七年级数学讲义资料

七年级数学各章节知识点汇编

七年级上册

第一章《有理数》

一、正数与负数

1．正数与负数表示具有相反意义的量。问：收入+10元与支出-10元意义相反吗

2．有理数的概念与分类

①整数和分数统称有理数，能写成两个整数之比的数就是有理数。

②零既不是正数，也不是负数。

③有限小数和无限循环小数因都能化成分数，故都是有理数。

④无限不循环小数因为不能化成两个整数之比，固称为无理数，如π，π/2等。

二、数轴

1．数轴三要素：原点、正方向、单位长度（另：数轴是一条有向直线）

2．作用：1）描点：数形结合；2）比较大小：沿着数轴正方向数在逐渐变大；3）直观反映互为相反数的两个点的位置关系；4）绝对值的几何意义；5）有理数都在数轴上，但数轴上的数并非都是有理数。

3．数轴上点的移动规律：“正加负减”向数轴正方向（或负方向）则对应的数应加（或减）

4．数轴上以数a和数b为端点的线段中点为a与b和的一半（如何用代数式表示）三、相反数

1．定义：若a+b=0，则a与b互为相反数特例：因为0+0=0，所以0的相反数是0 2．性质：

①若a 与b 互为相反数，则a+b= 0

②-a 不一定表示负数，但一定表示a 的相反数（仅仅相差一个负号）

③若a 与b 互为相反数且都不为零，a b

= -1

④除0以外，互为相反数的两个数总是成双成对的分布在原点两侧且到原点的距离

相等。 ⑤互为相反数的两个数绝对值相等，平方也相等。即：a =a -，()22a a =-

四、绝对值

1．定义：在数轴上表示数a 点到原点的距离，称为a 的绝对值。记作a

2．法则：1）正数的绝对值等于它本身；2）0的绝对值是0；3）负数的绝对值是它的相反数。 即()()()000a a a a a a >??==??-??=?-≤?? 3.一个数的绝对值越小,说明这个数越接近0（离原点越近）。绝对值最小的有理数是0

五、倒数

1．定义：若ab=1，则a 与b 互为倒数。注意：因为0乘以任何数都为0，所以0没有倒数。

2．若a 与b 互为倒数，则ab=1。

3．因两数相乘同号才能得正，故互为倒数的两数必定同号。所以负数的倒数肯定还是

负数。

4．求带分数的倒数要先将其化为假分数，再颠倒分子分母位置（有负号的勿忘负号！）

5．注意：只有当指明0a ≠时，1a

才能表示a 的倒数！

六、有理数的运算

加000,与相加：等于没加

同号相加：取相同的符号，绝对值相加两数相加无参与互为相反数和为异号相加取绝对值较大数的符号绝对值大减小互为相反数优先结合相加多数相加分母相同的分数优先结合相加

同号的数优先结合相加??????????????????????????????? 减：减去一个数等于加上这个数的相反数！切一刀就搞定

加减混合运算要求对()()(),,,a a a a --+--+--型符号化简相当纯熟，你行吗

乘???????????????????????与0相乘：马上得0

两数相乘同号得正无0参与绝对值相乘异号得负只要有0：马上得0多数相乘无0参与：先定符号，奇负偶正；再将绝对值直接相乘作为最终结果的绝对值

除：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数！（两数相除也满足同号得正，异号得负的法则）

乘方()()()432332*********,1,1,1,1n n n a a n n 定义：个相乘记做，作用： 为偶数性质： 为奇数区分：?=-=------????????

??

混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

七、有理数的大小比较

1)宏观比较法：正数>0>负数

2)数轴法:在数轴上右边的数总比左边的大.（沿着数轴正方向数在逐渐变大）

3)绝对值法:正数绝对值越大，数就越大；负数绝对值越大；数越小。

4)作差法:与0作比较.若a>b,则a-b>0;若a=b,则a-b=0;若a

注：这就是：大数减小数等于正数，小数减大数等于负数，相等两数差为0.

