新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.3简单复合函数的导数课后提升训练含解析人教A版必修二

第五章一元函数的导数及其应用

5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数

课后篇巩固提升

基础达标练

1.下列函数不是复合函数的是( ) A .y=-x 3-1x

+1 B .y=cos x+

π4

C .y=

1lnx

D .y=(2x+3)4

不是复合函数,B 、C 、D 均是复合函数,其中B 是由y=cos u ,u=x+π4

复合而成;C 是由y=1u

,u=ln x 复合而成;D 是由y=u 4,u=2x+3复合而成.

2.(2020安徽高二期末)函数f (x )=sin 2x 的导数是 ( )

A.2sin x

B.2sin 2x

C.2cos x

D.sin 2x

y=sin 2x 写成y=u 2,u=sin x 的形式.对外函数求导为y'=2u ,对内函数求导为u'=cos x ,故可以得到y=sin 2x 的导数为y'=2u cos x=2sin x cos x=sin2x ,故选D .

3.(2020福建高二期末)已知函数f (x )=sin2x

x

,则f'(x )=( )

A.xcos2x -sin2x

x 2

B.

xcos2x+sin2x

x 2 C.

2xcos2x -sin2x

x 2

D.

2xcos2x+sin2x

x 2

f (x )=sin2x

x ,故f'(x )=(sin2x )'x -sin2x ·x '

x 2

=

2xcos2x -sin2x

x 2

,故选C .

4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为( ) A.1

B .2

C .-1

D .-2

(x 0,x 0+1),依题意有{1

x 0+a

=1,

x 0+1=ln (x 0+a ),

由此得x 0+1=0,x 0=-1,a=2.

5.(多选)设函数f (x )=cos(√3x+φ)(0<φ<2π),若f (x )+f'(x )是奇函数,则φ的可能取值为( ) A.π

6

B.5π

6

C.7π

6

D.11π

6

解析f'(x )=-√3sin(√3x+φ),f (x )+f'(x )=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin √3x+φ+5π

6

.

若f (x )+f'(x )为奇函数,则f (0)+f'(0)=0, 即0=2sin φ+

5π6

,

因此φ+5π6

=k π(k ∈Z ).

又因为φ∈(0,2π),所以φ=π

6或φ=7π

6.

6.(2020海南中学高二期末)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x ),且f (ln x )在x=e 处的导数为1e

2,则f'(1)= .

g (x )=f (ln x ),由复合函数的求导法则可得g'(x )=1x

f'(ln x ).

由题意可得g'(e)=1

e f'(1)=1

e 2,解得f'(1)=1

e .故答案为1e .

7.若曲线y=x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 ,切线方程为 .

P (x 0,y 0).∵y=x ln x ,∴y'=ln x+x ·1x

=1+ln x.∴k=1+ln x 0.又k=2,∴1+ln x 0=2,∴x 0=e .∴y 0=elne=e.∴点P 的坐标是(e,e).故切线方程为y-e =2(x-e),即2x-y-e =0.

2x-y-e =0

8.(2020江苏高三开学考试)已知函数f (x )=m ln x 图象与函数g (x )=2√x 图象在交点处切线方程相同,则m 的值为 .

f (x )和

g (x )的交点为(x 0,y 0),

则由f (x )=m ln x ,得f'(x )=m

,

∴f (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 1=m

,

同理,函数g (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 2=√x

0x 0

,

∵f (x )和g (x )在交点处切线方程相同, ∴k 1=k 2,即m x 0

=

√x 0

x 0

,①

又y 0=f (x 0)=m ln x 0,② y 0=g (x 0)=2√x 0,③

由①②③解得,m=e .

9.求下列函数的导数. (1)y=e 2x+1;(2)y=

1(2x -1)

3;(3)y=5log 2(1-x );

(4)y=sin 3x+sin 3x.

函数y=e 2x+1可看作函数y=e u 和u=2x+1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(e u )'(2x+1)'=2e u =2e 2x+1.

(2)函数y=1

(2x -1)

3可看作函数

y=u -3和u=2x-1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(u -3)'(2x-1)'=-6u -4=-6(2x-

1)-4=-6(2x -1)

4.

(3)函数y=5log 2(1-x )可看作函数y=5log 2u 和u=1-x 的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(5log 2u )'·(1-x )'=-5

uln2=5

(x -1)ln2.

(4)函数y=sin 3x 可看作函数y=u 3和u=sin x 的复合函数,函数y=sin3x 可看作函数y=sin v 和v=3x 的复合函数.

∴y x '=(u 3)'·(sin x )'+(sin v )'·(3x )'=3u 2·cos x+3cos v=3sin 2x cos x+3cos3x.

能力提升练

1.

曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) A .1

3

B .12

C .2

3 D .1

解析依题意得y'=e -2x ·(-2)=-2e -2x ,y'

x=0=-2e

-2×0

=-2. 曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x ,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x 的图象,因为直线y=-2x+2与y=x 的交点坐标是23,2

3,直线y=-2x+2与x 轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于1

2×1×2

3=1

3.

2.已知点P 在曲线y=4

e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A.0,π4

B.π4,π2

C.

π2,3π4

D.

3π4

,π 解析因为

y=4e x +1,所以y'=-4e x (e x +1)

2

=

-4e x e 2x +2e x +1

=

-4e x +1e

x +2

.因为e x >0,所以e x +1

e x ≥2,所以y'∈[-1,0),所

以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈3π4

,π.

3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=12

x+b 能作为下列( )函数的图象的切线. A.f (x )=1

x B.f (x )=x 4 C.f (x )=sin x 2

D.f (x )=e x

f (x )=1x ,得f'(x )=-1

x 2=1

2,无解,故A 排除;

由f (x )=x 4,得f'(x )=4x 3=12

,故x=12

,即曲线在点

12,116

的切线为y=12x-316

,B 正确;

由f (x )=sin x 2

,得f'(x )=12

cos x 2

=12,取x=2k π,k ∈Z ,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=12

x ,C 正

确;由f (x )=e x ,得f'(x )=e x =12

,故x=-ln2,曲线在点-ln2,12

的切线为y=12

x+12

ln2+12

,D 正确,故选BCD .

4.曲线y=sin 2x 在点(0,0)处的切线方程为 .

y=f (x )=sin2x ,∴f'(x )=2cos2x.

当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2, 所以k=2.

所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.

x-y=0

5.函数y=ln e x

1+e

x 在

x=0处的导数为 .

ln e x

1+e x =lne x -ln(1+e x )=x-ln(1+e x ),则y'=1-e x

1+e x .当x=0时,y'=1-1

1+1=1

2.

6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.

x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=ln x-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=1

x

-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.

(x)=ln x-3x y=-2x-1

7.(1)已知f(x)=eπx sin πx,求f'(x)及f'1

2

;

(2)在曲线y=1

1+x2

上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.

∵f(x)=eπx sinπx,

∴f'(x)=πeπx sinπx+πeπx cosπx=πeπx(sinπx+cosπx).

∴f'1

2=πe

π

2sin

π

2

+cosπ

2

=πe

π

2.

(2)设切点的坐标为P(x0,y0),

由题意可知y'x=x

0=0.又y'=-2x

(1+x2)2

,

∴y'x=x

0=-2x0

(1+x02)2

=0.

解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.

素养培优练

用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).

f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2021,则有f(x)=g'(x).

而由等比数列求和公式可得g(x)=x(1-x 2021)

1-x =x-x2022

1-x

,于是f(x)=g'(x)=x-x

2022

1-x

'

=(1-2022x 2021)(1-x)+(x-x2022) (1-x)2

=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2

,

即1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020

=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2

.