2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析

2016考研数学（一）真题及答案解析

考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞

=，则221lim lim n n n n x x a +→∞

→∞

==

（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞

→∞

==，则lim n n x a →∞

=

（C ）若lim n n x a →∞

=，则321lim lim n n n n x x a -→∞

→∞

==

（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞

→∞

==，则lim n n x a →∞

=

【答案】（D ） （2）设211

()23

x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则

（A ）3,2,1a b c =-==- （B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）

【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。故选A 。

（3）若级数1

n

n n a x

∞

=∑在2x =处条件收敛，则x =

3x =依次为幂级数1

(1)n n n na x ∞

=-∑的

（ ）

（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数

1

n

n n a x

∞

=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，

1

(1)

n

n

n na x ∞

=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为

13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1

(1)n n n na x ∞

=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。

（4）下列级数发散的是（ ） （A ）

18

n

n n

∞

=∑

（B

）

1

1)n n ∞

=+

（C ）2

(1)1

ln n n n ∞

=-+∑

（D ）

1

!n n n n ∞

=∑ 【答案】（C ）

【解析】（A ）12212 (888)

n n n n

S u u u =+++=

+++， 231211127111817()......(1())8888888884988

n n n n n n n n n n n S S S ++=+++?=+++-?=--，8

lim 49

n n S →∞=存在，则收敛。

(B)33122

111

)n n u n n n

∞

==

+?∑:收敛，所以（B ）收敛。 （C ）222(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞

∞∞===-+-=+∑∑∑，因为22

(1)1

,ln ln n n n n n ∞

∞==-∑∑分别是收敛和发散，所以2

(1)1

ln n n n ∞

=-+∑发散，故选（C)。 （D)!,n n n u n =11lim lim 11n

n n n n u n e u n -+→∞→∞??

==< ?

+??

，所以收敛。 （5）设矩阵22

111112,14A a b a αα????????==????

????????

，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（ ） （A ）,a α?Ω?Ω （B ）,a α?Ω∈Ω （C ）,a α∈Ω?Ω （D ）,a α∈Ω∈Ω 【答案】（D ）

【解析】Ax b =有无穷多解?()()

3,0r A r A A =

12a a ==或

当1a =时，2211111111121010114100032A ααααα????

? ?

=→- ? ? ? ?-+????

M M M M M M

从而2

32=0=1=2αααα-+?或时Ax b =有无穷多解

当2a =时，2211111111122011114400032A ααααα???? ? ?

=→- ? ? ? ?-+????

M M M M M M

从而2

32=0=1=2αααα-+?或时Ax b =有无穷多解 所以选D.

（6）二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222

1232y y y +-，其中

123(e ,e ,e )P =，若132(e ,e ,)Q e =-，123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准型为（ ）

（A ）2221232y y y -+ （B ）222

1232y y y +- （C ）222

1232y y y -- （D ）222

1232y y y ++

【答案】（A ）

【解析】由已知得222

123123(,,)2T T f x x x Y P APY y y y ==+-，232(1)Q PE E =-，

从而

123223232(,,)(1)(1)T T T T

T T f x x x Y Q AQY Y E E P APE E Y

==--222

223232123(1)(1)2T T Y E E P APE E Y y y y =--=-+，其中23100001010E ??

??=??????，

2100(1)010001E ??

??-=-??

????

均为初等矩阵，所以选A 。

（7）若,A B 为任意两个随机事件，则 （A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥

（C ）()()

()2

P A P B P AB +≤

（D ）()()

()2

P A P B P AB +≥

【答案】（C ）

【解析】排除法。若AB =Φ，则()0P AB =，而(),()P A P B 未必为0，故

()()

()()(),

()2

P A P B P A P B P AB P AB +≥≥，故,B D 错。

若A B ?，则()()()()P AB P A P A P B =≥，故A 错。

（8）设总体123(,),,,X B m X X X θ~为来自该总的简单随机样本，X 为样本均值，则

21()n i i E X X =??-=????

