《探索多边形的内角和》
探索多边形的内角和》是＜义务教育课程标准实验教科书＞北师大
版八年级上册第四章《四边形性质探索》第六节第一课时的内容。
一、背景分析
1、学习任务分析:
《四边形的性质探索》这一章章节结构是“平行四边形”、“特殊平行四边形”、“梯形”、“多边形的内角和及外角和”、中心对称图形、课题学习“平面图形的镶嵌”组成。本节是在学生七年级上册第三章探索用代数式表示规律，七年级下册第五章学习了三角形内角和定理及本章对特殊四边形内角和为360度有了初步了解的基础上来探索多边形的内角和，最后在下一课时探索多边形的外角和并建立其与内角和的联系，最后一节再将内角和公式应用于平面图形镶嵌分析解决相关生活实际问题。这一课时的教学内容很好地起到了让学生学习和体会“概念类比，特殊到一般，将未知转化为已知”的数学思想和方法，对于建立数学知识的逻辑联系和数学知识的实际应用起到了很好的桥梁作用。本节课很适合让学生在教师的引导下自主去探索和总结多边形内角和公式并初步掌握其应用，适合采用” 教师引导下的自主探究” 的教学方法。
2、学生情况分析：
（1）学生的年龄特点和认知特点：八年级学生大约十三四岁，思维活跃，学生好奇心、求知欲强，互相评价、互相提问的积极性高。学生对于传统的课堂教学方式比较厌倦，本节课采用教师引导下的自主探究方法，符合学生的认知特点，容易调动学生的学习积极性，满足学生的学习愿望。
2）学生对即将学习的内容的知识关联区：本节课让学生通过探
索得出多边形内角和公式。在此之前学生对探索数学规律并用代数式表示，三角
形、特殊四边形的内角和已经有了一定的理解和认识，并且对四边形可分割成三角形来研究初步有了一定的体会，因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生参加探索活动的热情已经具备，所以把这节课设计成一节探索活动课切实可行。估计学生在探究任意四边形内角和时会想到量、拼、分的方法，但是分割多边形为三角形这一过程由于分法的多样性会是学生学习的难点，也是培养学生数学思维灵活性的一个很好机会，所以在探究的过程中教师要切实重视恰当设问引导，注重激发学生的探索热情，以利于学生对本课涉及到的类比、转化、归纳等重要数学思想和方法有较深层的认识和体会，有效积累学生数学探索活动经验，增进学生数学学习和探究问题的信心和兴趣。
二、教学目标设计
依据新课标的要求，我设计本节课的教学目标为以下三个方面：1、【知识与技能】探索并掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想。
2、【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，通过把多边形转化为三角形来解决，体会转化思想的运用，通过边数的渐增，感受从特殊到一般的认识问题的方法，通过从不同角度寻求探索多边形内角和公式解决问题的方法，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
3、【情感态度与价值观】通过动手实践、相互交流，进一步激发学
习热情和求知欲望。让学生体验猜想得到证实的成功喜悦感和成就感，
在解题中感受到生活中数学无处不在，体验数学学习中充满着探索和创造.
教学重难点
【教学重点】多边形内角和定理的探索和应用。
【教学难点】多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；类比、
转化、归纳的数学思维方法的渗
透。
三、课堂结构设计
本节课分成六个环节：
第一环节创设情景、引入新课：
第二环节概念形成，提出问题：
第三环节自主探究多边形的内角和：
第四环节应用新知思维升华：
第五环节归纳总结畅谈收获：
第六环节布置作业继续提升：
四、教学媒体设计
本节课用多媒体课件这一教学媒体，最大限度的调动学生的学习积极
性，为突出重点突破难点提供帮助。另外再利用实物展台展示学生探究
成果，提高学生探索活动的热情，让学生体验探索成功的喜悦。
五、教学过程设计:
第一环节创设情景、引入新课：
1、首先展示生活中的多边形实例：广场中心的五边形边缘，蜜蜂六边形的窝，引导学生观察，感受生活中多边形无处不在，数学与生活紧密相连。
2、智力问题：一个四边形的桌面，用锯子锯掉一个角，还剩几个角？
通过现实情境的模拟展示，调动学生学习兴趣，并着手把学生的注意力自然的引入研究方向，引出本节课题，激发学生探求多边形内角和的欲望。
第二环节概念形成，提出问题：
1、借助多媒体显示多边形，学生类比三角形的有关概念对多边形进行定义、并表示出相应的元素．
2．教师再给出严格规范的定义，并借助学具说明“在平面内” 的必要性．此外，说明正多边形的定义以及多边形可分为凸多边形和凹多边形．
对于边角这些能在图形中识别而又不要求学生掌握的描述性定义，采取学生类比三角形的表示方法来归纳，渗透类比的数学思想．借助于自制的直观教具，说明多边形定义中“在平面内”这一条件，易于学生理解，化解了难点．
第三环节自主探究多边形的内角和：
1、提出问题：三角形的内角和是多少度？长方形、正方形的内角和等于多少
度？平行四边形、梯形的内角和等于多少度？任意四边形的
内角和等于多少度呢？任意多边形的内角和是多少度呢？你能设法说明你猜测的正确性吗？通过提问建立学生与已有知识的联系，引导学生从特殊四边形的内角和猜测任意四边形的内角和等于360 度并从四边形开始研究多边形的内角和．
