2020年全国I卷理科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（I 卷）试题及解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= ( )
D.2 解析：把Z=1+i ，代入计算
222(1)2(1)(1)(12)(1)(1)112z z i i i i i i -=+-+=++-=+-+=--=
正解答案为D
或者 22222211(1)1(11)12z z z z z i -=-+-=--=+--=
这里是凑好了一个完成平方的形式，正好抵消了1
点评：这是复数的计算题，掌握复数的运算法则就可以，属于送分题。
2.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =
( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
解析：解不等式，集合{|22}A x x =-≤≤
集合{|/2}B x x a =≤-
而 {}21A B x x =-≤≤，由此可以看出交集的下限是A 集合的-2，上眼1应该
是B 集合的，也集12a -
= ，解得a=-2。正确答案为B
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一
个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底
面正方形的边长的比值为（ ）
A. 51-
B. 51-
C. 51+
D.
51+ 解析：
设正四棱锥的顶点为H ，底面正方形为ABCD ，中心为O ，AB 的中点F ，则求x=HF/AB 的值，示意图。
面积关系：21*2
HAB OH S AB HF ?==， 三角形HOF 为直角三形，由勾股定理：22214HF OH AB =+
则，2211*24
HF AB HF AB =+ 把x=HF/AB 代入式中 24210x x --=
解得154
x += 点评：不要被金子塔吓着，其实题目和它没什么关系，就是考查正四棱锥的几何关系，不题不算难，但过程还是有点复杂，对四棱锥的结构一定要非常熟悉，思
路一定要清晰。
4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y
轴的距离为9，则p =（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解析：设A 点到y 轴的距离用AY 表示，此抛物线的准线为X=-p/2
根据抛物线的定义：
AF=AX+p/2 12=9+p/2,p=6
正确答案为C
点评：本题就是考查抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，准线为x=-p/2,非常容易。
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο
）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）
A ．y a bx =+
B ．2
y a bx =+
C ．x y a be =+
D ．ln y a b x =+
解析：分析图形，中间有一个转折点，前段和后段都可以用直线，而对数函数有这样的特性。A 是直线，差距非常大，B 是抛物线，不满足，C 是指数函数，增加是变快的，因些只有D 比较符合要求。
点评：这道题看起来比较难，又没办法求解，实质是考查对几个常见函数的图像的熟练程度。
6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）
A ．21y x =--
B ．21y x =-+
C ．23y x =-
D ．21y x =+
解析：(1)121f =-=-，所以切线过点（1，-1）
对f(x)进行求导，并把点X=1的斜率求出来，可得
321'(1)46|462x f x x x ===-=-=-
根据斜率和切点可以写出直接方程为21y x =-+
点评：本题考查函数的导数的计数，直线方程的写法，属于容易题
7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）
A.
109
π B. 76
π C. 43
π D. 32π 解析：由于在(,0)π-还没有相关，在左下半部分在(,0)π-点到4(,0)9
π-这段区间， 45()299T πππ≥---= 即109
T π≥
所以周期T 的范围：101399
T ππ<<
由图像可知2422T T πππωω=
<<= 解得12ω<<
函数f(x)过点4,09π??- ???
，代入可得 44()cos()0996
f πππω-=-+=，则 4()962
k k Z πππωπ-+=+∈ 394
k ω+=- 由些可得k=-1 39342
ω-=-= 由些可计算周期243
T ππω== 点评：本题全面考查正弦函数的周期、角频率、三角函数值和图形，是一道比较综合的题目，对任何一个知识点不熟练都有可能出错。 8. 25()()y x x y x
++的展开式中33x y 的系数为( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
解析：5()x y +展开的通项公式
515r r r r T C x y -+=
当 r=1时，2
14
1
335*5y C x y x y x = 当r=3时，323335
*10C x y x x y = 所以展开后的系数为10+5=15
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题。
9. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）
B. 23
C. 13
解析：用倍角公式化解可得，
23(2cos 1)8cos 5αα--= ，进一413()99
T πππ<--=步化简可得
23cos 4cos 40αα--=，解得 2cos ,cos 23αα=-=(舍去) 所以可得5sin α= 点评：本题是考查倍角公式和三角函数的一些计算，难度不算大。
10. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为( ).