∑ （A ）(1)(1)m n θθ--

（B ）(1)(1)m n θθ-- （C ）(1)(1)(1)m n θθ--- （D ）(1)mn θθ- 【答案】（B ） 【解析】

()()221211(1)1(1)(1)

n

i i n

i i E X X ES DX m n E X X m n θθθθ==??-===-??-???

??-=--????

∑∑

二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．

指定位置上)． （9）20ln(cos )

lim

x x x

→=_____. 【答案】1

2

-

【解析】2000sin ln cos 1sin 1cos lim lim lim 22cos 2x x x x

x x x x x x x →→→-

==-=- (10) 22sin 1cos x x dx x

π

π-

??

+= ?+???_______.

【答案】2

4

π

【解析】

222222

02222sin sin sin 21cos 1cos 1cos 4x x x x dx dx xdx dx xdx x x x π

ππππ

πππππ----??+=+=+= ?+++??????? (11) 若函数(,)z z x y =有方程cos 2z

e xyz x x +++=确定，则(0,1)

dz =_______.

【答案】dx -

【解析】对cos 2z

e xyz x x +++=两边分别关于,,x y z 求偏导，并将(0,1)这个代入，得到

(0,1)(0,1)

1,

0z

z x

y

??=-=??，所以(0,1)

dz

dx =-。

（12）设Ω 是由 1x y z ++= 与三个坐标平面所围成的空间区域，则

()23x y z dxdydz Ω

++=???

【答案】

14

【解析】由对称性，

()1

2366,Z

D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω

Ω

++==?????????

其中

Z D 为平面 z z = 截空间区域 Ω所得的截面

其面积为 21

(1)2z -

所以：

()()1

1232

00112366(1)3224x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ

++==-=-+=???????? (13) n 阶行列式20021202

_______00220

012

-=-L

L

M M O

M M L L

【答案】1

2

2n +-

【解析】按第一行展开得

111122221120021202

00220

012

2(1)2(1)222(22)222222222

n n n n n n n n n n D D D D D +------+-=-=+--=+=++=++=+++=-L L M M O

M M L

L

L

（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0),N 则{}0.P XY Y -<=

【答案】

12

. 【解析】由0,XY ρ=故,X Y 独立。

{}(){}(){}(){}

(){}{}(){}{}01010,010,0100100.11111

.22222

P XY Y P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y -<=-<=-<>+-><=-<>+-><=?+?=

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）设函数3

()ln(1)sin ,(),f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时为等价无穷小，求,,a b k 的值。 【解析】由题意，

3/1,2/1,1)()(6/3/)2/()1(lim ))(6/())(3/2/(lim 1sin )1ln(lim 1

)

()

(lim

3434320333332030x 0x -=-=-=?=++-+-++?=+-+++-+?=+++?=→→→→k b a k x x o x o bx ax x a b x a k x

x o x x bx x o x x x a x kx

x bx x a x x g x f x x （16）计算二重积分()D

x x y dxdy +??

，其中{}

222

(,)2,D x y x y y x =+≤≥。 【解析】

1

22()2D

D

D

D I x x y dxdy x dxdy xydxdy x dxdy =+=+=????????，

其中{

}

222

1(,)2,,0D x y x y y x x =+≤≥≥，

则2

1

1

2

20

2

()224

5

x

D

D I x x y dxdy x dxdy dx dy π

=

+===

-

?????。 （17）已知函数(,),f x y x y xy =++曲线2

2

:3,C x y xy ++= 求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数

【解析】因为(,)f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模

'(,)1,'(,)1,x y f x y y f x y x =+=+

{}(,)1,1,gradf x y y x =++

此题目转化为对函数

(,)g x y = 在约束条件 22:3,C x y xy ++=

下的最大值，即为条件极值问题。本问题可以转化为对

22(,)(1)(1)d x y y x =+++ 在约束条件 22:3,C x y xy ++=

下的最大值，构造函数

2222(,,)(1)(1)(3)f x y y x x y xy λλ=++++++-

22

'2(1)(2)0'2(1)(2)0'30

x y F x x y F y y x F x y xy λλλ?=+++=?