2、利用三角形探索四边形内角和（以四人小组为单位展开探究活动）活动一：利用四边形探索四边形内角和利用三角形的知识探索四边形内角和等于多少度？你能想到几种办法？
活动计划
1.四人小组合作，在纸上完成四边形的分割．
2 . 探究不同的分割方式所得到的四边形内角和．注意事项
1 . 用直尺作图，分割线条用虚线“ ”表示．
2 . 尽可能多地想出不同的方法求其内角和．活动要求：先独立思考再小组合作交流完成．）（师巡视，了解学生探索进程并适当点拨．）（生思考后交流，把不
同的方案在纸上完成．）
组间交流，教师课件展示几种方法。你是怎样得到的？你能找到几种方法？学生
可能找到以下几种方法：①“量”一一即先测量四边形四个内角的度数，然后求
四个内角的和。②“拼”一一即把四边形的四个内角剪下来，拼在一起，得到
一个周角；③“分”一一即通过添加辅助线的方法，把四边形分割成三角形。这
一环节要给予学生充分的探究时间，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的
语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。鼓励学
生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决。让学生体验数学活动充满探索，体验解决问题策略的多样性。然后由各小组
成员汇报探索的思路与方法，讲明理由。此环节为了节省学生在黑板前重新画图
的时间，可以让学生利用实物展台展示图形，亮出观点，鼓励学生接受别人观
点的同时，乐于表达自己的观点，发展学生的语言表述能力。
教师帮助学生反思：在刚才的探索活动中，大家有不同的方法求四边形的内角和，这些看似不同的方法有没有相似之处？学生积极思考，大胆发言，教师给予正确的评价和鼓励。
进而引导得出：我们是把四边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为1800，求出四边形内角和为360°，从而使问题得到解决！借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和，这是数学学习中的一种常用的转化思想方法。
活动二：探索五边形的内角和选一种你喜欢的上述分割的方法，求出五边形、六边形、七边形的内角之和。学生先独立思考，再分组活动。教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况。然后由各小组成员利用实物展台汇报探索的思
路与方法，讲明理由。通过增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化
思想方法的理解，体会由简单到复杂，由特殊到一
般的思想方法。同时，在四边形的基础上，探索连续整数边数的多边形的内角和与边数间的关系。为活动 3 归纳n 边形的内角和准备素材。让学生选择一种方法求内角和的目的也是为活动 3 奠定基础，便于公式的
总结。但是还是有可能出现其它的解决问题的办法，比如：由四边形内角和求五边形内角和，由五边形内角和再求六边形内角和，依次类推，但是这种方法给活动 3 公式的得出带来困难。所以教师要因势利导，给学生正确的评价。在探索的过程中再一次培养学生的推理能力和表达能力，以及选择解决问题的最佳方法的能力。
活动三：归纳n 边形内角和公式
想一想：n 边形的内角和怎样表示呢？学生独立思考的基础上分组活动，解决问题。也有可能出现刚才那种解决问题的办法，教师要因势利导，给予学生正确的评价。学生可能会归纳总结得出多边形的内角和等于以下不同形式的公式：?(n-2) -180°② 180°- n-360 °③ 180°- ( n -1 )- 180 °
通过任意多边形转化为三角形的过程，发展学生的空间想象能力。通过多边形内角和的探索，让学生从特殊到一般归纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。在探索的过程中，再一次发展学生的推理能力和表达能力，在交流与合作的过程中，感受合作的
重要
第四环节应用新知思维升华：
1、抢答
（1）正八边形的内角和为___________ .
（2）. 已知多边形的内角和为900 °，则这个多边形的边数为
3）. 多边形的边数增加一条，内角和就增加____________ 。
4）. _____ 边形内角和是四边形内角和的 2 倍。
5）一个多边形每个内角的度数是150 °，则多边形的边数是
这五道比较基本，可采用抢答的形式完成，目的是复习今天所学，了解学生学习效果。
通过新颖的形式激发学生的竞争意识和主动参与活动的热情。学生利用当堂所学的知识解决问题，巩固本节知识。目的是检验学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，发展学生的推理能力和语言表述能力，给学生获得成功体验的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的自信心。
2、学以致用：
（1）小明有一个设想：
2008 年奥运会在北京召开，要是能设计一个内角和是2008°的多边形
花坛该多有意义啊！小明的这个想法能实现吗？
（2）如图，用怎样的方法可以求出 / D+ / F = ?