高等流体力学习题
第一讲绪论
习题：
1.综述流体力学研究方法及其优缺点。
2.试证明下列各式：
(1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ)
(2) grad(φψ)=ψgrad(φ)+φgrad(ψ)
(3)设r= x i+y j+ z k，则=
(4) 设r= x i+y j+ z k，求div(r)=？
(5) 设r= x i+y j+ z k，则div(r4r)= ?
3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数和，求该点处的grad f 第二讲应力张量及应变张量
例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动
，，
式中k为常数，且k=u0/b。
解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得
再由式(2-18)可得
所以II=k0
流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。
第三讲流体的微分方程
习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。
第四讲流动的积分方程
【例3－1】
在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求:
(1)流线1-2的偏移量C的表达式；
(2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。
解：
(1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为：
求得C=a/2
(2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为
则，F=-R
【例3－2】试求如图所示的射流对曲面的作用力。
解：假设水平射流的流量为Q，因曲面对称且正迎着射流，则两股流量可以认为相等，等于Q/2。x方向动量方程为
。
所以，射流对壁面的作用力为
。
射流冲击力的分析是冲击式水轮机转动的理论基础。从上式可知：当θ=90°时，R=ρQv；当θ=180°时，R=2ρQv，曲面所受冲击力最大。
【例3－3】某涡轮喷气发动机，空气进入压气机时的温度T l=290K，经压气机压缩后，出口温度上升至T2=450K，如图所示。假设压气机迸出口的空气流速近似相等，如果通过压气机的空气流量为13.2lkg/s，求带动压气机所需的功率(设空气比热容为常数)。
解：在压气饥中，外界并未向气体加入热量，气体向外界散出的热量也可以忽略不计，故空气通过压气饥可近似地认为是绝热过程，即q=0。又因v1≈v2，故由式(3－16)，有
。
将已知数据代入上式，得
，
即压气机每压缩1kg空气需授功160.8kJ，负号表示外界对气体作功。带动压气机所需功率为
。
积分方程的综合应用
【作业】两股不同流速、密度均为ρ且压力相同的不可压缩流体流入一段水平圆管，混合后速度、压力均匀分布，如下图所示。一股流速为V、面积为A/2，另一股流速为2V、面积为A/2，若不计摩擦，流动定常且绝热。试求水头损失及局部阻力系数，并证明单位时间内机械能损失为3ρAV3/16。
解：由质量守恒知，管道进出口流量相等：，知：
得到出口流速
在进出口截面上应用动量定理，解出进出口压力差值
进出口处单位重量液体所具有的机械能分别为
水头损失则为：
局部阻力系数则为：
第五讲流体静力学
三、静压流场的质量力条件
对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得
上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之
=
==0（矢量）
将上式与（3-4）式进行点乘则有
上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得
（3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足。（此式自然成立啊，为什么还要证明呢？）
对于不可压缩流体，由于密度为常数，则平衡方程（3-4）式可写成
（3-7）对上式两端取旋度则有
=0（3-8）这是不可压缩流体静止时对质量力所附加的限制条件，即质量力必须无旋。（矢量场的四等价定理：无旋必有势；有势必无旋；环量为零；线积分与路径无关。）
【证明】设质量力f=X i+Y j+Z k所代表的质量力场中，若存在标量函数U满足
或
则称之为质量的势函数，其中的负号表示质量力做正功时质量力的是函数减小。
在静止流场中任取一个微元矢量力d r=d x i+d y j+d z k，
由于d r是任意的微元矢量，所以有
将其代入（3-4）式可得
上式表明等压面方程=0与等势面=0等价。【证毕】
习题：
1. 试证明等压面是不相容流体间的分界面。
2. 试证明等压面是等密度面。
第6讲实验流体力学基础
例5－1假设声速与气流的压力、密度和粘度有关，试用瑞利法推导声速公式。
解：分析物理现象，找出相关的物理量。设声速c与气体的压力p，密度ρ和粘度μ有关，先假定
，
式中k为无量纲系数。
写出量纲方程。上式的量纲方程为
或
，
利用量纲和谐原理建立关于指数的代数方程组，解出指数。由量纲和谐原理可知，上式两端同名基本量纲的指数应相同，所以有
。
解之可得x=1/2，y=-1/2，z=0。将其回代到假设的物理方程中，整理可得
或。
对完全气体有p=ρRT，所以声速公式为
。
例5－2有一直径为D的圆盘，沉没在密度为ρ的液池中，圆盘正好沉于深度为H的池底，用瑞利法建立液体作用于圆盘面上的总压力P=kρghD2，式中k为无量纲数。
例5－3已知流体在圆管中流动时的压差△p与下列因素有关：管道长度l，管道直径d，动力粘度系数μ，液体密度ρ，流速v，管壁粗糙度△。试用π定理建立水头损失h w的计算公式。
解：这一流动现象所涉及的各物理量可写成如下的函数形式
。
选取流体的密度ρ，流速v和管径d为基本量，它们的量纲公式为
，，及，
它们量纲指数行列式为
说明这三个量的量纲是独立的，可以作为基本量。
现在便可以用其它的4个量与这三个基本量组成四个无量纲量了。
，
由于π1为无量纲量，则有
或
，
量纲指数构成的代数方程为
。