浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)【名校笔记+课后习题+考研真题】第12章 随机过程及其统计描述
第12章随机过程及其统计描述
12.1复习笔记
一、随机过程的统计描述
1．随机过程的数字特征
（1）随机过程的数字特征（见表12-1-1）
表12-1-1随机过程的数字特征
（2）数字特征之间的关系
①2()(,)
X X t R t t ψ=②121212(,)(,)()()
X X X X C t t R t t t t μμ=-③当12t t t ==时，22()
(,)(,)()X X X X t C t t R t t t σμ==-2．二维随机过程的分布函数和数字特征
（1）相互独立
?n ，m ∈N ＋，?1212,,,,',',,'n m t t t T t t t T ∈∈ ，n 维随机变量12((),(),,())n X t X t X t 与m 维随机变量12(('),('),,('))m Y t Y t Y t 相互独立，则X（t）和Y（t）是相互独立的。
（2）二维随机过程的数字特征
①二阶混合原点矩（互相关函数）
121212(,)[()()],,XY R t t E X t Y t t t T
=∈②互协方差函数
121122121212(,){[()()][()()]}
(,)()(),,XY X Y XY X Y C t t E X t t Y t t R t t t t t t T
μμμμ=--=-∈12,t t T ?∈恒有12(,)0XY C t t =?随机过程X（t）和Y（t）是不相关的。
③三个随机过程X（t），Y（t）和Z（t）之和的情形
()()()()
W t X t Y t Z t =++()()()()
W X Y Z t t t t μμμμ=++1212121212121212121212(,)[()()]
(,)(,)(,)(,)(,)
(,)(,)(,)(,)
WW XX XY XZ YX YY YZ ZX ZY ZZ R t t E W t W t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R t t ==++++++++二、泊松过程及维纳过程
1．独立增量过程
（1）独立增量过程的性质
若{X（t），t≥0}是独立增量过程，且X（0）＝0，则：
①X（t）的有限维分布函数族可以由X（t）－X（s）（0≤s＜t）的分布所确定。②设D X （t）已知，则(,)(min{,})
X X C s t D s t =
2．泊松过程
（1）定义一
若N（t）满足如下条件：
①在不相重叠的区间上的增量具有独立性；
②对于充分小的△t
1(,){(,)1
}()P t t t P N t t t t o t λ+?=+?==?+?其中λ＞0称为N（t）的强度，o（△t）为△t→0时△t 的高阶无穷小；
③对于充分小的△t
22(,){(,)}()
j j j P t t t P N t t t j o t +∞+∞
==+?=+?==?∑∑④N（0）＝0。
则计数过程{N（t），t≥0}称为强度为λ的泊松过程。
（2）定义二
若计数过程{N（t），t≥0}满足下列三个条件：
①是独立增量过程；
②?t＞t 0≥0，N（t）－N（t 0）～π（λ（t－t 0））；
③N（0）＝0，
则称{N（t），t≥0}是一强度为λ的泊松过程。
（3）定理
①定理一
强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且共同服从同一个指数分布。
②定理二
如果任意连续出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布，则质点流构成了强度为λ的泊松过程。
3．维纳过程
（1）定义
给定二阶矩过程{W（t），t≥0}，如果它满足
①具有独立增量；
②?t＞s≥0，2
()()~(0,())W t W s N t s σ--，且0σ>；③W（0）＝0，
则称此过程为维纳过程。
（2）性质
①维纳过程是齐次（时齐）的独立增量过程；
②维纳过程是正态过程，其分布完全由均值函数和自协方差函数确定。
（3）维纳过程的数字特征
①均值
[()]0
E W t =②方差函数
2()W D t t
σ=③自协方差函数（自相关函数）
2(,)(,)min{,},,0
W W C s t R s t s t s t σ==≥
12.2课后习题详解
1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程
cos ,,()2,
,t H X t t t T π?=-∞<<+∞
??出现出现假设P（H）＝P（T）＝1/2，试确定X（t）的
（1）一维分布函数F（x；1/2），F（x；1）；
（2）二维分布函数F（x 1，x 2；1/2，1）。
解：（1）由X（t）的定义0,121,H X T
???=? ????出现出现
这一离散型随机变量的分布律为表12-2-1其分布函数为
0,011;,01221,
1x F x x x
()1,12,H X T
-?=??出现出现其分布律为
表12-2-2
分布函数为
0,11(;1),1221,
2x F x x x <-???=-≤
是一个二维离散型随机变量，且当硬币出现H 时，它的取值为（0，－1）；当硬币出现T 时，它的取值为（1，2），由于硬币出现H，出现T
的概率均为1/2，因此
X（1/2）与X（1）的联合分布律为
表12-2-3
图12-2-1
()1,12X X ???? ? ?????
的分布函数为121211(,;,1){(,(1)}22
F x x P X x X x =≤≤由图12-2-1知