(专题精选)初中数学三角形真题汇编含答案
（专题精选）初中数学三角形真题汇编含答案
一、选择题
1．如图，在ABC V 中，90C ∠=?，60CAB ∠=?，按以下步骤作图：
①分别以A ，B 为圆心，以大于12
AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2
C ．43
D ．8 【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．
【详解】
由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，
∴AE ＝BE ，
∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，
∴∠CBA ＝30°，
∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝
12
AE ＝4， ∴AE ＝8．
故选D ．
【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°是解题关键．
2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6
B ．8
C 5
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】
设∠A＝x，
则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，
此三角形为直角三角形，
故AB＝2BC＝2×4＝8cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.
3．如图，在?ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）
A．33°B．34°C．35°D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是
A．60 B．48 C．24 D．96
【答案】D
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，
∴AO＝22100368
AB OB
-=-=，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝1216
2
?
＝96，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）
A．B．C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
A 、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A 不正确；
B 、72+242=252，152+202≠242，故B 不正确；
C 、72+242=252，152+202=252，故C 正确；
D 、72+202≠252，242+152≠252，故D 不正确，
故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．
6．如图，在ABC ?中，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，20DAE ∠=o ，则BAC ∠的度数为( )
A ．70o
B ．80o
C ．90o
D ．100o
【答案】D
【解析】
【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角，根据三角形内角和定理求解.
【详解】
如图所示：
∵DM 是线段AB 的垂直平分线，
∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,
同理可得：C EAC ∠=∠ ,
∵ 20DAE ∠=o ，180B DAB C EAC DAE ?∠+∠+∠+∠+∠=，
∴80DAB EAC ?∠+∠=
∴100BAC ?∠=
故选：D
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
7．（11·十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
解：根据图示可以得出：
①根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；
②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；
根据第二个出水口的出水量为：[（
21+21）÷2+41]÷2+81=21， 第4个出水口的出水量为：[（
21+21）÷2+41]÷2+81=21， 故此选项正确；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；
根据第一个出水口的出水量为：
81，第二个出水口的出水量为：[（21+21）÷2+41]÷2+81=2
1， 第三个出水口的出水量为：
83+83=43， ∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；故此选项正确；
④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．
∵1号与5号出水量为
8
1，此处三角形材料损耗速度最慢，第一次分流后的水量为1（即净化塔最上面一个等腰直角三角形两直角边的水量为1），
∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快， 故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．
故此选项正确；
故正确的有3个．
故选：C ．
此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．
8．如图11-3-1，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ）
A ．∠ADE=20°
B ．∠ADE=30°
C ．∠ADE=12∠ADC
D ．∠ADE=13
∠ADC 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 设∠ADE=x ，∠ADC=y ，由题意可得，
∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，
由①×3-②可得3x-y=0，
所以13
x y
，即∠ADE=13∠ADC ． 故答案选D ．
考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )
A ．4
B ．8
C ．6
D ．10
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 解：设AG 与BF 交点为O ，∵AB=AF ，AG 平分∠BAD ，AO=AO ，∴可证△ABO ≌△AFO ，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90o，AB=5，∴AO=4，∵AF ∥BE ，∴可证△AOF ≌△EOB ，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ．
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
10．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=?==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）
A ．55
B ．5
C ．35
D ．25【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
如图1，
在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=55，
连接BE，
∵BD是圆的直径，
∴∠BED=90°=∠CBA，
∵∠BAC=∠EDB，
∴△ABC∽△DEB，
∴AB AC DE DB
＝，
∴5
3
55
DB ＝，
∴DB=35，
在Rt△ABD中，AD=2225
BD AB
-=，
故选：D．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )
A．30°B．45°C．36°D．72°
【答案】A
【解析】
∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，
∴∠A=36°.
故选A.
12．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在AD
CD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
【答案】B
【解析】
【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE 2EH 2EF ，EF 2AE ，即可得到结论． 【详解】
解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，
∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，
∵四边形EFGH 为正方形，
∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，
∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，
∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，
∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，
∴AF ＝EF ＝22
AE ， 同理可得：DH ＝DE ＝
22EH 又∵EH ＝EF ，
∴DE ＝22EF ＝22×22
AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，
∴DE ＝2，AE ＝4，
∴EH ＝2DE ＝22，
∴EFGH 的面积为EH 2＝（22）2＝8，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．
13．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别
交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.
【详解】
题干中作图方法是构造角平分线，①正确；
∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=30°
∴∠ADC=60°，②正确
∵∠DAB=∠B=30°
∴△ADB 是等腰三角形
∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确
在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a
在△ADB 中，DB=AD=2a
∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22
BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
14．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=?，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）
A ．130?
B ．120?
C ．110?
D ．100?
【答案】A
【解析】
【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ACD ＝∠ACB ＝12
∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，
∴FB=FC ，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故选：A ．
【点睛】
此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A ．2，3，4
B ．3，4，6
C ．5，12，13
D ．2，5，5
【答案】C
【解析】
【分析】
要验证是否可以组成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可，分别验证四个选项即可得到答案．
【详解】
A ．222234+≠，故不能组成直角三角形；
B. 222346+≠，故不能组成直角三角形；
C ．22251213+=，故可以组成直角三角形；
D ．222255+≠，故不能组成直角三角形；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形），掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．20°
D ．15°
【答案】B
【解析】 试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3)，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA ＋PC 的最小值为( )
A ．132
B ．312
C ．192
D ．7
【答案】B
【解析】
如图，作点A 关于OB 的对称点点D ，连接CD 交OB 于点P ，此时PA ＋PC 最小，作DN ⊥x 轴交于点N ，
∵B（3，3），∴OA=3，AB=3，∴OB=23，∴∠BOA=30°，
∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，
∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN=3
3
2
，
∴CN=3－1
2
－1.5=1，
∴CD2=CN2+DN2=12+（3
3
2
）2=
31
4
，∴CD=
31
.
故选B.
点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.
18．如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论：
①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是()
A．①②B．②③C．③④D．只有④
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB；
所以△ABD≌△ACE(SSS)；
所以∠C＝∠B，∠D＝∠E，∠EAC=∠DAB；
所以∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC；
得∠EAD=∠CAB．
所以错误的结论是④，
故选D．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定方法，根据已知条件利用SSS证明两个三角形全等，还考查
了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等．
19．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a 的范围是（ ）