数学分析题库 填空题
一 填空题（每题4分）
第十章 多元函数微分学
1、函数arcsin()x y 22+的定义域为???????。
2、函数z xy =arcsin 在点（1，
13
）沿x 轴正向的方向导数是———。
3、设f x y x y (,)sin cos =2，则f x (
,)ππ2
= ———。
4、设函数z z x y =(,)由方程232614640222x y z xy x y z -++--++=确定，则函数z 的驻点是______。
5、函数z x y xy
=+-arctan
1在点（－1，2）沿{}
a =-13,方向的方向导数是——。
6、设u xy y x
=+
，则??u y
= ———。
7、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则
d d y x
= ———。
8、设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ———。 9、设函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()
2
22
所确定，则
??z x
= ———。 10
、
设
函
数
F u v w (,,)
具有一阶连
续
偏
导
数
，
且
F F F u v w (,,),(,,),(,,)336333623361--=--=---=，曲面F x xy xyz (,,)=0过点
P (,,)312-，则曲面过点P 的法线与yz 平面的交角为_______。
11、函数z x y =+ln()的定义域为???????。
12、设u x y z
=?? ??
?
1/，则
??u z
(,,)
111= ———。
13、曲线x y z x 2220
2-+==???
在点（2，3，5）处的切线与z 轴正向所成的倾角为———。
14、设z xye
x y
=+，则d z = ———。
15、设f x y x y
(,)=+2
2
，则d f = ———。 16、函数u z x y
=+arcsin
2
2
的定义域为???????。
17、设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点(,,)-241到S 的距离d =______。
18、设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点P (,,)123-，且
F P F P F P x y z (),(),()===-432，则曲面F x y z (,,)=0在点P 的切平面方程为______。
19、若f x y e y x x (,)cos()=--2，则),(2 x x f x = ———。
20、曲线x t e y te z e t t t ===2222,,在对应于t =1点处的切线与yz 平面的夹角正弦
sin ?=_____。
21、设z e y e
y x x
=+-sin cos ，则????2
22
2
z x
z y
+
= ———。
22、设z x cy =-sin()，则z c z yy xx -2
= ———。 23、设f x y xye x
y (,)()
=--2
，则),(2
x x f x = ———。
24、若函数z x y xy ax by c =+++++22322在点(,)-23处取得极小值－3，则常数a b c ,,之积abc =______。
25、设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是______。
26、设u xy y x
=+
，则
??2
2
u x
= ———。
27、曲线x t y t z t ===sin ,cos ,42
在对应于t =
π2
点处的法平面方程是______。
28、设函数z z x y =(,)由方程sin x y z e z
+-=2所确定，则
??z x
= ———。
29、设函数z z x y =(,)由方程z x y y z =--?(,)所确定，其中?(,)u v 有一阶连续偏导数，则{}
a =11,= ———。
30、曲线x y z x y z ++-=+-+=???30
90
332
在点(,,)-223处的切线的标准式方程为______。 31、设f x y x y x y
(,)()arcsin
=+-1，则)1,(
x f x = ———。
32、设u x xy =ln ，则
???2
u x y
= ———。
33、函数y y x x x y
=
-+
--ln 12
2
的定义域为???????。
34、曲线z x y x 22221=++=???()
在点（1，2，7）处的切线对y 轴的斜率为——。
35、设z xf x y f x y =(,),(,)具有二阶连续偏导数，
??f
y
(,)
012=，
则???2
01z x y
(,)
= ———。
36、若曲线x y z x y z 22222
23
--=++=???在点(,,)110-处的切向量与y 轴正向成钝角，则它与x 轴正向夹角的余弦cos α=_______。
37、设u x y x y =+-4
4
2
2
4，则
???2
u x y
= ———。
38、设函数F u v (,)具有一阶连续偏导数，且F F u v (,),(,)264262-=-=，则曲面F x y z xyz (,)++=0在点(,,)321-处的切平面方程为_______。
39、设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处可微，则点(,)x y 00是函数z 的极值点的必要条件为________________________。
40、设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点M (,,)210-，且F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量n ，已知
n 与x 轴正向的夹角为钝角，则n 与z 轴正向的夹角γ=______。
41、若f x y x y x y (,)()sin =+-，则f x x x '(,)= ———。 42、极限lim
arctan()
x y x y x y
→→++1
3
3
= ???????。
43、曲线230
20
234
x y z x y z +-=-+=???在点(,,)-111处的切线与平面x y z +-=2夹角的正弦s in ?=______。
44、设x r y r ==cos ,sin θθ，则二阶行列式????θ????θ
x r
x
y
r
y =———。 45、设u x y x y x y
(,)=
+-，则d u = ———。
46、曲面x y z 22450+-+=垂直于直线x y z -=
-=12
12
的切平面方程是
___________。
47、设f x y xy
x y xy xy (,)sin()=≠=???
