四川大学离散数学课后习题2解答提示

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1.把下列命题翻译成谓词公式：

(1) 每个有理数都是实数，但是并非每个实数都是有理数,有些实数是有理数.

解： 设()x A ：x 是实数 ()x B ：x 是有理数，则有：

()()()()∧→?x A x B x ()()()∧→??x B x A x ()()()x B x A x ∧?

(2) 直线a 和b 平行当且仅当a 和b 不相交.

解： ()x A ：x 是直线，

()y x F ,：x 与y 平行 ()y x G ,：x 与y 相交，则有：

()()()()()[]b a G b a F b A a A b a ,,??→∧??

(3) 除非所有的会员都参加,这个活动才有意义

解： )(x A ：x 是会员

)(x C ：x 有意义 ),(y x F ：x 参加y

a ：这个活动 ()()()()a x F x A x a C ,→?→或者 ()()()a C a x F x A x ?→→??),(

（4）任何正整数不是合数就是质数.

解：()x A ：x 是正整数

)(x B ：x 是合数 )(x C ：x 是质

数

()()()()x C x B x A x ?→? （5）凡是存钱的人都想有利息,如果没有利息,人们就不会存钱

解： ()x A ：x 是人 B （x ）：x 存钱 a ：利息

P:存钱有利息 ()y x F ,：x 想有y

()()()()()()()[]x B x A P a x F x B x A x ?∧→?∧→∧?,

2. 设论域D={0,1,2}.把下列公式用不含量词的公式表示出来.

(1)

()()()()()()()210210Q R R P P P ∨∨∧∧∧

(2)

()()][()()]()()[[221100Q P Q P Q P →∧→∧→

（3）

解为：(~P(0)∧~P(1)∧~P(2))∨(Q(0)∨Q(1)∨Q(2))

3.指出下列公式中的约束变元和自由变元,并确定公式的辖域.

（1） 错误!未找到引用源。.

P （x ）中的x 为约束变元，辖域为：P （x ）.

Q （x ）中的x 为自由变元

（2） 错误!未找到引用源。.

（?x ）[P(x)∧Q(x)]中，P(x)和Q(x)中的x 均为约束变元，辖域为P(x)∧Q(x)； （?x ）P(x)∧Q(x)中，P(x)中的x 为约束变元，辖域为P(x)，Q （x ）中的x 为自由变元。

（3） 错误!未找到引用源。

(?x)(?y)[P(x,y)∧Q(a)]中，x,y 是约束变元，辖域为P(x,y)∧Q(a)，

Q(a)中的a 为自由变元；

(?z)R(x,z)中，z 为约束变元，辖域为R(x,z)，z 为自由变元

4. 对下列公式中的变元进行代换,以使任何变元不能既是约束变元又是自由变元.

(1) 错误!未找到引用源。.

解： ()()()[()]()()z y x R z t y Q y x P y x ,,,,?∨→??

（2）错误!未找到引用源。

解为：((?x)[P(x)→R(x)]∨Q(u ))∧((?x)R(x)→(?z)S(v ,z))