=+++=??=++-=? 1234(1,1),(1,1),(2,1),(1,2),M M M M ----

1234()8,()0,()9,()9,d M d M d M d M ====

3.=

故最大值为3.

（18）设函数()f x 在定义域I 上的导数大于0，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点

00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()

f x 的表达式。

【解析】000()'()()y f x f x x x -=-

000'()()()y f x x x f x =-+

[]0

000()000'()

'()()()4x f x x f x f x x x f x dx -

-+=?

解得：23dy y dx

=

分离变量可得：1

3x c y

-

=+ 因为 (0)2y = 所以 12

c =-

综上 2

()16f x x

=

-

19、已知曲线L

的方程为z z x

?=??=??，

起点为A ，

终点为(0,B 计

算曲线积分2222()()()L

I y z dx z x y dy x y dz =

++-+++?

【解析】由题意假设参数方程cos ,:22cos x y z θ

ππ

θθθ

=??=→-??=?

(

)(

)22

2

2222

220

(cos )sin 2sin cos 1sin sin cos sin 1sin sin sin 2

d d d ππ

π

ππ

θθθθθθθθθθθθθθθθ--

??-++++??

??=+++????==

???

?

（20）向量组123,,a a a 是3

R 的一个基，()

1132231322,2,1,k k b a a b a b a a =+==++ （Ⅰ）证明123,,b b b 为3

R 的一个基；

（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量e 在基123,,a a a 与基123,,b b b 下的坐标相同，并求所有的e .

【解析】（Ⅰ）证明：

()()()()123132131232

1,,22,2,1 =,,0

20201

k k k k βββαααααααα?? ?

=+++ ?

?+?

?

Q 123,,a a a 是3R 的一个基

123,,a a a 线性无关，即()123,,3r a a a =

()1232

1,,0

20201r r k k βββ??

?

= ? ?+?

?

又Q 2

01

2

040201

k k =?+

()12320

1,,0

20201r r k k βββ??

?

= ? ?+??

=3 123,,b b b 线性无关，为3R 的一个基

（Ⅱ）由已知设112233112233,0k k k k k k e a a a b b b e =++=++?

()()()()()1112223331132231320

k k k k k k k k b a b a b a a a a a a -+-+-=++++=即

有非零解，()113213232,,0k k k k k ααααα??

?

++= ? ???

即有非零解

所以132131231

012,,=,,0

10020k k k

k

a a a a a a a a ++= 101

10=0020k k k

??= 从而1122310k k k a a a ++=

2130,k k k ==-

111310,0k k k εαα=-=≠

（21）设矩阵02313312A a -????=--????-??相似于矩阵12000031B b -????=??????

。 （1）求,a b 的值。

（2）求可逆矩阵P ，使1

P AP -为对角矩阵。 【解析】（1）

由5

,5,4)],32([132)2(,~]

32)2()[1(2

13313

2

,10)()1(130

000

213223212===---=-++-∴∴-++--=-------=-===?=--=----=

-b a a a a B A B A a a a E A b b b E B 故得）（特征值相同

λλλλλλλλλ

λ

λλλλλλλλ

λλ

λΘ

（2）由（1）得023133124A -??

??=--????-??，其中特征值1231,5λλλ===， 当121λλ==时，解()0A E x -=方程的基础解系为12231,001αα-????

????==????????-????； 当35λ=时，解(5)0A E x -=方程的基础解系为3111α-????=??????

， 从而1231231231231(,,)(,,5)(,,)(,,)15A A A A αααααααααααα??

?

=?= ? ???， 因为123,,ααα线性无关，所以令123,,P ααα=可逆，即231101011P --????=-??????，使得1115P Ap -??

?

= ? ???