??100
2
，则f x (,)01= ———。
48、函数z x xy y x y =+-+-+2246812的驻点是______。 49、函数z y x
=-arctan
1的定义域为???????。
50、若f x y y x x x y (,)sin()=++-2，则f x x x '(,)= ———。
1、x y 221+≤
2、
122
3、2
4、（2，1）
5、
-11010
6、x x
+1 7、
22
xy e
x
y
-
8、1111
22
x x y x y x y y --?? ???++-?? ??
?cosh ()d cosh ()d 9、-++-++-++12122
2
2
2
2
2
xe ze
x y z x y z ()()
10、
π
3
11、x y +≥1
12、0 13、arctan
53
14、[]e
y x x x y y x y
++
++()d ()d 11
15、
2
2
d d y
x y y x x ++
16、-+≤≤+()x y z x y 2222，且x y 220+≠ 17、2
18、43280x y z +-+= 19、--e x
20、429
21、0 22、0 23、x x 242- 24、30 25、
)
()(),(),(000000000
y g z z y y y g z y f z y f x x z y '-=
-='+-
26、23
y x
27、04
143
=+-π
πz y
28、
cos x e
z
1+
29、
??12
1+
30、x y z +=
--=
-22
1
30
31、1 32、
1y
33、y x x x y
≥>+<,,0122
34、
27
35、2 36、-
241
37、-16xy
38、54140y z -+=
39、点(,)x y 00是函数z 的驻点（或z x y x (,)000=，且z x y y (,)000=） 40、
π3
41、1-sinx
42、arctan 14
=π
43、
13
44、r
45、
22
(d d )
()
-+-y x x y x y
46、2210x y z +++= 47、1 48、（1，－2）
49、10->x 或x <1 50、3x
第十一章 隐函数求导
1、设函数F x y z (,,)具有一阶连续偏导数，曲面F x y z (,,)=0过点P (,,)--134，且F P F P F P x y z (),(),()=-==3231，则曲面F x y z (,,)=0在点P 的法线与zx 平面的
夹角是______。
2、设函数z z x y =(,)由方程
x y z +
+
=1所确定，则全微分d z = ———。
3、曲线z x y x =-+=???31
22()
在点（1，1，1）处的切线与y 轴正向所成的倾角为———。
4、曲面sin()cos()sin()x y y z z x +++--=+
+232322
2
在点(
,,)πππ
646
-处的切平面方程是______。
5、曲面352222
x y z +-=在点(,,)113处的法线方程为_______。 6、曲面arctan
y xz
14
+=
π在点(,,)-210处的切平面方程是______。
7、曲线x t y t z t ===
2
3
21
3,,在点(,,)1213
处的切线方程是_______。
8、曲面xe y e z e e
y z x ++=
+223321在点(,,)210-处的法线方程为_______。
9、设f x y e g y cx (,)()=满足方程f f x y +=0，其中g y ()是可导函数，c 是常数， 则g y ()= ——。 10、设u x
x y
=
+2
2
，则在极坐标下，
??θ
u = ———。
11、曲线xyz y ==-???3
2
在点（
32
，2，
-62
）处的切线与x 轴正向所成的倾角为———。
12、若(,,)x y z 000是曲面F x y z (,,)=0上的一点，且在这一点处有F F F x y z ===424,，则曲面在这一点处的切平面与xy 平面所成的二面角是_____。
13、曲面323
04xy
z xyz ++=在点(,,)
211
2
-处的切平面方程是
________________________。
14、由方程c o s c o s c o s 2221x y z ++=所确定的函数z z x y =(,)的全微分d z = ———。
答案：
1、
π3
2、-+()z x
dx z y
dy
3、π－ arctan2
4、π)4
23
2(23)22(+=--+z y x
5、
x y z -=
-=--1
31
531
6、y z +=21
7、
x y z -=
-=-12
2213
8、e
z e
y x 22212=-+=-
9、c e
cy
1-
10、-sin θ
11、π4
12、
π6
13、3ln 218)3ln 412()3ln 26()3ln 3(+=-++-+z y x 14、-+sin sin sin 222xdx ydy
z
第十二章 反常积分
1、________________1
p x
dx p
收敛，则必有
若广义积分?
