2013年高考文科数学安徽卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(安徽卷)

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013安徽，文1)设i是虚数单位，若复数

10

3i

a-

-

(a∈R)是纯虚数，则a的值为()．

A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案：D

解析：由已知，得

1010(3i)10(3i)

3i(3i)(3)10

a a a

++

-=-=-

--+

＝a－3－i，

∵复数

10

3i

a-

-

为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.

2．(2013安徽，文2)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0,1}，则(R A)∩B＝()．A．{－2，－1} B．{－2}

C．{－1,0,1} D．{0,1}

答案：A

解析：∵A＝{x|x＞－1}，∴R A＝{x|x≤－1}，

∴(R A)∩B＝{－2，－1}．

3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()．

A．3

4

B．

1

6

C．

11

12

D．

25

24

答案：C

解析：开始，2＜8，s＝0＋1

2

，n＝2＋2＝4；

返回，4＜8，

113

244

s=+=，n＝4＋2＝6；

返回，6＜8，

3111

4612

s=+=，n＝6＋2＝8；

返回，8＜8不成立，输出

11

12 s=.

4．(2013安徽，文4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案：B

解析：由(2x －1)x ＝0，得x ＝

1

2

或x ＝0. 故(2x －1)x ＝0是x ＝0的必要不充分条件．

5．(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )．

A ．23

B ．25

C ．35

D ．910

答案：D

解析：五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．

其中含甲或乙的情况有9种，故选D ． 6．(2013安徽，文6)直线x ＋2y －5

0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )．

A ．1

B ．2

C ．4 D

．答案：C

解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程：

(x －1)2＋(y －2)2＝5，可知圆心坐标为(1,2)

1=，

2=.

故弦长为4.

7．(2013安徽，文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )．

A ．－6

B ．－4

C ．－2

D ．2 答案：A

解析：由S 8＝4a 3知：a 1＋a 8＝a 3，a 8＝a 3－a 1＝2d ＝a 7＋d ，所以a 7＝d ＝－2.所以a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.

8．(2013安徽，文8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得

11f x x ()＝22f x x ()

＝…＝n n

f x x ()，则n 的取值范围为( )．

A ．{2,3}

B ．{2,3,4}

C ．{3,4}

D ．{3,4,5} 答案：B 解析：

11f x x ()＝22f x x ()＝…＝n n f x x ()可化为1100f x x ()--＝220

0f x x ()--＝…＝00

n n f x x ()--，所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等．由数形结合可得：曲线①为n ＝2，曲线②为n ＝3，曲线③

为n ＝4.

9．(2013安徽，文9)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝()．

A．π

3

B．

2π

3

C．

3π

4

D．

5π

6

答案：B

解析：∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①

又b＋c＝2a, ②

∴由①②可得，a＝5

3

b，c＝

7

3

b，

∴cos C＝

22

2

222

2

57

33

5

22

3

b b b b a c

ab b

????

+-

? ?+-????

=

?

＝

1 2 -.

∴C＝2 3π.

10．(2013安徽，文10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为()．

A．3 B．4 C．5 D．6

答案：A

解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0，得

x＝x1或x＝x2，

即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解，由题可知f(x)的草图为：

由数形结合及x1＜x2可知满足f(x)＝x1的解有2个，满足f(x)＝x2的解仅有1个，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根个数为3.

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

．．．．．作答，在试题卷上答题无效

．．．．．．．．．．．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．(2013安徽，文11)

函数1ln 1y x ??=+

+ ???

__________． 答案：(0,1]

解析：由21

10,

10x

x ?+>???-≥?

?10,11x x x <->??-≤≤?或?0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]．

12．(2013安徽，文12)若非负变量x ，y 满足约束条件1

24,

x y x y -≥-??

+≤?则x ＋y 的最大值为__________．

答案：4

解析：约束条件表示的可行域如图阴影部分．由线性规划知识得最优解为(4,0)，令z ＝x ＋y ，则z max

＝4＋0＝

4.

13．(2013安徽，文13)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为__________．

答案：13

-

解析：∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |， ∴|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，

∴a ·b ＝－|b |2

，

∴cos 〈a ，b 〉＝22

||1

||||3||3

?-==-a b b a b b . 14．(2013安徽，文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当

－1≤x ≤0时，f (x )＝__________.

