运筹学思考练习题答案

第一章 L.P 及单纯形法练习题答案

一、判断下列说法是否正确

1. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，

可行域的范围一般将扩大。(?)

2. 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。(?)

3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解一定对应可行域边界上的一个点。(?)

4. 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个基可行解中至少有

一个基变量的值为负。(?)

5. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表

中删除，而不影响计算结果。(?)

6. 若1X 、2X 分别是某一线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问

题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。(?)

7. 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为ai i

MinZ x =∑(x ai 为人工变

量)，但也可写为i ai i

MinZ k x =∑，只要所有k i 均为大于零的常数。(?)

8. 对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为m n C 个。

(?)

9. 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。(?)

10. 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数

的最优解。(?)

二、求得L.P 问题

12

123

1425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=??+=??

+=?

?≥=?

的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;

X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;

X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;

X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;

X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。

要求：分别指出其中的基解、可行解、基可行解、非基可行解。 答案：

基解：X ⑴、X ⑵、X ⑷、X ⑺，可行解：X ⑴、X ⑶、X ⑹、X ⑺，基可行解：X ⑴、X ⑺，非基．．可行解：X ⑶

、X ⑹

(或非．基可行解：X ⑵

、X ⑶

、X ⑷

、X ⑸

、X ⑹

)。 三、求解下列线性规划问题：

121212

1212MinZ 5x 4x x 2x 6

2x x 4s.t.5x 3x 15x ,x 0

=--+≤??-≤?

?+≤??≥? 答案：

化为标准型：12

12312412512345MaxZ 5x 4x x 2x x 6

2x x x 4s.t.5x 3x x 15x ,x ,x ,x ,x 0=+++=??-+=??

++=??≥?

得初始单纯形表并求解：

所有检验数j 0σ≤，已得最优解：*121519X ,,0,,0777??

=????

，120MinZ 7=-。

第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案

1．判断下列说法是否正确：

(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(?)

(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；(?)

(3) 设j ?

x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m

**j j j j i i i i j 1

j 1

i 1

i 1

??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；(?)

(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；(?) (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；(?)

(6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；(?)

(7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；(?)

(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(?)

(9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；(?)

(10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。(?)

2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。

要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价2.5购入第一种资源是否值得，为什么？若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么？ 答案：

(1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。

由题意已知原线性规划问题目标函数为Max （因σj ≤0为最优），且c 4、c 5为0（松弛变量目标函数系数为0）。

根据1j j B j c C B P σ-=-知：2313111

1c c c 4

221

10c c 42610c 23???-?-?=- ????????-?-?=-? ????

???

-?=-?

????

，得：123

c 6c 2c 10=??=-??=?

根据()51122

2

1

511126

3

2010

B A|b 10-??=

?--??，得：()012105A|b 3110110??= ?-??

则原线性规划问题的数学模型为： 12323123123

MaxZ 6x 2x 10x x 2x 53x x x 10s.t.x ,x ,x 0=-++≤?

?

-+≤??≥?

其对偶问题的数学模型为：

1221

21212Min 5y 10y 3y 6y y 2s.t.2y y 10y ,y 0

ω=+≥?

?-≥-??+≥??≥? (2)直接由表写出对偶问题得最优解为：()*Y 4,2= (3)令原解()()-1i B i i i x X B b b ===，得?b r 的变化范围为：

{}{}i ir ir r i ir ir i

i

Max b /a |a 0b Min b /a |a 0?->≤≤-<，其中：()1ir ir

a B -=。则：

{}{()}15151

Max b Min 2226

?-÷≤≤-÷-，即15b 15?-≤≤，则10b 20≤≤

(4)以单价2.5购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即2.5<4），可盈利；第二种资源应要价至少为2（影子价格），否则不如自己组织生产。

第三章运输问题、第四章目标规划练习题答案一、判断下列说法是否正确

1．表上作业法实质上就是求运输问题的单纯形法。(?)