2、__________________
11
2
=-?
x
dx
3、__________________1 n x dx n
收敛，则自然数若广义积分?
+∞
4、___________________1
0 p x
dx p 发散，则必有若广义积分?
5、________
__________
1
q x
dx q
发散，则必有
若广义积分?
+∞
6、________________11
=-?
x
dx 广义积分
7、_______________________0
2
=?
+∞
-dx xe
x
广义积分
答案： 1、<1
2、π2
3、>1
4、p ≥1
5、≤1
6、2
7、12
第十三章 重积分
1、设D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2(1－x ),由二重积分的几何意义知
=__________.
2、若f(x,y)在关于y轴对称的有界闭区域D上连续，且f(－x,y)=－f(x,y)，则
d x d y=__________.
3、二次积分f(x,y)d y在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________.
4、若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知
=___________.
5、根据二重积分的几何意义=___________. 其中D：x2+y2≤1.
6、设积分区域D的面积为S，则
7、设则I=________________。
8、设，根据二重积分几何意义，
9、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.
10、设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在D上连续，则薄片的质量m=__________________.
11、设，由二重积分几何意义知
=__________.
12、设D：0≤x≤a,－a≤y≤a,当n为奇数时
13、设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为______________.
14、根据二重积分的几何意义
其中D：x2+y2≤4,x≥0,y≥0.
15、设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_________________.
16、设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4则在极坐标系下先对r积分的二次积分为_____________.
17、设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为___________.
18、设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则_________.
19、设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分
20、根据二重积分的几何意义其中D：x2+y2≤a2,y≥0,a＞0.
21、设D：x2+y2≤a2,y≥0,当m为奇数时，
答案：
1、
2、0.
3、
4、
5、π
6、2S.
7、I=24
8、π
9、[f(xy)]2d x d y.
10、μ(x,y)dσ(或μ(x,y)d x d y).
πa3
11、
12、0.
13、d x f(x,y)d y.
14、
15、
16、
17、d y f(x,y)d x.
18、S.
19、0.
20、
21、0.
第十三章线面积分
1、设A =z i +2x 2j +3y 3
k ,则A (2，－1，3)=_______________. 2、若
是某二元函数的全微分，则m =_____
3、设∑是母线平行于oz 轴的柱面的部分，它的底是位于xoy 平面上的光滑曲线L ，它的高z 是x , y 的非负函数z =f (x ,y ),用曲线积分表示柱面∑的面积A =_______.
4、设L 为圆周0222=++y y x ，则=+?L
s x x y d )(54___________________。
5、设L 为xoy 面上有质量的曲线，在曲线L 上的点(x ,y )处的质量线密度为ρ(x ,y )。则这条曲线L 的质量的计算表达式为_______________.
6、向量场A ={x ,xy ,xyz }在点M (2，－1，2)处的旋度rot A ｜M =_________.
7、设L 由y =x 2
及y =1所围成的区域D 的正向边界，则
8、设函数f (x ,x +y ,xz )对各变元具有一阶连续偏导数，则grad f =________.
9、设函数u (x ,y ,z )和v (x ,y ,z )都具有一阶连续偏导数，则点(x ,y ,z )处u =u (x ,y ,z )在v =v (x ,y ,z )的梯度方向上的方向导数取最大值的条件是_____________.
10、设有平面向量场A =2xy i +(x 2
+3x )j ,则它沿正方形|x |+|y |=1正向的环流量为_________.
11、设∑是xoy 面上的闭区域
的上侧，则(x +y +z )d y d z =__________.
12、设C 为一条由点A (x 1，y 1)到B (x 2，y 2)的光滑曲线弧。若在曲线段C 上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标的平方，则这段曲线的质量的计算公式M =______________。
13、设有一力场，其场力的大小与作用点到Z 轴的距离成反比，方向垂直于Z 轴并指向Z 轴。若某质点沿着一条光滑曲线C 从点A 移动到点B ，则此时场力所作的功的计算表达式为_______________.
14、设向量场A =P (y ,z )i +Q (z ,x )j +R (x ,y )k ,则div A =___________. 15、已知L 为自原点至点A (2，2)的圆弧，则
16、设
是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分
_______.
17、设u =2x +3xy +4xyz ,则函数u 在点(1，－1，2)处的梯度是__________.