答案：1

2

-

x (x ＋1) 解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝1

2

(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝1

2

-

x (x ＋1)． 15．(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

①当0＜CQ ＜1

2

时，S 为四边形 ②当CQ ＝

1

2时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝1

3

④当3

4

＜CQ ＜1时，S 为六边形

⑤当CQ ＝1时，S

答案：①②③⑤

解析：当CQ ＝

1

2

时，D 1Q 2＝D 1C 12＋C 1Q 2，AP 2＝AB 2＋BP 2，所以D 1Q ＝AP .又因为AD 1∥PQ ，AD 1＝2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜1

2

时，截面为APQM ，所以为四边形，故①也正确，如图①所示．

图①

如图②，当CQ ＝

3

4时，由△QCN ∽△QC 1R 得 11C Q C R CQ CN =

，即11

4314

C R

=，C 1R ＝13，故③正确．

图②

如图③所示，当CQ ＝1时，截面为APC 1E . 可知AC 1

EP

且APC 1E 为菱形，

1APC E S 四边形

＝

2

，故⑤正确． 当

3

4

＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF . 所以④错误．

图③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16．(2013安徽，文16)(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x ＋πsin 3x ??+

??

?

. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；

(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．

解：(1)因为f (x )＝sin x ＋

1

2

sin x ＋2cos x

＝32sin x cos x πsin 6x ?

?+ ???.

所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π

3

(k ∈Z )时，f (x )取最小值此时x 的取值集合为2π2π,3x x k k ??

=-∈????

Z .

(2)先将y ＝sin x (横坐标不变)，得y x 的图象；

再将y sin x 的图象上所有的点向左平移

π

6

个单位，得y ＝f (x )的图象． 17．(2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -值． 解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，

30

n

＝0.05，即n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为

551306

-

=.

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '.根据样本茎叶图可知，

121230()3030x x x x '-'='-'

＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.

因此120.5x x '-'=.故12x x -的估计值为0.5分．

18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD

＝60°.已知PB ＝PD ＝2，P A .

(1)证明：PC ⊥BD ；

(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积． (1)证明：连接AC ，交BD 于O 点，连接PO .

因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO .

由PB ＝PD 知，PO ⊥BD ．再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥面APC ，因此BD ⊥PC ． (2)解：因为E 是P A 的中点，所以V P －BCE ＝V C －PEB ＝12V C －P AB ＝1

2

V B －APC ． 由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD ． 因为∠BAD ＝60°，

所以PO ＝AO AC ＝BO ＝1.

又P A ，PO 2＋AO 2＝P A 2，即PO ⊥AC ， 故S △APC ＝

1

2

PO ·AC ＝3. 由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝

12V B －APC ＝12·13·BO ·S △APC ＝12

.

19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a a ＋2sin x 满足π'02f ??

=

???

. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝212n

n a a ?

?

+

??

?

，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ．对任意n ∈N *，

π'2f ??

???

＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.

(2)由b n ＝212n

n a a ??+

??

?＝21112n n +?

?++ ??

?＝2n ＋12n

＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·12n n (+)＋11122112

n

????-??

???????-

＝n 2＋3n ＋1－12n .

20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．

(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；

(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．

解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，22

1a

x a

=+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，因此区间I ＝20,

1a a ?

? ?+??

，区间长度为2

1a a +. (2)设d (a )＝2

1a

a

+，则d ′(a )＝22211a a -(+)， 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故

当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．

因此当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．

而23223

2

11211<111211k

d k k k k k d k k k

k -(-)--+(-)==+(+)-++(+)

， 故d (1－k )＜d (1＋k )．

因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2

122k

k k --+. 21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的焦距为4，且过点P

，

．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A

(0,，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．

解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P

，所以

2

223

1a b

+=，故a 2＝8，b 2

＝4，从而椭圆C 的方程为22

184

x y +=. (2)由题意，E 点坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0

，-)，AD

＝(x D

，-)．

再由AD ⊥AE 知，AE ·AD

＝0，即x D x 0＋8＝0.

由于x 0y 0≠0，故x D ＝0

8

x -.

因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G 08,0x ??

???

.

故直线QG 的斜率k QG ＝

000

2000

88

y x y x x x =

--

.

又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以 x 02＋2y 02

＝8.① 从而k QG ＝0

2x y -

. 故直线QG 的方程为00082x y x y x ??

=-

- ???

.② 将②代入椭圆C 方程，得

(x 02＋2y 02)x 2－16x 0x ＋64－16y 02＝0.③ 再将①代入③，化简得 x 2－2x 0x ＋x 02＝0.

解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．