2．在运输问题中，只要任意给出一组含(m+n-1)个非零的{x ij}，且满足∑

==

n

1 j

i

ij

a

x，∑

=

=

m

1

i

j

ij

b

x，

就可以作为一个初始可行解。(?)

3．建立目标规划模型时，正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。(?)

4．线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。(?)

二、用表上作业法求解下表最小运费方案

，故假想一销地“戊”，其销量为90 (350-260)，形成产销平衡问题，并用V ogel法求得初始解：

所有空格检验数σij ≥0，表中已得最优解：14x 10=，15x 90=(就地贮存)，21x 50=，22x 50=，32x 20=，33x 60=，34x 70=，其余ij x 0=；最小运费：*Z 2260=。

但考虑非基变量23x 的检验数σ23=0，该问题有无穷多最优解，用闭回路法调整得另一最优解：14x 10=，15x 90=(就地贮存)，21x 50=，23x 50=，32x 70=，33x 10=，34x 70=，其余ij x 0=。(见下表)

三、针对目标规划模型：

112332

12111

22212331

212

i i MinZ P d P d P d x 2x d d 4

x 2x d d 4x 2x d d 83x 2x 12x ,x 0;d ,d 0,i 1,2,3+++

-+-+

-+

-+

=++?-++-=?-+-=??++-=??+≥??≥≥=?

(1)用图解法求出问题的满意解。 (2)若将目标函数改为：

()1122333MinZ Pd P d P d d ++-+

=+++

满意解会如何变化。

答案：

(1) 满意解为图中A (4,0)、B (6,1)、C (2,3)所围成的区域。

(2) 满意解为B (6,1)、C (2,3)线。

第五章整数规划练习题答案

一. 判断下列说法是否正确

1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是该问题目标函数值的下界。( )

2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。( )

3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。( )

4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问

应如何分配这五项工作，并求得最大产值。

答案：

设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则：

16425105

3140

42

13251042510424003B 1

3752102

6410

154062415151

3045

020305

747057470464

61

11-??????

?

? ?

? ? ? ? ? ?

=→→- ?

? ?- ? ? ? ? ? ???????

---

m 4n 5l m 4

4

21342132432431541545235234

6

4

64

6

4

6=<===?

??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ????

?

?

?

031023

4003115406020303535?? ?

? ?

?

? ??

?

31234311546233

5

3

5?

?? ?? ? ?→ ?? ? ??

?

m=5=n ，得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101

00010000??

?

? ?= ?

? ???

。

即，甲→D ，乙→C ，丙→E ，丁→B ，戊→A ，最大产值=10+8+9+8+8=43。

三. 对整数规划

12

1212

12

MaxZ 8x 5x 2x 3x 12

x x 6x ,x 0,=++≤??

-≤??≥?整数 解得其松弛问题最优表如下：

答案：

(1) 产生高莫雷约束：

根据Max {f i }，应选取x 1所在行为源行：134133x x x 3884+

+=，即，134133x 0x 0x 3884????

++++=+ ? ?????

产生高莫雷约束为：34313

x x 0488

--≤。

(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x 5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：

b j

第六章 动态规划的基本方法习题

1. 已知网络图各段路线所需费用如图所示：

图中A 线和B 线上的数字分别代表相应点的有关费用。试求从A 线到B 线的最小费用路线及其总费用。 答案：

采取顺序标号法解得最小费用路线有两条，即图中的粗实线，其费用为17。 2. 用动态规划方法求解

22

123

123i MaxZ x x x x x x 6s.t x 0,i 1,2,3

=++≤??