18、向量场A ={x ,xy ,xyz }在点(x ,y ,z )处的散度div A =________. 19、设C 为正向圆周x 2
+y 2
=a 2
,则
20、力
构成力场，(y >0)若已知质点在此力场内运动时场力所做
的功与路径无关，则m =________.
21、设有一圆柱面∑：x 2+y 2=R 2,(0≤z ≤R ).其法向量n 指向外侧，则向量场A =｛x 2,y 2,z 2｝穿过∑指定侧的通量为_________.
22、设C 为平面上从点A (x 1,y 1)到点B (x 2,y 2)的有向曲线弧，函数f (x )是连续函数，则
23、已知d z =(x 2
+2xy －y 2
)d x +(x 2－2xy －y 2)d y ，则函数Z =Z (x ,y )=____________.
24、设L 为曲线y 2
=x 上从点(0，0)到点(1，1)的一段，则曲线积分
25、设是由A (－2，3)沿y =x 2－1到点M (1，0)，再沿y =2(x －1)到B (2，2)的路径，
则
________.
26、向量场A =3y i －2z j +x k 在点(x ,y ,z )处的旋度rot A =___________.
27、设∑是柱面x 2+y 2
=9的介于平面z =0及z =2间的部分曲面的外侧，则
=_________.
28、设向量场A =(z 3
+xy )i +(y 3
+2yz )j +(x 3
+3zx )k ,则A 的旋度rot A =__________. 29、已知L 是平面上从原点到点(2，1)的直线段，则
30、设f (x ,y )在具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周
的顺时针方向，
则的值等于 ________________.
1、A (2,－1,3)=3i +8j －3k .
2、1
3、()?=L
ds y x f A ,
4、0
5、
6、{4,2,－1}
7、0
8、{f 1+f 2+zf 3,f 2,xf 3}.
9、grad u 与grad v 同方向。 10、6 11、0 12、
13、?++-c
y
x ydy xdx k 2
2
14、0 15、
3
4
16、0
17、k j i 4119-+- 18、1+x +xy
19、
20、1- 21、0. 22、
23、
24、
30
17
25、10 26、{2,－1,－3}
27、0。
28、{－2y ,3z 2－3x 2－3z ,－x }. 29、
)2cos 22(sin 4
5-
30、6π
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
数学分析试题库--证明题
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0<
数学分析试题库--选择题
数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.
高考数学选择填空题
选择题 1.（安徽）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A ．2 2 83C A B ．26 86C A C ．22 86C A D ．22 85C A 2.（北京）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ） 3.（福建）已知函数y =f (x )，y =g (x )的导函数的图象如图，那么y =f (x )，y =g (x )的图象可能是（ ） 4.（广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延 长线与CD 交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （ ） A ． 1142 +a b B ． 21 33 +a b C ． 11 24 +a b D ．1 233 + a b 5.（宁夏） 在该几何体的正视图中， 线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A ． B ．C ．4 D ．6.（湖北）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ) x A ． B ． C ． D ． A B C D M N P A 1 B 1 C 1 D 1
数学分析考题2
《数学分析》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
中考数学选择、填空题汇编
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在﹣1，﹣2，0，1这4个数中最小的一个是（） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1 2．如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（） A．B．C．D． 3．2015年我市全年房地产投资约为317亿元，这个数据用科学记数法表示为（） A．317×108B．3.17×1010C．3.17×1011D．3.17×1012 4．如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（） A．90°B．85°C．80°D．60° 5．下列运算正确的是（） A．a6÷a2=a3 B．（a2）3=a5 C．a2?a3=a6D．3a2﹣2a2=a2 6．已知一组数据：60，30，40，50，70，这组数据的平均数和中位数分别是（） A．60，50 B．50，60 C．50，50 D．60，60 7．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，a）、B（3，b），则a与b的关系正确的是（） A．a=b B．a=﹣b C．a＜b D．a＞b 8．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）
第8题第10题第11题第12题 A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC 9．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是（） A．39 B．36 C．35 D．34 10．如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB=30°，的长是（） A．12πB．6πC．5πD．4π 11．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是（） A．3﹣4 B．4﹣5 C．4﹣2D．5﹣2 12．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（）A．B．C．D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13．计算的结果是． 14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=度．
数学分析试题及答案解析
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；
B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113
2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 选择题的解题方法与技巧 题型特点概述 选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是： (1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一． (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力． 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断． 数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段． 解题方法例析 题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 例1 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)?f(x ＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99) 等于 ( C ) A ．13 B ．2 C.13 2 D.213 思维启迪: 先求f(x)的周期． 解析 ∵f (x ＋2)＝13 f (x )， ∴f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝13 13 f (x )＝f (x )． ∴函数f (x )为周期函数，且T ＝4. ∴f (99)＝f (4×24＋3)＝f (3)＝13f (1)＝13 2. 