江西省临川一中2019届高三考前模拟考试数学(理)试题 含解析

高三数学模拟试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{

}

2|48B y y x x ==++，则()U A B =e（ ）

A. []1,2

B. [)1,2

C. (]1,2

D. ()1,2

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出集合A 、B 的等价条件，结合集合交集、补集的定义进行计算即可． 【详解】解：(){}{

}{}

2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，

{

}()

{

}

2

248242B y y x x y y x ==++==

++≥，

则{}

2U B x x =

则(){

}

12U A B x x ?=<

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2.若复数()21a i

a R i

-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）

B. 13

C. 10

10

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。 【详解】由复数的运算法则有：

2(2)(1)221(1)(1)22

a i a i i a a

i i i i ++-+-==+++-,

复数

()21a i

a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=??

-≠?

， 即222,|3|313a ai a =--=+本题选择A 选项.

【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A. 45

B. 54

C. 57

D. 63

【答案】B 【解析】 【分析】

由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体得到的组合体.

【详解】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的 表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为26354S =?=． 故选：B ．

【点睛】本题考查了正方体的三视图，结构特征与表面积的计算问题，属于基础题．

4.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】C 【解析】 【分析】

根据对比图，对①②③分析计算即可. 【详解】根据对比图得：

2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误； 2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，138

0.9290%150

=>，③正确 故选：C ．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对比图的性质等基础知识，考查识图能力，属于基础题．

5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 1或

12

3 D. 3±

【答案】C 【解析】 【分析】

由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值.

【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故2

34q =

，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以3q = C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：

（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；

（2）公比1q ≠时，则有n

n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；

（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .

6.已知()4cos cos 3f x x x π??

=+

??

?

，则下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在,612ππ??

-

???

?上单调递减 C. 函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π?

?

=+

+ ??

?

图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 7,112π??

???

是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C 【解析】 【分析】

()f x 可化为()2cos 213f x x π?

?=++ ??

?，利用复合函数的讨论方法可求该函数的周期、对称中心、单调区间等，

利用图像变换可考虑它与函数cos 213y x π?

?

=+

+ ??

?

的图像变换关系. 【详解】()4cos cos 3f x x x π??

=+= ??

?2

2cos 322cos 213x x x π??-=++ ???

， 所以22

T π

π=

=，故A 正确； 当,612x ππ??∈-????

时，20,32x ππ??+∈????，因23t x π=+在,612ππ??-????为增函数，2cos 1y t =+在0,2π??

????上为减函数，故()f x 在,612ππ??

-

???

?上为减函数，故B 正确； 函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π?

?=++ ??

?图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而

函数cos 213y x π??

=+

+ ??

?图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π?

?=++ ???

的图象，故C 错误； 令2,3

2

x k k Z π

π

π+

=+

∈，当1k =时，712x π=

，故7,112π??

???

为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C.

【点睛】形如()2

2sin

sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为

()()'sin 2'f x A x B ω?=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心

等．

7.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()2

21y ax a x =+++相切，则a 的值为（ ）

A. 0

B. 0或8

C. 8

D. 1

【答案】C 【解析】 【分析】

求出曲线在点()1,1处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去y ，利用判别式为零可求a 的值. 【详解】1

1y x

'=+

，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，

()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++=

故2

80

a a a ≠??

-=? ，解得8a =，故选C. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线():C y f x =在()()

00,P x f x 处的切线方程为()()()000y f x x x f x '=-+.

8.设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1

x 和2x ，则点()12,P x x （ ）

A. 必在圆22

2x y +=内 B. 必在圆22

2x y +=上 C. 必在圆22

2x y +=外 D. 以上三种情形都有可能

【答案】A 【解析】

考点：椭圆的简单性质；点与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：由题意可求得c=12a ，b=32

a ，从而可求得x 1和x 2，利用韦达定理可求得x 12+x 22

的值，从而可判断点P 与圆x 2

+y 2

=2的关系．

解答：解：∵椭圆的

离心率e=

c a =1

2

， ∴c=

12a ，22a c -

32

a ， ∴ax 2

+bx-c=ax 2

3

ax-12a=0，

∵a≠0， ∴x 2x-1

2=0，又该方程两个实根分别为x 1和x 2， ∴x 1+x 2=-

2

，x 1x 2=-12，

∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=

3

4

+1＜2． ∴点P 在圆x 2+y 2=2的内部． 故选A ．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c ，b 与a 的关系是关键，属于中档题．

9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含

A 、

B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一

个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12

C. 16

D. 18

【答案】B

【解析】 【分析】

按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论.

