误差分析和数据处理

第二章 误差分析和数据处理

本章內容：

1. 测量误差基本概念

2. 随机误差

3. 系统误差和误差传递

4. 测量不确定度

5. 实验数据处理

2.1 测量误差基本概念

1. 测量——比较 （1）测量的方法：

? 直接测量：米尺量桌子，直接知道桌子长度。

? 间接测量：由直接测量的数据，通过一定的函数关系，计算求得被测量。测量桌子

几何尺寸，根据材料密度，求出桌子重量。

（2）测量量的时间特性

? 静态测量： 被测量在测量过程中的状态不随时间变化 ? 动态测量： 被测量在测量过程中随时间变化（采样定理）

2. 误差

? 真值：在一定时空条件下，某物理量的理想值，表达为A 。（真值仅为理想概念。真

值可以用修正过的测量值的算术平均值代替。） ? 误差的表达方法：

绝对误差: 测量值与被测量物理量的真值的差，ξ = x – A, ξ 绝对误差， 残差： 测量值与其算术平均值的差， 相对误差: 绝对误差与真值的百分比， ξ /A 100% 或者： 绝对误差与测量值x 的百分比, ξ /x 100%

【例1】 仪表的精度。 仪器示值误差＝示值－对应输入量的真值 示值相对误差: 示值误差/示值

示值引用误差: 示值误差/ 满量程值 （表盘上的最大值）

仪表精度——仪器允许的最大引用误差的百分数的分子。0.5级的电压表，满量程为100V ，最大示值误差为0.5V 。仪器工作在满度值2/3以上区域 。 思考题1：用万用表（1级）测电池电压1.5V ，选2V 档？200V 档？

3. 误差分类

? 随机误差（Random Errors ）

多次测量同一被测量量过程中，绝对值和符号以不可预知方式变化着的测量误差的分量。具有随机变量特点，一定条件下服从统计规率的误差。

来源于测量中的随机因素：实验装置操作上的变动性、观测者本人的判断和估计读数上的变动性等。

? 系统误差（Bias Errors ）

多次测量同一被测量量过程中，误差的数值在一定条件下保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。

=i i x x ν-

来源于测量仪器本身精度、操作流程、操作方式、环境条件。

2.2 随机误差

1．随机误差的特点

随机变量——依赖随机因素，以一定概率取值的变量， 如：交通事故 随机误差——随机变量的一种具体形式， 2. 随机误差的正态分布 （1） 随机误差分布特点：

等精度条件下，对一物理现象测量N 次，得x 1……x N 个值（i=1, N ）。把x i 按大小顺序分q 组，每组宽度 。N 个测量值落在x i + 区间的次数（频率）为p*1……p*q

? 增加组数，缩小了 ，直方图的顶点趋于一光滑曲线。纵坐标趋于概率密

度

，表示随机变量x （测量值）的分布曲线；

? ξ = x - A 代替x 值，则上述方法得到p (ξ)，即随机误差ξ的分布曲线。此时

原点挪至A 。

? 随机误差正态误差分布规律的四条公理：

（ⅰ）单峰性。绝对误差小出现机会多，绝对误差大出现机会少； （ⅱ）对称性。N 足够大， ξ 相等；

（ⅲ）有界性。绝对值极大的误差出现机会极少；

（ⅳ）抵偿性， N 趋于无穷，随机误差的算术平均值的极限趋于0

(2) 高斯正态分布

等精度条件下测量N 次，x 1….x N ，每次的绝对误差 ξ1….ξN

? 测量误差的均方值：

? 测量误差的均方根值（标准差）

? 随机误差分布规律f(ξ)若符合高斯分布为： 1lim ()0N

i N i 1N ξ→∞==∑

, 0N ξ→∞→2

21

1N i i N σξ==∑21

1N i i N σξ==

∑2

22

22()2h f ξξσξσππ

--=()*j p x p x →x ?x ?x ?±

称精密度，σ越小则h越大，曲线越尖，ξ的离散性越小。

落到 + ?ξ之间的随机误差的概率:

（3）正态分布的应用

?对服从正态分布的误差，误差介于σ的概率为：

?误差介于2σ和3σ的概率为

所以误差超出3σ的概率仅为2.7‰，一般不可能，极限误差。

上述对误差分布规律进行讨论，还有一个问题是对真值A

的研究。

3 标准误差σ

定义：误差的均方根值

(1) 贝塞尔公式法求

?绝对误差：

?残差: 真值A用算术平均值代替时的误差

根据方差的基本运算法则

因此，用残差v i代替绝对误差ξ时，标准误差σ与σv在N趋于无穷时才相等。

还可以用最大残差法。

(2) 最大残差法求σν

残差：用算术平均值代替真值A后的误差

由正态分布，如果已知N次测量中的最大、残差为max|νi|，则任意一次测量的标准差为：

σν=k N′max|

νi|

k N′可查表（已知），由正态分布理论给出。

因此只要计算测量值的算术平均值，求出最大残差值max|νi

|，查表后计算σν。

4 测量最佳值与算术平均值

?测量值的算术平均值：

h

()()

p f d

ξξξ

=

{}()0.6827

p f d

σ

σ

ξσξξ

-

?==

?

