求出λμ+的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

文科参考答案

一、选择题

二、填空题

13. 1

2

14. 63 15.

15

2

16. ②④

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）

π

()2cos222sin(2)2

6

f x x x x

=++=++……………………2分

令πππππ

2π22π,ππ26236

k x k k x k -

+≤+≤+-+≤≤+得， ∴函数()f x 的单调递增区间为ππ

[π,π],z,36

k k k -++∈………………………4分

（Ⅱ）由题意可知，ππ1

()2sin(2)23,sin(2),662

f C C C =++=∴+=

πππ5π0π,2C+2C+,06666

C C <<∴===或即（舍）或π

3C =………………6分

(sin ,1)(2,sin )m A n B =-=与垂直，2sin sin 0,A B a b ∴-==即2…………8分

22222π

2cos

33

c a b ab a b ab =+-=+-=

②……………………………10分

由①②解得，1, 2.a b ==………………………………………………………………12分 18.（Ⅰ）25

500.15,0.5,5,0.150

a b c d =?==

===…………………………………4分 （Ⅱ）把得分在之间的五名学生分别计为“男甲，男乙，女甲，女乙，女丙”，则事

件“一等奖只有两名”包含的所有事件为（男甲，男乙），（男甲，女甲），（男甲，女

乙），（男甲，女丙），（男乙，女甲），（男乙，女乙），（男乙，女丙），（女甲，女

乙），

（女甲，女丙），（女乙，女丙），共10个基本事件，…………………………8分 事件“获得一等奖的全部为女生”包含的所有事件为（女甲，女乙），（女甲，女丙）， （女乙，女丙），共3个基本事件，……………………………………………10分 获得一等奖的全部为女生的概率3

10

P =

………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）取AB 中点G ，连接GF ，GC ，

//,,EC AB EC AB =∴四边形AECG 为平行四边形，

//,AE GC ∴………………………………………………………………………2分 在ABP 中，GF//AP…………………3分 又,GF GC G AE AP A ==

所以平面APE//平面FGC………………5分 又FC FGC ?平面

所以，CF//面APE……………………6分 （Ⅱ）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥ 取BC 的中点H ，连OH ，PH ， //,OH AB OH BC ∴∴⊥

因为,PB PC BC PH =∴⊥所以BC POH ⊥面

从而BC PO ⊥………………………………………………………………………10分 又BC 与PO 相交，可得PO ABCE ⊥面…………………………………………12分

20. 解（1）数列{}n a 前n 项的和2

2n S n n =+

121(N,2)n n n a S S n n n -∴=-=+∈≥……………………………………2分

又13,n a S ==

所以数列{}n a 的通项公式为*

21()n a n n N =+∈………………………………3分

因为数列{}n b 是正项等比数列，

311311311311,4,,224

b b a a a b a a =

=-=∴==-……………………………………4分 公比为

1

2

，……………………………………………………………………………5分 数列{}n b 的通项公式为*

13113()(N )222n n n b n -=?=?∈……………………………6分

（2）所以13(21)(),2

n

n c n =+设数列{}n c 的前n 项的和为n T

2113[35()22Tn =?+?+ (1)

(21)()]2

n n ++?

231113[3()5()222n T =?+?+…+111

(21)()(21)()]22

n n n n +-?-+? 231111(1)3{32[()()2222n T -=?+++…+111

()](21)()}22

n n n +-+?

21111()(1())111223{32[](21)()}122212n n n T n -+-=?+-+?-

1

15(615)()2

n n T n ∴=-+?…………………………………………………………12分

21. （Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1

()f x a x

'=-，……………………2分

当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1

(,)a

+∞；

当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；…………………………6分

（Ⅱ）23

32()[2()](),22

x m

g x x m f x x a x x '=+-=++- 2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-

()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，

又()0

(0)1(3)0

g a g g '

'>? …………………………………………………………9分

由题意知：对任意2

2

[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++?-=+-<恒成立，

21515,a m a a a -∴<=-因为[1,2]a ∈，所以192

m ∴<-，

对任意恒成立，32

3

m ∴>-

3219

32

m ∴-

<<-………………………………12分 22. 解：

（Ⅰ）易知1,2

c b e a ===因为222

a b c =+

2

2

4,1,a c ==∴椭圆C 的方程22

143

x y +=………………………………3分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在，设直线l 方程(1),y k x =-且l 与y 轴交于M （0，-1），设直线l 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y

由22(1)

14

3y k x x y =-???+=??得2222(34)84120k x k x k +-+-=

22121222

8412,3434k k x x x x k k -∴+=?=++………………………………6分

又由1111,(,)(1,),MA AF x y x y λλ=∴=--

11,1x x λ∴=

-同理22

1x

x μ∴=-…………………………………………8分 12121212121228

111()3

x x x x x x x x x x x x λμ+-?∴+=

+==----++? 所以当直线l 的倾斜角变化时，λμ+的值为定值8

3

-；…………………………10分 （Ⅲ）当直线l 斜率不存在时，直线l X ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与

BD 相交FK 的中点5,0,2

N ??? ?

?

猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点5,02

N ??? ?

?……………11分 证明：由（Ⅱ）知1122(,),(,)A x y B x y ，12(4,),(4,)D y E y ∴ 当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点5,0,2

N ??? ?

?

21

21

:(4)4AE y y l y y x x --=

?--

当52x =

时，21122121132(4)3()422(4)

y y x y y y y y x x --?--??=+?-=? --?? 12211221112(4)(1)3()2(4)(1)3()

2(4)2(4)x k x k x x x k x k x x x x -?----?---=

=--

21211825()

02(4)

k kx x k x x x --++=

=-

∴点5,02N ??? ??在直线AE l 上，同理可证，点5,02N ??

? ?

?也在直线BD l 上；

∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02??

? ?

?……………………