探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有 的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键． 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 综合小测1 一、选择题 1.函数y =2x +1的图象是 2.△ABC 中，cos A = 135，sin B =53 ,则cos C 的值为 A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N*，则可作出的l 的条数为 A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是 A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为 A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 9.设F 1，F 2是双曲线4 2 x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1 PF ·2PF =0，则|1 PF |·|2PF |的值等于 A.2 B.22 C.4 D.8 10.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N*)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为 A.31 B.40 C.31或40 D.71或80 11.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定 12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在 A.P 点 B.Q 点 C.R 点 D.S 点 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 二、填空题 13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________. 14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________. 15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________. 数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)2 1(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B.23 C. 32- D. 23 - 3．?=dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．???????>+=<=0 ) 1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义 五、计算题 1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5 311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 填空选择训练 1．现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那 么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线2 4y x x =-+上的概率为（ ） A ． 118 B ． 112 C ． 19 D ． 16 2．如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （20,53 - ），D 是AB 边上的一点．将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是____________． 3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°．∠ABC 、∠ACB 的角平分线分别交于AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ．以下四个结论：①1cos 2 BFE ∠=；②BC ＝BD ； ③EF ＝FD ；④BF ＝2DF ．其中结论一定正确的序号数是____________． 4．如图，M 为双曲线y ＝ x 1 上的一点，过点Ｍ作ｘ轴、ｙ轴的垂线，分别交直线ｙ＝－ｘ＋m 于D 、C 两点，若直线ｙ＝－ｘ＋m 与ｙ轴交于点Ａ，与ｘ轴相交于点B ．则AD ·BC 的值为 ． P A O B 第5题 5．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=?,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值范围是 A ．－1≤x ≤1 B ．2-≤x ≤2 C ．0≤x ≤2 D ．x ＞2 6．如图，45AOB ∠=o ，过OA 上到点O 的距离分别为1357911L ，，，，，，的点作OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S L ，，，，． 则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律， 第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ． 7.如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动， 则APM △的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 【 】 A. B. C. D. 8．如图，是反比例函数1k y x = 和2k y x =（12k k <）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ?=，则21k k -的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 第6题 D C B A P M 第7题 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在 三基小题训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中，cos A = 135 ，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 数学分析III 复习题 一、填空题 1.设函数?? ???=+≠++=,0,,0,0,),(22222 2y x y x y x xy y x f 则当00→→y x 及时),(y x f 的重 极限为 ，两个累次极限分别为 和 ． 2． ()() = -+++→11lim 2 2 2 20,0,y x y x y x ． 3． ()() ()= ++→220,0,1 sin lim y x y x y x ． 4. 设()y x e z x +=sin 则=dz ． 5．设 ()????? =+≠++=0,00,1sin ,22222 2y x y x y x xy y x f 则()=0,0df 6. 设3 2),,(yz xy z y x f +=，)1,1,2(0-P 则=)(0P gradf ． 7．设2 ),,(y xz z y x f +=，则 f 在点)1,1,1(0p 沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数 为 ． 8．曲面 x y z arctan =在点??? ??4,1,1π处的切平面方程 法线方程 9．方程02=+--z xy e z e 确定的隐函数的偏导数x z ??= ，=??y z 10. 函数()y x y x f =,在点()4,1处3阶泰勒公式中()2 1-x 项的系数为 ． 11．设,tan ,sin 3,2 3x v x u v u z ==+=则=dz 12．设()0,=--bz y az x ?，则= ??+??y z b x z a 13．()x F = ? +2 )()3(x dy y f y x 则()='x F 14．() ?+→3 020lim dx e x x ααα= 15．() ?+→1 20cos lim xdx x ααα= . 16． ()? ? 2 ln 0 ,e x dy y x f dx 交换积分次序得 17．π=??? ??Γ21，则=??? ??Γ27 = ??? ??+Γn 2 3高中数学选择填空答题技巧
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