A. 64π
B. 48π
C. 36π
D. 32π
解析：
圆O1的面积为4π，则半径为2，
也即O1A=O1B=O1C=2,123AB BC AC OO ====
则O1OC 构成了直角三角形,OC 为斜边
2221112416OC OO O C =+=+=
球O 的表面积2464S R ππ==
11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:220,l x y p ++=为l 上的动点.过点
p 作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为（ ）
A. 210x y --=
B. 210x y +-=
C. 210x y -+=
D. 210x y ++=
解析：示意图如下:
利用面积转化法
1**22
PAMB S PM AB PA AM PA ====所以当PM 最小时,PM AB 的乘积会最小.
也即过M 点作直线l 的垂线，交点即为P ，这时的PM 为最小值，直线AB 与l 线是相互平行的。
根据作图可知它与y 轴的交点在x 轴下方，也即D 符合要求。
正确答案为D
点评：本题过程有点复杂，要求对平面几何的知识非常熟练，学会画草图解决实际问题。
12.若a 242log 42log b a b +=+则（ ）
A.a>2b
B.a<2b
C.a>2b
D.a<2b
解析：变形可得 222222222log 2log 2log log 22log 2a b b b a b b b +=+<++=+ 设2()2log x f x x =+ 则f(x)为单调递增的函数
所以222()2log (2)2log 2a b f a a f b b =+<=+
即()(2)f a f b <，根据它的单调递增的特点，可得
a<2b,即B 为正确答案
选择题的巧妙解法：
令b=1,则等式右边=4，则22log 4a a += 由些可以判断 1 可以排除A 和D 两个选项 同理可以令a=1,来计算b 的值。 点评：本题的关键在于根据对称性，熟练运用对数和指数的计算关系，构造出f(x),再利用单调性和不等式之间的关系。本题综合性较强，如果思路不对比较难解出来。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤??--≥??+≥? 则z=x+7y 的最大值为 1 。 解析：目标函数y 前的系数较大，对目标函数影响较大，重点y 考查y 的最大值，即y 小于等于XXX ，想方设法消掉x, 2式，变化2x-2y-2>=0,-2x+2y+2<=0 1式+2式，可得30y ≤，即y 的最大值为0 再把y=0代入约束条件，x<=1(1式)，x>=1,因些x=1 代入目标函数可求得最大值为1. 14.设a ，b 是单位向量，且︱a+b ︱=1,则︱a-b ︱ 解析： 22221a b a ab b +=++= 因为a,b 单位向量，所以他们的模为1，即1,1a b == 所以2ab =-1, ()31)1(12222=+--=+-=-=-b ab a b a b a 点评：平面向量的基本计算，属于比较简单的题目。 15.已知F 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__2________. 解析：如下图，F 的坐标为（c,0），A （a,0） 把F 点代入双曲线，得 22 221c y a b -= 解得2b y BF a == 设AB 的斜率为k 2 22 3b b a k c a ac a ===-- 化简得：222233ac a b c a -==- c e a ===为双曲线的斜率) 2320e e --= 解得e=2,或e=1(舍去) 点评：属于常规题，不算难，但有一定的计算量，平时训练的时候要加强计算，提高准确率。 16.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，AB AD ==AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=，则cos FCB ∠=__-1/4_____. 解析：还原图形,对应的原来的P-ABC AB AD AE ===,CE=CF=1,BF BD ==在三角形FCB 中应用余弦定理： 2224161cos 2*2214 BC CF BF FCB BC CF +-+-<===-?? 点评：本题的关键是把展开的图与原来的图对应起来，找出它们之间的线段长度对应的关系，然后应用余弦定理来求解。 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人 跃华 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=U A B x x D ．A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x = 3. 设有下面四个命题（） 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+，则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确； 3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13， 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（全国II 卷） 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．1212i i +=-（）（A ）4355i --（B ）4355i -+（C ）3455i --（D ）3455 i -+ 2．已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） （A ）9 （B ）8 （C ）5（D ）4 3．函数()2x x e e f x x --=的图像大致为（） 4．已知向量,a b 满足||1a =，1a b ?=-，则() 2a a b ?-=（） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）0 5．双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（） （A ）2y x =±（B ）3y x =±（C ）22y x =±（D ）32 y x =± 6．在ABC ?中，5cos 25 C =，1BC =，5AC =，则AB =（） （A ）42（B ）30（C ）29（ D ）25 7．为计算11111123499100 S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（） （A ）1i i =+ （B ）2i i =+ （C ）3i i =+ （D ）4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+。在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）（A ）112（B ）114 （C ）115（D ）118 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3） 2．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 3．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） 《 A．B．C．D． 5．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．（5分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）（2016?新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（） A．B．C． D． 8．（5分）（2016?新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c : C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）（2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（） 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第I 卷 一．选择题 （1）复数2 31i i -?? = ?+?? （A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1) (1)2 x y x +-= >的反函数是 （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈ （3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -?? ??+? ≥≥≤，则2z x y =+的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （5）不等式 26 01 x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 （7）为了得到函数sin(2)3 y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像 （A ）向左平移 4π个长度单位 （B ）向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移 2π个长度单位 （D ）向右平移2 π 个长度单位 （8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r （A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355 a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A ）1 （B （C ）2 （D ）3 （10）若曲线1 2 y x -=在点12,a a -? ? ??? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18， 则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 2014·全国卷(理科数学) 1．[2014·全国卷] 设z ＝ 10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i 1．D [解析] z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－ 3i. 2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0] 2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则 A ． B ． C ． D 2．已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 1i 2i 1i z -= ++||z =01 2 1{} 2 20A x x x =-->A =R e{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->U }{}{|1|2x x x x ≤-≥U 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和.若，，则 A ． B ． C ． D ． 5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则 A ． B ． C ． D ． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =u u u r 3144AB AC -u u u r u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144 AB AC +u u u r u u u r 1344 AB AC +u u u r u u u r M A N B M N 全国卷理科数学及答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第I 卷 一．选择题 （1）复数2 31i i -??= ?+?? （A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈ （3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -????+? ≥≥≤，则2z x y =+的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （5）不等式2601 x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 （7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 2018年普通高等学招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。 1、设z=，则|z|= A、0 B、 C、1 D、 2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A= A、{x|-1 4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程 为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则= A、-- B、-- C、-+ D、- 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点 为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A、 B、 C、3 D、2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 ·= A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直 径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则 ?p1=p2 ?p1=p3 ?p2=p3 ?p1=p2+p3 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1．若z=1+i，则|z2–2z|= A．0 B．1 C D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A B C D 4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度 x y i=得到下面的散点图： 条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20) i i 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程 类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+ D ．ln y a b x =+ 6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6 f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为 A ． 10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π 2 8．2 5()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A B ．23 C ．1 3 D 10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π， 1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 11．已知⊙M ：2 2 2220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切 线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ?最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++= 12．若242log 42log a b a b +=+，则 A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b < 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ） A .18 B .38 C .58 D .78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始 边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ， 将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的 图像大致为（ ） 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ） A .203 B .165 C .72 D .158 8.设(0,)2πα∈，(0,)2 πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32π αβ-= B .22π αβ-= C .32π αβ+= D .22π αβ+= 9.不等式组124 x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个命： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3p ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是（ ） A .2p ，3p B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交 点，若4FP FQ =u u u r u u u r ，则||QF =（ ） A .72 B .52 C .3 D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ） A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1） 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） A .62 B .42 C .6 D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13.8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ ??? ??∞+，23绝密★启用前 试卷类型：A XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） 理科数学 本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 第★卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合A ={x|x 2﹣4x +3﹤0}，B={x|2x ﹣3﹥0}，则A ∩B= （A ）??? ??--233， （B ）??? ??-233， （C ）??? ??-231， （D ）?? ? ??323， 【参考答案】D 【解析】对于集合A 所给出的二次方程的解为（1,3），对于集合 B 的解为 所以 （2）设（1+i ）x =1+y i ，其中x ，y 是实数，则|x+y i|= （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【参考答案】B 【解析】将左端展开为x +x i ，与右端比较，对应系数相等。