≥=? 答案：

按问题的变量个数划分为一个三阶段决策问题；设状态变量为s 1、s 2、s 3、s 4；并记s 1≤6；取问题中的变量x 1、x 2、x 3为决策变量；各阶段指标函数按乘积方式结合；令最优值函数f k (s k )表示为第k 阶段的初始状态为s k ，从k 阶段到3阶段所得到的最大值。

设各阶段状态转移方程为：s 1=x 1+x 2+x 3≤6，s 2=s 1-x 1，s 3=s 2-x 2，s 4=s 3-x 3=0(即s 3=x 3)

3

3 1 线

则有各阶段允许决策集合：x 3=s 3，0≤x 2≤s 2，0≤x 1≤s 1 用逆推法，从后向前依次有：

①()()33

223333x s f s Max x s === 及最优解*33x =s

②[]()()()()22222222

22

22233232222220x s 0x s 0x s 0x s f s Max x f s Max x s Max x s x Max h s ,x ≤≤≤≤≤≤≤≤????=?=?=?-=???? 由()()()()222222222222dh s x 2x s x s x s 3x 0dx =---=--= 得()

2222x s s x 3=??

?=??

舍去 又2222

22

22s 2x 3

d h 4s 6x 2s 0dx =

=-+=-<

则：()32224f s s 27=

及最优解221x s 3

*

= ③()()()()11111111

2232311122121111110x s 0x s 0x s 0x s 44f s Max x f s Max x s Max x s x Max h s ,x 2727≤≤≤≤≤≤≤≤??????=?=?=?-=?????????? 由()()()()3222

1111111111111dh 8124x s x x s x x s x 2s 5x 0dx 272727=--?-=--=得()

()

11111x 02x s 5x s =??

?=??

=??舍去舍去 又()()()()()=-------222111111111111121d h 4820

s x 2s 5x x s x 2s 5x x s x dx 272727

即()11

223

11111221

x s 5

d h 20228s s s s 0dx 275575

==-

?-=-< 则：()()()11232351111111110x s 444216f s Max x s x s s s s 2725

2753125≤≤??=?-=?-=????及最优解112x s 5*

=

由于0≤s 1≤6不知道其具体值，故须再对s 1求一次f 1(s 1)的极值：()1151110s 60s 616Max f s Max s 3125≤≤≤≤??

= ???

显然，s 1=6时f 1(s 1)才能达到最大值。所以()()=

=5511111616

f s f 6s 639.8131231253125

==? 按计算的顺序反推，可求得最优解为：1

122

x s 6 2.455

*

==?=，()11f s 39.81312=； *211s s -x 6 2.4 3.6==-=则2211x s 3.6 1.233*

=

=?=，()3322244

f s s 3.6 6.9122727

==?= *322s s -x 3.6 1.2 2.4==-=则33x s 2.4*

==，()22333f s s 2.4=5.76 == 即最优解为：1

x 2.4*=，2x 1.2*=，3x 2.4*

=，22123MaxZ x x x 39.81312==。

第八章图与网络优化练习题答案

一、判断下列说法是否正确

1.在任一图G 中，当点集V 确定后，树图是G 中边数最少的连通图。( )

2.若图中某点v i 有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为v j ，则边[v i ，v j ]必不包含在最小支撑树内。( )

3.若图中从v 1至各点均有惟一的最短路，则连接v 1至其他各点的最短路在去掉重复部分后，恰好构成该图的最小支撑树。( )

4.求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。( )

二、有一项工程，要埋设电缆将中央控制室与15个控制点连通。下图中标出了允许挖电缆沟的地点和距离（单位：hm ）。若电缆线100元/m ，挖电缆沟（深1m ，宽0.6m ）土方30元/m 3，其它材料和施工费用50元/m ，请作出该项工程预算的最少费用。