【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22

326C A =安排种数， 如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12

326C A =安排种数，

综上，共有不同的安排种数为12，故选B.

【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误.

10.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ??= ???

，()0.2

2c f =，则（ ） A. a b c << B. b c a <<

C. c a b <<

D. b a c <<

【答案】D 【解析】 【分析】

把b 化成()5log 2f ，利用对数函数的性质可得351log 2log 20>>>，再利用指数函数的性质得到0.221>，最后根据()f x 的单调性可得,,a b c 的大小关系. 【详解】()1

55

1log log 22b f f ??

== ??

?

， 因为35log 2log 20>>且0.2

033221log 3log 2>==>，故

0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan

2

x

f x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.2

53log 2log 22

f f f <<即b a c <<，故选D.

【点睛】本题考查对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.

11.如图，1F 和2F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的

圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ?是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

55

D. 13+【答案】D 【解析】 解：，设F 1F 2=2c ， ∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 23，

÷2，e=2c ÷33， 故选D

12.在四面体P ABC -中，ABC ?为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A. 3 B. 2311

10

【答案】C 【解析】 【分析】

把四面体补成如图所示的三棱锥，其中3AD =，可以证明CB ⊥平面PBD 且PDC ?、PBD ?均为直角三角形，通过计算C PBD V -三棱锥可得P ABC V -三棱锥.

【详解】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ?为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=?-∠=?，故()1

180120302

ADB ∠=

?-?=?， 所以90ADB DCB ∠+∠=?即90DBC ∠=?，故CB DB ⊥，

因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥，

因DB

PB B =，DB ?平面PBD ，PB ?平面PBD ，

所以CB ⊥平面PBD ，

所以1

3

PBD P CBD C PBD V V CB S ?--==

??三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以111

3262

PBD PBD P ABC P CBD V V S S ??--==??=三棱锥三棱锥，

因为3DA AC AP ===，故PDC ?为直角三角形，

所以362511PD ==-

又33DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ?为直角三角形， 所以1

4112112

PBD S ?=

?=11P ABC V -=三棱锥 C.

【点睛】不规则三棱锥的体积的计算，应尽量找寻其高，如果高难以确定，则可以把给定的几何体补成容易计算体积的几何体，注意补体时利用已有的垂直关系.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量()3,4a =，()1,r b k =-，且a b ⊥，则4r r a b +与a 的夹角为________．

【答案】

4

π

【解析】 【分析】

先计算出k ，再求出4r

r

a b +，a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.

【详解】因为a b ⊥，故0a b ?=，所以340k -+=，故3

4

k =，

故()41,7r r a b +=-，设4r r a b +与a 的夹角为θ，则

cos

2

θ===，因[]

0,

θπ

∈，故

4

π

θ=，填

4

π

.

【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用

r r r

g

a a a

=；（2）计算角，cos,

r

r

r

r

r

r

a b

a b

a b

?

=.特别地，两个非零向量,a b垂直的等价条件是0

a b?=

14.已知实数x，y满足不等式组

y

y x

x y m

≥

?

?

≤

?

?+-≤

?

，且目标函数32

z x y

=-

的最大值为180，则实数m的值为________．

【答案】60

【解析】

【分析】

画出不等式组对应的可行域，平移动直线320

x y z

--=可得何时z有最大值，从而求出m的值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示，

因为不等式组有解，所以0

m≥，

当动直线320

x y z

--=平移到(),0

A m时，z有最大值，故320180

m

?-?=，

所以60

m=，填60

.

【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考虑二元函数的几何意义，比如34

x y

+表示动直线340

x y z

+-=的横截距的三倍，而

2

1

y

x

+

-

则表示动点()

,

P x y与()

1,2

-

的连线的斜率．

15.如图，点D 在ABC ?的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，cos

24

ABC ∠=

，则3AB BC +的最大值为________．

【答案】

165

5

【解析】 【分析】

先计算出c o s ABC ∠的值，利用3uu u r uu u r

CD DA

=可得3144

uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后整理可得22913216168

u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++?，设,u u r u u u r c B A a

B C ==，则223

3292c a ac =++，利用基本不等式可求3c a +的最大值. 【详解】因为10

cos

24

ABC ∠=

， 所以2

2101cos 2cos 121244ABC ABC ??∠∠=-=-= ? ???