。

（22）设随机变量X 的概率密度为2ln 20

()0

0x x f x x -?>=?≤?，对X 进行独立重复的观测，

直到第2个大于3的观测值出现为止，记Y 的观测次数。 （1）求Y 的概率分布。 （2）求EY 。

【解析】

（1）2ln 2,0

()0,0x x f x x -?>=?≤?，

{}3132ln 28x p P X dx +∞

-=>==

?

所以Y 的概率分布为{}2

22

11

1717(1),2,38888n n n P Y n C

n n ---??????

===-= ? ? ?

??

????

L

（2）22

2

21717(1)(1)88648n n n EY n n n n -∞

∞==????

??

=-=- ? ? ???????∑∑

令

2

2

()(1)n n S x n n x

∞

-==-∑，

2

12

()n n S x nx

∞

-==∑，

2

210

2

()()1x

n

n x S x S t dt x x ∞

====

-∑?

()2

2122()11x x x S x x x '??-== ?--??

，()()2

13212(2)()()1x x x S x S x x -+-'==- 1716

648EY S ??=

= ???

（23）设总体X 的概率密度为1

1

(;)10

x f x θθθ

?≤≤?

=-???其他

，其中θ为未知参数，

12,,...,n X X X 为随机样本。

（1） 求θ的矩阵估计量； （2）求θ的最大似然估计量。 【解析】 （1）

2

1

1

0111(;)112

2

x EX xf x dx x dx θθθθ+∞

-∞

+===?

=

--?

??2121EX X θθ?=-?=-。 （2）设12,,...,n X X X 为观测值，则

11

111,1,2,...,()(;)1(1)0n n

i n

i i i x i n

L f x θθθθθ==?=<<=?==--???

∏∏

其他

ln ()ln(1),1,i 1,2,...,i L n x n θθθ=--<<=，

ln ()1011d L n

n d θθθθ

-=-=>--，取?min{}i

X θ=。

2016年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α

，α1

1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）

（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2

10

【详解】α

ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα

α2

1

1

21

1x x ~

)cos (-是

α

2

阶无穷小，由

题意可知???

??>>121α

α

所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2

（C ）x

x y 1sin

+= （D ）x x y 12

sin +=

【详解】对于x

x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01

==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐

近线x y = 应该选（C ）

3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令

x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

4．曲线???++=+=1

472

2t t y t x ,

上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）

5010（Ｂ）100

10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105

【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3

21)'("y y K +=

，曲率半径K

R 1=

． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222

122t

t t dx y d -=-

=，

对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10

10113

2

=

+=

)

'("y y K ，曲率半径

10101

==

K

R ． 应该选（C ）

5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2

2

x x ξlim

（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

32 （Ｃ）21 （Ｄ）3

1 【详解】注意（1）2

11x

x f +=

)('，（2）)(arctan ,33

310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=

211ξξ，2

2

)

(arctan arctan x x x -=ξ， 31313

33

020

2

2

=+-

-=-=→→→x

x o x x x x x x

arx x x x x x )

()(lim )

(arctan tan lim

lim

ξ

． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足

02≠???y x u 及02222=??+??y

u

x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；

（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；

（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．

【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小

值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是

0=??=??y

u x u ，在这个点处x y u y x u B y

u C x u A ???=???=??=??=222222,,，由条件，显然02

<-B AC ，显然),(y x u 不是

极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．

7．行列式

d

c d c b

a b a

00000000等于

（A ）

2

)(bc ad - （B ）2

)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 【详解】

20000000000000000)(bc ad d

c b

a bc d c

b a ad d

c c b

a b d c d

b a a d

c d c b

a b

a --=+-=+-=

应该选（B ）．

8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件

（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则

（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???

?

? ??=，对任意的常数l k ,，矩

阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．

而当???

?

?

??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性

无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．?

∞

-=++12

5

21

dx x x ． 【

详

解

】

?

?∞

-∞-∞-=??? ??--=+=++=++11122832421212

141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则

=)(7f ．

【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=

?