所以 x =1，y =1.所以|x+y i|=222=+y x . （3）已知等差数列{a n }的前9项的和为27，a 10=8，则a 100= （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【参考答案】C 【解析】()272 9919=+=a a S ，所以62591==+a a a ，a 5=3，进而?? ? ??=?323，B A 年全国卷理科数学解析版 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科 （新课标Ⅱ卷） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合M=｛0,1,2｝，{ } 023|2 ≤+-=x x x N ，则N M I =( ) {}1.A {}2.B {}1,0.C {}2,1.D 2. 设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =( ) 5.-A 5.B i C +-4. i D --4. 3. 设向量a ,b 满足|a +b |=10，|a -b |=6，则a ?b =( ) 1.A 2.B 3.C 5.D 4. 钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) 5.A 5.B 2.C 1.D 5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 7. 执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S=( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 设曲线)1ln(+-=x ax y 在点(0,0)处的切线方程为x y 2=，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设x,y 满足约束条件?? ? ??≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则2z x y =-的最大值为( ) A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 10. 设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A. 334 B. 938 C. 6332 D. 94 11. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为( ) A. 110 B. 25 C. 3010 D. 22 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题 5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1i 1. 设z 2i ，则z 1i 1 A.0 B. C.1 D. 2 2 2. 已知集合A x |x2 x 2 0 ，则C R A A. x | 1 x 2 B. x|1x2 C. x|x 1 x|x2 D. x|x 1 x| x 2 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记S n为等差数列a n 的前n项和，若3S3 S2 S4，a1 2，则a5 A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数f x x3 a 1 x2 ax ，若f x 为奇函数，则曲线y f x 在点0,0 处的切 绝密★启用 前 则下面结论中不正确的 是 线方程为 10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC ， ABC 的三边所围成的区域 记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分 别记为 p 1, p 2, p 3 ，则 A. y 2x B.y x C.y 2x D. y x 6.在 ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB 3 1 1 3 A. AB AC B. AB AC 4 4 4 4 3 1 1 3 C. AB AC D. AB AC 4 4 4 4 7.某圆柱的高为 2，地面周长为 16，其三视图如右图，圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视 图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中， 最短路径的长度为 A.2 17 B.2 5 C.3 D.2 则 FM FN A.5 B.6 C.7 9.已知函数 f e x ,x 0 x ,g x ln x,x 0 fx 围是 A. 1,0 B. 0, 2 2,0 且斜率为 的直线与 C 交于 M ,N 两点， 3 D.8 x a ，若 g x 存在 2 个零点，则 a 的取值范 C. 1, D. 1, 8.设抛物线 C: y 2 4 x 的焦点为 F ，过点 2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变 化情况,统计了该地区系农村建设前 后农村的经济收入构成比例。得到 如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视 图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面 上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数 字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值 2020年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷理） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1. 若i 1+=z ，则=-|2|2z z A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 2. 设集合}04|{2≤-=x x A ，}02|{≤+=a x x B ，且}12|{≤≤-=x x B A ，则=a A. - 4 B. - 2 C. 2 D. 4 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 A. 4 15- B. 2 15- C. 4 15+ D. 215+ 4. 已知A 为抛物线)0(2:2>=p px y C 上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9， 则p = A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同 的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据)20,,2,1)(,( =i y x i i 得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是 A. bx a y += B. 2bx a y += C. x b a y e += D. x b a y ln += 6. 函数342)(x x x f -=的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为 A. 12--=x y B. 12+-=x y C. 32-=x y D. 12+=x y 7. 设函数)6 cos()(πω+=x x f 在],[ππ-的图像大致如下图，则)(x f 的最小正周期为 A. 9 10π B. 6 7π C. 3 4π D. 2 3π 8. 52 ))((y x x y x ++的展开式中33y x 的系数为 A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 已知),0(πα∈，且5cos 82cos 3=-αα，则=αsin A. 35 B. 32 C. 31 D. 9 5 10. 已知A 、B 、C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为ABC ?的外接圆。若⊙O 1的面积为π4， 1OO AC BC AB ===，则球O 的表面积为 A. π64 B. π48 C. π36 D. π32 11. 已知⊙M ：022222=---+y x y x ，直线022:=++y x l ，P 为l 上的动点。过点P 做⊙M 的切 线P A 、PB ，切点为A 、B ，当||||AB PM ?最小时，直线AB 的方程为 A. 012=--y x B. 012=-+y x C. 012=+-y x D. 012=++y x 12. 若b a b a 42log 24log 2+=+，则 A. b a 2> B. b a 2< C. 2b a > D. 2b a < 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若x 、y 满足约束条件?? ???≥+≥--≤-+,01,01,022y y x y x 则y x z 7+=的最大值为____________。 14. 设a 、b 为单位向量，且1||=+b a ，则=-||b a __________。 15. 已知F 为双曲线)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴。若AB 的斜率为3，则C 的离心率为_________。全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
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