北京市第四中学2021届高三12月数学考试试题

北京四中2020-2021学年度第一学期测试二

数学试卷

（2020.12.07）

（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.若全集R U =，{}1A x =<，{}

1B x x =>-，则（ ） A.A B ?

B.B A ?

C.U

B A ?

D.

U

A B ?

2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A.1y x =+

B.y x x =-

C.1y x

=

D.2

y x =-

3.已知角θ的终边经过点12P ?-????

，则角θ可以为（ ） A.

56

π

B.

23π

C.

116

π

D.

53

π 4.圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）

A.43

-

B.34

-

D.2

5.函数1

sin 12

x y x

π=-+在区间()6,6-内的零点个数为（ ） A.2

B.3

C.4

D.6

6.在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1A ，点B 在圆2

2

4x y +=上，则OA OB -的最大值为（ ）

A.3

B.1

C.2

D.4

7.设R α∈，则“α是第一象限角”是“sin cos 1αα+>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.设0a >，0b >.是3a 与3b 的等比中项，则13

a b

+的最小值为（ ）

A.

B.4

C.4+

D.8

9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，min t 后物体的温度θ℃可由公式()0.24010t

e

θθθθ-=+-求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却min t 后，物体的温度是

40℃，若ln 3取1.099，则t 的值约等于（ ）

A.6.61

B.4.58

C.2.89

D.1.69

10.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}

n a M ，

那么下列命题正确的是（ ） A.若{}n a M ，则数列{}n a 各项均不小于M B.若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M +

C.若{}n a M ，则{}2

2n a M

D.{}

n a M ，则{}2121n a M ++

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.若直线250x y --=与直线30x ay ++=相互平行，则实数a 等于______；这两条平行直线间的距离为______.

12.已知双曲线2

2

:14

y C x -=，则渐近线方程为______；离心率e 为______. 13.已知函数()2

ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：

①010x e <<

；②01

x e

>；③()000f x x +<；④()000f x x +>， 其中正确命题的序号是______.

14.能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为______.

15.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为______；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为______.

三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.（本小题满分14分）

已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设4log n n b a =.证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S . 17.（本小题满分14分）

已知椭圆2

2:14

x W y +=，直线l 过点()0,2-与椭圆W 交于两点A ，B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为

3

2

时，求线段OC 的长； （Ⅱ）当OAB △面积等于1时，求直线l 的斜率. 18.（本小题满分14分）

已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω???

??

=+>?

<满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6

x π

=是函数()f x 的对称轴；

③04f π??=

???

且在区间,62ππ??

???上单调；

（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,

3x π??

∈????

，求函数()f x 的最值. 19.（本小题满分14分）

已知抛物线2

2C y px =：过点()1,1P .过点10,2?

? ???

作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，

过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. 20.（本小题满分14分） 已知函数()2

ln 2f x x x x =-.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：存在唯一的()01,2x ∈，使得曲线()y f x =在点()()

00,x f x 处的切线的斜率为()()21f f -； （Ⅲ）比较()1.01f 与-2.01的大小，并加以证明. 21.（本小题满分15分）

已知集合(){1

2

1

2

,,,,,n n

n S x x x x x

x =

?????? }()1,2,3,2n n ???≥是正整数的一个排列，函数

()1,0,

1,0.

x g x x >?=?

-

称i b 为i a 的满意指数.排列12,,,n b b b ???为排列12,,,n a a a ???的生成列. （Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；

（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a ???和1

2,,,n a a a '''???为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ???，进行如下操作：将排列12,,,n a a a ???从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上 1-5：DBCAB

6-10：CCCBD

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.12

-

12.20x y ±=

13.①③

14.答案不唯一，例：3，

3

2

15.4，1π+

三、解答题：本大题共6小题，共85分 16.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >. 1分

因为28a =，3448a a +=， 两式相除得2

60q q +-=， 3分

解得2q =，舍去3q =-.

4分

所以2

14a a q

=

=. 6分

所以数列{}n a 的通项公式为11

12n n n a a q -+=?=.

7分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得41

log 2

n n n b a +==. 9分

因为1211

222

n n n n b b +++-=

-=， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为1

2

d =

的等差数列.

12分

所以()211324

n n n n n

S nb d -+=+=.

14分

17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当直线l

的斜率为

32时，直线l 的方程为3

22

y x =-.

由2232,214

y x x y ?

=-????+=??得251260x x -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,C x y . 则1212

5

x x +=

， 所以点C 的坐标065x =

，0031225

y x =-=-， 所以OC ==.

（Ⅱ）设直线1:2y kx =-，

由22

1,42x y y kx ?+=???=-?

，得()221416120k x kx +-+=， 所以()()()

2221648141643k k k ?=-+=-

1221614k x x k +=

+，122

12

14x x k

=+. AB ==2

14k =+.

原点O 到直线l 的距离

d =

所以OAB △面积为

2211221414AB d k k =?=++.

因为OAB △面积等于1，所以2114k =+，解得k =

带入判别式检验，符合题意，所以k = 18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由①可得，22π

πωω

=?=.