因为3CD AD =，所以3uu u r uu u r

CD DA =即()

3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，

整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168

uu u r uu r uu u r uu r uu u r BD BA BC BA BC =++?，

所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++?即2291312||||161684

u u r u u u

r u u r u u u r BA BC BA BC =++??，

整理得到2233292

u u r u u u r u u r u u u r

BA BC BA BC =++?，

设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322

c a ac c a ac =++=+-，

因为2

933332222ac a c a c ??+??

=≤? ???

，

所以()()()()2222

935323333288

c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，

35c a +≤

=

，当且仅当a =c =

【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.

16.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上

（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120

i i PA PA ?=，则双曲线离心率的取值范围是

____________.

【答案】512?

???

，

【解析】 【分析】

根据120i i PA PA ?=，

1,2i =可得以12A A 为直径的圆与线段BF 有两个交点（不含端点），从而得到,,a b c 满足的不等式组，从这个不等式组可求离心率的取值范围. 【详解】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bx cy bc +-=， 以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ?=，

1,2i =， 所以

O 与线段BF 有两个交点（不含端点），

所以a

b a

<>?

即422422

302c a c a c a ?-+?，故4223102e e e ?-+?，

51e +<<故填51+?

，. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，

则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(

)2

212n n n S a a n *

+=+∈N

．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）已知对于N n *

∈，不等式123

111

1

n

M S S S S +

+++

<恒成立，求实数M 的最小值； 【答案】（1）12n n a +=；（2）22

9

. 【解析】 【分析】

（1）利用1n n n S S a --=可得关于{}n a 的递推关系，整理得到11

2

n n a a --=，从而{}n a 为等差数列，利用公式可求其通项.

（2）利用等差数列的前n 项和的公式得到()34n n n S +=

，故141133n S n n ??=- ?

+??，利用裂项相消法可求1n S ??????

的前n 项和后可求其该和的范围为221,9??

????

，从而可求M 的最小值.

【详解】（1）1n =时，2

111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =，

当2n ≥时，(

)2

212n n n S a a n *

+=+∈N

()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，

作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以11

2

n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以1

2

n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=

，所以()14411333n

S n n n n ??==- ?++??， 从而123

111

1

n

S S S S +

+++

4111111

11111=134253621123n n n n n n ??????????????-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ???-+-++??????????????

41111141111122

1323123361239

n n n n n n ????=++---=---< ? ?++++++????． 所以229

M ≥

，故M 的最小值为229．

【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之

间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；

如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

18.如图所示，在棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，

90ABC BCD ?∠=∠=

（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角11C A D D --的大小 【答案】（1）见解析；（2）120 【解析】 【分析】

（1）可证四边形11ABC D 为平行四边形，再利用平面几何知识可得11A D AD ⊥，从而得到11A D BC ⊥. （2）建立空间直角坐标系，算出平面1AA D 的法向量和平面1CA D 的法向量后可得二面角的平面角的余弦值的绝对值，结合平面角为钝角可得其大小.

【详解】（1）连结1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ， 又因

11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，

在直角梯形11ADD A

中，11tan 2

A AD ∠=

，1tan DA A ∠=， 因此11190A AD AA D ?

∠+∠=，所以11A D AD ⊥，因此11A D BC ⊥

（2）因为1AA ⊥平面ABCD ，所以建立如图空间直角坐标系，

设111=A B ，则()0,0A ，()10,0,2A ，()2,2,0D -，()2,2,0C ，()10,0,2AA =，()2,2,0AD =-，()0,4,0DC =，

()1

2,2,2AC =-， 设向量()111,,x y z =m 为平面1AA D

的

法向量，则有100

m AA m AD ??=?

?=?，即11

120,

220,z x y =??

-=?，

令11x =，取平面1AA D 的一个法向量()1,1,0m =.

设向量()222x y z =,,n 为平面1CA D 的法向量，则有1

00n AC n DC ??=?

?=?