八、科学记数法，近似数，有效数字 把一个绝对值较大的数，表示为()10110,n a a n ?≤<为正整数称为科学记数法。

a 与原数只是小数点位置不同, n 等于a 化为原数时小数点移动的位数

精强记1万=410，1亿=8

10；确到X 位就是指四设五入到X 位（这时要看X 后面那一位上的数字） 一个数，从左边第一个不是0的数起到末位为止，所有的数字称为这个数的有效数字。 对于较小数，只要能准确的写出的所有有效数字即掌握有效数字概念

对于较大数，一般先用科学记数法表示，a 的有效数字即为原数的有效数字，a 的末位数字在原数中的位置（数位）即为原数精确度；Q 万，Q 亿中Q 的有效数字即为原数的有效数字。与万各自精确到哪位

第二章《整式的加减》

代数式：含有 的算式。特例：单独的一个数也是代数式。注意：代数式中不含：,,,,,

代数式的书写规则：

1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略。

2）数与字母相乘时，数要写在字母（包括带括号的多项式）前面

3）带分数一定要写成假分数

4）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式

5）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式用括号括起来。

试列代数式：a与b的差的一半，a与b的一半的差，a与b的平方和，a与b的和的平方，a与b差的绝对值，a与b绝对值的差

单项式：

多项式：

整式：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，另外，所有的常数项都是同类项.

“两个相同”是指：①含有的字母相同；②相同字母的指数也分别相同

“两个无关”是指：①与系数无关；②与字母顺序无关

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

去括号法则：

括号外的是“+”号，把括号和括号外的“+”号一起去掉，括号内各项的符号都。括号外的是“—”号，把括号和括号外的“—”号一起去掉，括号内各项都变号（变成它的）。

若括号外有系数应先用乘法分配律将系数绝对值乘给括号内的每一项，再按以上法则去括号。

整式加减：把去括号，合并同类项的过程统称为整式加减。（与X无关=不含X项=X项系数为0）

代数式求值三个要点：

（1）代入准备：“先化简，再代入”——化到最简形式的标准：再也没有括号可去，再也没有同类项可合并

（2）代入格式：“当…………时，原式=…………”只有规范，才能得分！

（3）代入方法：“先挖坑，后填数”——保持代数式的形式不变，只是把字母换成数，注意：该带的括号不能丢！

第三章《一元一次方程》

等式性质辨析：性质1同加（同减）同一个数。性质2，同乘（同除）同一个数。【性

质2中有陷阱】

①若a=b,则3a+2=2b+3. ( ), ②若a=b,则3a-2=3b-2. ( ), ③若

-2a+3=-2b+3,则a=b. ( )

④若ax=ay,则x=y. ( ) ⑤若a=b,则xa+y=xb+y. ( ) ⑥若

xa+y=xb+y,则a=b. ( )

方程，整式方程，一元一次方程概念辨析

含有字母的等式叫做方程. 方程的命名：先移项使得方程右端为0，判左端代数式名称

定方程名称。分母中含字母的统称分式方程。

“方程的解”与“解方程”概念辨析

使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.它是一个数，不是x这个字母！而解方程是指求出方程的解的过程.

方程解的“不管三七二十一”：已知方程的解，不管三七二十一，把解代回方程建立等式

方程的解检验方法（验根）

把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，比较两边的值是否相等.（格式还记得吗）

解方程的一般步骤：

类项的形式项法则②字母和字母的指数不变

系数化为1方程两边都除以未知数

的系数

等式性质①除数不能为0;

②不要把分子、分母颠倒

列方程解应用题步骤：1）写 2）审 3）设 4）找 5）列 6）解 7）验 8）答

一元一次方程应用题归类：（1）和差倍分问题（2）调配问题（3）比例问题（4）配套问题（5）行程问题（6）工程问题（7）利息问题（8）盈不足问题（9）增长率问题（10）打折销售与利润率问题（11）年龄问题（12）数字问题（13）日历与数表问题（14）“超过的部分”问题（15）等积问题（16）方案设计问题