中央控制室

1 2 4

3

6 5 8

7 9

10 11

15

12 13

14 7

2

4 6 6 12

4 3 11 9

5 8 5

9

8

8 12 10 5 5

2

5

4

10

5 4

6 9 6

8

4

6

7 3

答案：

求出其最小支撑树为：

中央控制室

1 2 4

3 6

5

8

7

9

10 11

15 12 13

14 7

2

4 4 3 5

5

5

5

2

4 5

4 4

3

埋设电缆的最优方案为总长6200m

所以最少工程预算费为6200×(100+0.6×30+50)=1041600元

三、用Dijkstra 标号法求出下图中v 1到各点的最短距离与最短路径。

v 1

v 3 v 6 v 9

v 11

v 2 v 5

v 8 v 4

v 10

v 7

2 8

1

6 1

2 9 1

1

6 7 3

4 7 1

2

9 6

1

5 3 2

答案：

图中的粗线即为v 1到各点的最短路径；v 1到各点的最短距离为图中带

的数字。

四、所给网络中弧旁数字为该弧容量，求网络最大流与最小截集。

v s

v 1 v 2 v 3

v 4

v t

13 2

6

6

3

3

4 4 7

15

答案：

第一次迭代：

得增广链：(v s , v 1, v t )；按θ=7调整，如上图。 第二次迭代：

v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,7)

2 6

6

3 3

4

4 (7,7)

15

(0,+∞)

(v s ,13) (v s ,6)

(v s ,2)

(v 1,4)

(v 1,7)

得增广链：(v s , v 1, v 4, v t )；按θ=4调整，如上图。 第三次迭代：

得增广链：(v s , v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。 第四次迭代：

得增广链：(v s , v 1, v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。 第五次迭代：

得增广链：(v s , v 3, v 4, v t )；按θ=4调整，如上图。 第六次迭代：

v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,13)

(2,2)

(6,4)

(6,4)

(3,2)

3 (4,4)

(4,4)

(7,7)

(15,12)

(0,+∞)

(v s ,6)

(-v 4,4)

(v 3,4)

(v 4,4) v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,13)

(2,2)

6

(6,4)

(3,2)

3

4

(4,4)

(7,7)

(15,8)

(0,+∞)

(v s ,2) (v s ,6)

(v 1,2)

(v 2,2)

(v 4,2) v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,11)

(2,2)

6

(6,2)

3 3 4

(4,4)

(7,7)

(15,6)

(0,+∞)

(v s ,2) (v s ,6)

(v s ,2)

(v 2,2)

(v 4,2) v s

v 2

v 3 v 4 v t

(13,11)

2 6

6

3 3

4

(4,4)

(15,4)

(0,+∞)

(v s ,6)

(v s ,2)

(v 1,4)

得增广链：(v s , v 3, v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。 第七次迭代：

所有f sj =c sj （均为饱和弧）标号无法继续，解题结束。

图中可行流即为所求最大流，最大流量为：()*s1s2s31t 4t V f f f f f f 21=++=+= 同时得到最小截集()11V ,V ：其中，{}{}1s 11234t V v ,V v ,v ,v ,v ,v == 即()()()(){}11s 1s 2s 3V ,V v ,v ,v ,v ,v ,v =，其容量也为21。

t

v s

v 2 v 3 v 4 v t

(13,13)

(2,2)

(6,6)

(6,6)

(3,2)

(3,2) (4,4)

(4,4)

(15,14)

(0,+∞)

(v s ,2)

(v 3,2) (v 2,2)

第九章 网络计划练习题及答案

一、判断下列说法是否正确

1. 网络图中任何一个节点都表示前一工作的结束和后一工作的开始。( )

2. 在网络图中只能有一个始点和一个终点。( )

3. 工作的总时差越大，表明该工作在整个网络中的机动时间就越大。( )

4. 总时差为零的各项工作所组成的线路就是网络图中的关键路线。( )

5. TF i-j 是指在不影响其紧后工作最早开始的前提下，工作所具有的机动时间。( )

6. FF i-j 是指在不影响工期的前提下，工作所具有的机动时间。( )二、根据下表资料：

要求：((2)用标号法计算时间参数：ES i-j 、EF i-j 、LS i-j 、LF i-j

、TF

i-j 、FF i-j ； (3)确定关键路线。

答案：

(1)

(2)各时间参数如图所示（）。

(3)图中TF i-j为零的各工作构成了关键路线（粗红线），即关键工作为：A,B,D,G,H,I。

三、某项工程的各工作及其持续时间如下表所示：

答案：

工程完工期：27天T=27