1分

由②得：6

2

2

6

k k πω

π

π

πω

?π?π+=+

?=+

-

，k Z ∈.

2分

由③得，

4

4

m m πω

πω

ωπ?π+=?=-

，m Z ∈

220322633

T πππππωω≥-=?≥?<≤ 4分

若①②成立，则2ω=，6

π

?=，()sin 26f x x π?

?

=+

??

?

. 5分

若①③成立，则4

2m m πω

π

?ππ=-=-，m Z ∈，不合题意.

6分

若②③成立，则()12662

6

4

k m m k π

πω

πω

ππω+-

=-

?=--≥，k Z ∈与③中的03ω<≤矛盾，所

以②③不成立.

8分

所以，只有①②成立，()sin 26f x x π??

=+ ??

?

. 9分

（Ⅱ）由题意得，()51

0213

6

6

62

x x f x π

π

π

π≤≤?

≤+

≤

?≤≤. 12分

所以，当6

x π

=

时，函数()f x 取得最大值1；

当0x =或3

x π

=

时，函数()f x 取得最小值

12

. 14分

19.（本小题满分14分）

（1）抛物线C 的方程为2

y x =，焦点坐标为1

,04?? ???，准线方程为14

x =-；（2）见解析. 【解析】（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12

p =

.

所以抛物线C 的方程为2

y x =.

抛物线C 的焦点坐标为1,04?? ???，准线方程为14

x =-. （2）由题意，设直线l 的方程为()1

02

y kx k =+

≠，l 与抛物线C 的交点为()11,M x y ，()22,N x y . 由21,2y kx y x ?

=+???=?

，得()2244410k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=

，1221

4x x k

=. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为()11,x y . 直线ON 的方程为2

2y y x x =

，点B 的坐标为2112,y y x x ?? ??

?. 因为21112112

1122

22y x y x y x x x y x x x +-+

-= 122112

2

11222kx x kx x x x x ????+++- ? ??

???= ()()

12212

1222

k x x x x x -++=

()222

112242k k k k x --?

+

=

0=，

所以21

112

2y x y x x +

=. 故A 为线段BM 的中点. 20.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）函数()2

ln 2f x x x x =-的定义域是()0,+∞，

导函数为()2ln 2f x x x x '=+-. [1分]

所以()11f '=-，又()12f =-，

所以曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为1y x =--. [4分]

（Ⅱ）由已知()()214ln 22f f -=-.

[5分]

所以只需证明方程2ln 24ln 22x x x +-=-在区间（1，2）有唯一解. 即方程2ln 4ln 20x x x +-=在区间（1，2）有唯一解.

[6分]

设函数()2ln 4ln 2g x x x x =+-，

[7分]

则()2ln 3g x x '=+.

当()1,2x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间（1，2）单调递增. [8分]

又()114ln 20g =-<，()220g =>， 所以存在唯一的()01,2x ∈，使得()00g x =.

[9分]

综上，存在唯一的()01,2x ∈），使得曲线()y f x =在点()()

00,x f x 处的切线的斜率为()()21f f -.

[10分]

（Ⅲ）()1.01 2.01f >-.证明如下：

[11分]

首先证明：当1x >时，()1f x x >--.

设()()()2

1ln 1h x f x x x x x =---=-+，

[12分]

则()'2ln 1h x x x x '=+-.

当1x >时，10x ->，2ln 0x x >， 所以()0h x >，故()h x 在()1,+∞单调递增，

[13分]

所以1x >时，有()()01h x h >=， 即当1x >时，有()1f x x >--. 所以()1.01 1.011 2.01f >--=-.

[14分]

21.（本小题满分15分） 解：

（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,-2,1,4,3.

4分

（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a ???的生成列是12,,,n b b b ???；1

2,,,n a a a '''???的生成列是与12,,,n b b b '''???. 从右往左数，设排列12,,,n a a a ???与1

2,,,n a a a '''???第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '= a ，

1111,,n n

k k a a a a --++''=???=，k k a a '≠. 显然n n

b b '=，11n n b b --'=，???，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠. 6分

由满意指数的定义知，

i a 的满意指数为排列12,,,n a a a ???中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数.

由于排列12,,,n a a a ???的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而

()121k b l k l l k =---=-+.

同理，设排列1

2,,,n a a a '''???中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+. 因为12,,,k a a a ???与12,,,k a a a '''???是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以l l '≠，从而k k

b b '≠. 所以排列12,,,n a a a ???和1

2,,,n a a a '''???的生成列也不同. 10分

（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a ???的生成列为12,,,n b b b ???，且k a 为12,,,n a a a ???中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以10b ≥，210,,0,1k k b b b -≥???≥≤-.

11分

依题意进行操作，排列12,,,n a a a ???变为排列1211,,,,,,,k k k n a a a a a a -+??????，设该排列的生成列为1

2,,,n b b b '''???.

13分

所以()()1

212n n b b b b b b '''++???+-++???+ ()()()()()12121k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-+???+---+???+-???????? ()()()1212k k k k g a a g a a g a a -=--+-+???+-???? 22k b =-≥.

所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2. 15分