第四章《图形认识初步》

线段中点性质：角平分线的性质：

第五章相交线与平行线

平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外

同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行

一、相交线

1、两条直线相交，有且只有一个交点。（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。）

两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：

邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。

对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如：

2、垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a 垂直线b，则线b垂直线a 。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外）

3、点到直线的距离。

垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。

垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。

垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（或说直角三角形中，斜边大于直角边。）

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。

4、同位角、内错角、同旁内角

三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。

特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；

②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第

三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。

5、几何计数：

①平面内n条直线两两相交，共有n ( n – 1) 组对顶角。（或写成 n^2 – n 组）

②平面内n条直线两两相交，最多有n(n–1)/2个交点。（或写成（n^2–n）/2个）

③平面内n条直线两两相交，最多把平面分割成[n(n+1)/2]+1个面。

④当平面内n个点中任意三点均不共线时，一共可以作n(n–1)/2 条直线。

回顾：ⅰ、一条直线上n个点之间，一共有n(n–1)/2 条线段；

ⅱ、若从一个点引出n条射线，则一共有n(n–1)/2 个角。

二、平行线

同一平面内，两条直线若没有公共点（即交点），那么这两条直线平行。注：平行线永不相交。

1、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（注：这一点是在直线外）

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（或叫平行线的传递性）

2、平行线的画法：借助三角板和直尺。具体略。（此基本作图方法一定要掌握，多练习。）

3、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；

③同旁内角互补，两直线平行。

注意：是先看角如何，再判断两直线是否平行，前提是“角相等/ 互补”。

一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

4、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等；

③两直线平行，同旁内角互补。

注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。

一个结论：平行线间的距离处处相等。

※此章难度最大就在如何利用平行线的判定或性质来进行解析几何的初步推理，要在熟练掌握好基本知识点的基础上，学会逻辑推理，既要条理清晰，又要简洁明了。

5、命题

判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。

①命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的

命题）。假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

②逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆

命题。

注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

三、平移

1、概念：把图形的整体沿着某一方向移动一定的距离，得到一个新的图形，这种图形

的移动，叫平移。

确定平移，关键是要弄清平移的方向（并不一定是水平移动或垂直移动哦）与平移的距离。如果是斜着平移的，则需把由起始位置至最终位置拆分为先水平移动，再上下移动，或拆分为先上下移动，再水平移动。当然，如果是在格点图内平移，则可利用已知点的平移距离是某一矩形的对角线这一特点来对应完成其它顶点的平移。

2、特征：①发生平移时，新图形与原图形的形状、大小完全相同（即：对应线段、对

应角均相等）；

②对应点之间的线段互相平行（或在同一直线上）且相等，均等于平移距离。

3、画法：掌握平移方向与平移距离，利用对应点（一般指图形的顶点）之间连线段平行、连线段相等性质描出原图形顶点的对应点，再依次连接，就形成平移后的新图形。

第六章平面直角坐标系

一、坐标

1、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个数与之对应。

2、平面直角坐标系由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。横向（水平）方向的为横轴（x轴），纵向（竖直）方向的为纵轴（y轴），平面直角坐标系上的任

一点，都可用一对有序实数对来表示位置，这对有序实数对就叫这点的坐标。（即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能随意更改）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。

二、象限及坐标平面内点的特点

1、四个象限平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）。

注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。例点A（3，0）和点B（0，-5）

ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变。

3、坐标平面内点的位置特点

①坐标原点的坐标为（0，0）；

②、第一象限内的点，x、y同号，均为正；③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；

④、第三象限内的点，x、y同号，均为负；⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；

⑥、横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）

⑦、纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表

示一条直线）

3、点到坐标轴的距离坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。

注:①、已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解。

②、坐标平面内任意两点A（x1,y1）、B(x2,y2)之间的距离公式为：d = 根号下[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]