2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，

即x x x f 22

-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．设),(y x z z =是由方程4

7

22=

+++z y x e

yz

确定的函数，则=??

? ??2121,|dz ．

【详解】设4

7

22-+++=z y x e

z y x F yz

),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，

当21=

=y x 时，0=z ，21-=-=??z x F F x z ，2

1

-=-=??z y F F y z ，所以=??

? ??2121,|dz dy dx 21

21--．

12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点??

?

??=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．

【详解】先把曲线方程化为参数方程?

?

?====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2π

θ=处，

2

0π

=

=y x ,，

πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点??

?

??=22ππθ,),(r 处的切线方程

为)(02

2

--

=-

x y π

π

，即.2

2

π

π

+

-

=x y

13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122

++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．

【详解】质心坐标20

1135

1211

1221021

02

3

101

=

=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型32312

22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范

围是 ． 【详解】由配方法可知

2

3

2

2322313

2312

2213214242x

a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=

由于负惯性指数为1，故必须要求042

≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限)

ln())((lim

x

x dt t e t x t

x 1

1121

12

+--?+∞

→．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】

21

1211111

1122212

1

1

221

1

2

=??? ??-++=--=--=+--∞→∞

→+∞→+∞

→??x x o x x x x e x x

dt

t e t x x dt

t e t x x

x x

t

x x t

x )((lim )

)((lim ))((lim

)

ln())((lim

16．（本题满分10分）

已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12

2

，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】

解：把方程化为标准形式得到22

11x dx

dy

y -=+)

(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：

C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3

2=C ， 即

3

2

313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知322

2222211212)

()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）

设平面区域{

}

00412

2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算??

++D

dxdy y

x y x x )

sin(22π

【详解】由对称性可得

4

3

21121212120222

22222-

==+=+++=++=++??????

????D D

D D

dr r r d dxd y x dxdy

y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ

sin )sin()

sin()()sin()sin(

18．（本题满分10分）

设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x

=满足x x e y e z y

z

x z 222224)cos (+=??+??．若

0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．

【详解】

设y e u x

cos =，则)cos ()(y e f u f z x

==，

y e u f y e u f x

z e u f x

z

x

x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222

2; y e u f y e u f y

z y e u f y z x x x

cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222；

x x x e y e f e u f y

z

x z 22222

2)cos (")("==??+?? 由条件x

x e y e z y

z x z 22

2224)cos (+=??+??， 可知

u u f u f +=)()("4

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为u y 4

1

-

=*． 故非齐次方程通解为u e C e

C u f u u

4

1

2221-+=-)(．

将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16

116121-==

C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4

1

16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）

设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x

a

,,)(∈-≤≤?

0；

（2）

??

≤?+

b

a

dt

t g a a

dx x g x f dx x f b

a )()()()(．

【详解】

（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x

a

x a

x

a

,)(∈≤≤???

10．

即[]b a x a x dt t g x

a

,,)(∈-≤≤

?

0．

（2）令?

?

?-=

+

x

a dt

t g a a

x

a

du u f du u g u f x F )()()()()(，

则可知0=)(a F ，且??

? ??+-=?x

a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，

因为,)(a x dt t g x

a

-≤≤

?

0且)(x f 单调增加，

所以)()()(x f a x a f dt t g a f x

a

=-+≤??

? ?

?+

?

．从而

=-≥??

? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x

a ，

[]b a x ,∈

也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到

??

≤?+

b

a

dt

t g a a

dx x g x f dx x f b

a )()()()(．

20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=

x x

x

x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=

设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞

→lim ．

【详解】

x x

x

x x x

x f x f x f x x x f 21111111121+=

++

+=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nx

x

x f n +=

1

))

ln(()()(n

n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==???

11111111101

010

，

111=??

?

??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足

)(12+=??y y

f

，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．

【详解】

由于函数),(y x f 满足)(12+=??y y

f ，所以)(),(x C y y y x f ++=22

，其中)(x C 为待定的连续函数．

又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212

，从而可知y y y C ln )()(--=21，