，即22222220,40,x y z y +-=??=? 令21x =，取平面1CA D 的一个法向量()1,0,1n =，

1

cos ,2

m n m n m n

?=

=

?, 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则1cos 2

θ= 因此二面角11C A D D --的大小为120?.

【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为

2

π

得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统

抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：

（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；

（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？

（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．

附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，

(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．

参考公式与临界值表：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有90％的把握；（3）0.0684. 【解析】 【分析】

（1）由茎叶图的中位数计算即可；

（2）得2×2列联表，再根据表中数据计算K 2

，结合临界值表可得；

（3）因

~(110,144)X N ，所以10.9544

(134)0.02282

P X ->=

=，,由题意可知~(3,0.0228)B ξ，计算E ξ即可. 【详解】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为

128135

131.52

+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129

128.52

+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22?列联表如下：

数学成绩优秀 10 7 17 计算得2K

的观测值240(1013107)0.9207 2.70620201723

k

??-?=≈

所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关． （3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，14412σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544

(134)0.02282

P X ->=

=， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=?=．

【点睛】本题考查了茎叶图的中位数，独立性检验和正态分布与二项分布的综合，属于中档题.

20.已知抛物线2

4y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点

（1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；

（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）1

2

y x =-；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）利用点差可求1

2

AB

k =-

，从而得到直线l 的方程. （2）设200,4y Q y ??

???

，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和抛物线方程后消元可得2

432160ky y k ---=，利用0QA QB ?=及韦达定理可以得到(

)

()2

0016440y k y -+-=恒成立，故求得

()4,4Q .

【详解】（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故121212

4AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12

AB k =-

则直线l 的方程为12

y x =-

（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ??

???

，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()2

4,84y x y k x ?=??=--??

整理得2

432160ky y k ---=，>0?，124y y k

+=

，121632y y k =--，

由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ?=，

即()()2200121020044y y x x y y y y ????

--+--= ????

???

即()()2222001210204444y y y y y y y y ????--+--= ???????()()()()102010201016y y y y y y y y ++??+--=????

故()()102016y y y y ++=-，即()2

120120160y y y y y y ++++=

整理得()

()2

0016440y k y -+-=

即当04y =时，恒有0QA QB ?=，故存在定点()4,4Q 满足题意；

当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,42A ，(8,42B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ?= 综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q

【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或

1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.

21.已知函数()e x

f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；

（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m

a b 恒

成立，求实数m 的取值集合. 【答案】（1）2

e

；（2）{}1-． 【解析】 【分析】

（1）就0,0,0a a a <=>

三种情况利用导数讨论()f x 的单调性及其相应的最小值后可得：0a =时，0b ≤成立，0a >时，ln b a a a ≤-成立，对后一种情况构建新函数()22

ln h a a a a =-，利用导数可求()h a 的最大值即可.

（2）求出()F x '，它是一个减函数且值域R ，故()F x '存在唯一的零点0x ，再由题设条件可以得到()00F x =，

()00F x '=，用0x 表示,a b 后可把不等式()1m a e b -+≥化为()()0000

1ln 10x

m

x m e x m e x +-+-

+-+≥，构建新函数()()()1ln 1x

m

k x x m e x m e x

=+-+-

+-+，就0,0m m ≤>两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数m 的取值，注意后者的进一步讨论以m -与1的大小为分类标准. 【详解】（1）()x

g x e a '=-，

当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,

b m a -??

=???

?， 当0x m <时，()000010x

g x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；

当0a =时，()x

g x e b b =->-，

只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，

所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，

()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，

所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，

令()22

ln h a a a a =-，()()2

1

22ln 12ln h a a a a a

a a a

'=--=-，

令()0h a '=，a =

当(a ∈，()0h a '>，()h a

在(上为增函数；

当)

a ∈+∞，()0h a '<，()h a 在

(

)

,e +∞上为减函数．

所以()1

122

h a h

e e e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e

． （2）()1x

F

x e a x

'

=

-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，

即00

000

ln 1010x x x e ax b e a x ?+-++=??-+=?? 所以0

1x a e x =-

，()001ln x

o b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()000001

11ln x

x m e e x e x x ??-

-+≥-- ???

， 得()()0

000

1ln 10x

m

x m e

x m e x +-+-

+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1x

m

k x x m e x m e x

=+-+-

+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '?

?=++

+=++ ??

?． 若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾； 当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，

若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；

若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；

所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，，