4、坐标平面内对称点坐标的特点

①、一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；

②、一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；

③、一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反。

5、平行于坐标轴的直线的表示

①、平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值；

②、平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值。

6、象限角平分线的特点

①、第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）；

②、第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)。

三、坐标方法的简单应用

1、求面积

①、已知三角形的顶点坐标求三角形的面积将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；

②、已知多边形各顶点坐标求多边形的面积将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差。

2、平移

①、点的平移一个点左、右（水平）平移，横坐标改变，纵坐标不变。具体为：

向左平移几个单位，则横坐标减少几个单位；向右平移几个单位，

则横坐标增加几个单位。“左减右加”

一个点上、下（竖直）平移，纵坐标改变，横坐标不变。具体为：向下

平移几个单位，则纵坐标减少几个单位；向上平移几个单位，则纵坐标

增加几个单位。“下减上加”

②、图形的平移图形是由无数个点组成的，所以，图形的平移实质上就是点的平移。关键是把图形的各个顶点按要求横向或纵向平移，描出平移后的对应顶点，再连接全部对应顶点即可。

注：图形平移后的新图形与原图形在形状、大小方面是完全相同的，唯一改变的是原图形的位置。

3、中点坐标公式

对于平面直角坐标系内任意两点M（a1,b1）、N(a2,b2),它们的中点的坐标为：（（a1+a2）/2 ,(b1+b2)/2 ）

第七章三角形

一、概念

由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相连而构成的平面图形叫三角形。

注意其中：①不在同一直线上（或说不共线）；②是三条线段；③首尾顺次相连这三个条件缺一不可。

二、分类

（1）按角分类：分为斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形）

直三角形（即直角三角形）

（2）按边分类：分为不等边三角形

等腰三角形（包括只有两边相等/或说是底腰不等的三角形和三边相等/即等边的三角形）

注：①、等边三角形是特殊的等腰三角形；

②、一个三角形中最多只有一个钝角，最少有二个锐角。

三、三角形的三边关系

1、三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边。( 即 a+b>c ,或a+c>b ,或b+c>a )

2、推论：三角形的任意两边之差小于第三边。

四、有关三角形边长的综合问题

1、等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边，题目中往往并不直接说明腰和底边，因此，解题时要分类讨论，以免丢解。

注：根据三角形三边关系，若等腰三角形的腰长为a ，则底边长x 的取值范围是：0 < x < 2a ；

若等腰三角形的底边为a ，则腰长x 的取值范围是：x > a/2

五、三角形的中线、角平分线和高（图表区别）

名称 中线 角平分线 高

定义 三角形一边上的中点与 这边所对的顶点的连线段 三角形一个角的平分线与对边

相交，顶点与交点的连线段 从三角形的顶点向对边或对边的延 长线作垂线，垂足与顶点的连线段

形状 线段 线段 线段

数量 3条 3条 3条

位置 三角形内部

三角形内部

交点

情况

六、三角形的稳定性

三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫三角形的稳定性。除了三角形外，其它的多边形不具有稳定性，但可以通过连接对角线，把多边形转化为若干个三角形，这个多边形也就具有稳定性了。多边形要具有稳定性，四边形要添一条对角线，五边形要添二条对角线 … …， n 边形要添（n-3）条对角线。

七、三角形的内角和定理

三角形的内角和等于180度。 要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。

锐角三角形的高均在三角形内；直角三角形

斜边上的高在三角形内，另两条高与两条直 角边重合；钝角三角形最长边上的高在三角 形内，另两条高在三角形外。 交于同一点，位于三角 形内，叫三角形的重心 交于同一点，位于三角 形内，叫三角形的内心 交于同一点，叫三角形的垂心：锐角三角形 高的交点位于三角形内部；直角三角形高的 交点与直角顶点重合；钝角三角形高的交点

在三角形的外部。

三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较长，或较长的边，所对的角的度数较大。

八、三角形的外角及其性质

三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。一共有六个外角。

其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。

根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和 = 360 度。

性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（常用于解决角的不等关系问题）

①锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；②直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等；③钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。

九、多边形及其内角和、外角和

1、概念：由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形。三角形是最简单的多边形。

注：①、多边形分为凸多边形和凹多边形，我们初中阶段只研究凸多边形。凸多边形：整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，这样的多边形叫凸多边形。