{}

{}

p20.9545

30.9973

p

ξσ

ξσ

?=

?=

v

σ=

=

i i

x x

ν-

=

i i

x A

ξ-

111

111

=

N N N

i i i i i i i

N

x x x x

N N N

νξξξ

-

-=-=-=

∑∑∑

22

11

1

N N

i i

N

v

N

ξ

-

=

∑∑

σ=

v

σ=

=

i i

x x

ν-

1

1N

i

i

x x

N=

=∑

最小二乘法指出：对等精度的多个测量值，最佳值（可信赖值）是使各测量值的误差的平方和为最小时所求的值。

? 绝对误差： ? 概率： p i =

√

π

??

2ξi 2

误差同时出现的概率是各个概率的乘积：

其中

若 p 最大则Q 最小， 求Q 的导数，

可见足够次数的等精度测量的算术平均值是测量最佳值。

5 算术平均值的标准偏差s

用算术平均值x 代替真值A 的误差是多少？ 推导：算术平均值的绝对误差：s =x??A

算术平均值的标准偏差s 与测量值的标准偏差σν有如下关系：（方差的基本法则）

s =√σν2

N =√∑(x i ?x?)2N (N ?1)=√∑νi 2N (N ?1)

多次测量的算术平均值的标准偏差s 比测量值的标准偏差σν小√N 倍。

例如：N~10，s/σν=0.32。

6 本节小结

? 随机误差特点（4个） ? 标准误差σ及表示方法

2.3 系统误差与误差传递

1 系统误差

与随机误差同时存在，但有一定规律。

仪器误差、装置误差、操作误差、外界误差、方法误差 (1) 发现和检验

? 实验测量值与理论估算值相差过大；

? 观察残差：发现测量中含有规律的系差：同号（累进性）、交替（同时性）； ? 对实验原理、方法、步骤、仪器一一分析。 ? 阿贝判据、马列科夫判据（略）

(2) 消除或减弱系统误差的方法

? 改进仪表的精度；

? 改进测量方式：实验进行的步骤、测量点的顺序

2 误差传递

直接测量不方便或不可能而用间接方法。例如测量桌子的重量。桌子几何尺寸用米尺直接测量，根据木料的密度，计算桌子重量，这中间用到密度参数。带入误差的机会：测尺寸，A

x i i -=ξ)~1(N i

=2

2

1...i h N N p p p e

ξ-∑==22

11()N N

i i i i Q x A ξ====-∑∑1d 2()0d N

i i Q

x A A ==-=∑1

1

N

i

i A x

x

N

==

=∑

密度参数等。

(1) 线性函数误差传递的一般法则 直接测量量： z 1, …, z m 直接测量量的误差： 间接测量量y 为z 的线性函数：

y 的绝对误差：

, 方差

相对误差：

标准误差

(2) 非线性函数误差传递

间接测量量y 为z 的线性函数： 而且 z 1, …, z m 互相独立。

将y 在?y 附近做Taylor 展开，且取一次近似

则绝对误差 , 方差

相对误差

标准误差 其中

3 本节小结

系统误差及来源，消除方法； 误差传递公式

2.4 测量不确定度

1. 测量不确定度的定义（ Uncertainty of measurement ）

（1）测量结果的不确定度定义： 与测量结果相联系的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。

（2）与误差概念的区别

? 误差与真值相联系。 测量误差是测量结果减去被测量的真值。由于真值不能确定，

误差也无法准确地知道，因此误差概念是定性的。而不确定度不包含真值，因此可定量确定测量量与真值接近的程度。

? 测量误差是个差值，在数轴上表示为一个“点”。而测量不确定度表示被测量之值的

分散性，可能分布的范围，在数轴上表示为一个“区间”。

,,1m z z ??L 0i i z z z ?=-1

y m

i i

i a z ==∑1

y m i i i a z =?=?∑y ?=y

y ?=y σ1(,,)m y f z z =L 1N

i

i i f

y y y z z =?+?=+??∑

1m i i i

f y z z =??=??∑

y ?y y ?=y σ=i z f ??

2. 测量不确定度的评定

测量不确定度评定方法（1980年国际计量局提出了实验不确定度表示建议书INC-1)：A类和B类不确定度

测量值的分散性由许多成分组成，可以由测量列结果统计方法算出，由实验标准偏差 Si 表征，称为A类分量或A类不确定度评定。另一些成分不是用统计方法算出，而是基于经验或其它信息的概率分布估计的，也用假设存在的类似于标准偏差的量U j表征，称为B类分量或B类不确定度评定。

3.直接测量不确定度的估算

（1）A类分量U A—用标准偏差公式si，测量值的标准偏差 Baissel 公式: s=(x i-x )2

∑

n-1

平均值的实验标准偏差s=(x i-x )2

∑

n-1

（2）B类分量U B—用估计、借用等方法，转化为标准偏差sj

对于B类不确定度，不能采用统计计算方法，可以采用等价标准差计算sj。

首先估计一个“误差极限值?”，然后确定误差的分布规律（状态分布、均匀分布等），利用关系式

S j=?

C

可算出近似标准差。其中C为置信系数，正态分布时C=3，均匀分布时 C=√3

如何估计误差极限值?？?由仪器产生的不确定度：如果仪器直接标出准确度，则?=?I。

如果仪器未注明精度，可连续读数的仪器取最小分度的1/2 作为仪器误差，不可连续读数的仪器取最小分度作为仪器误差（数字式仪表等）。或者根据实际情况估计误差极限值，如原点对准误差。

（3）合成标准不确定度 u C

将A类和B类不确定度按平方和开方的办法叠加获得，

u C =s

i

2+s

j

2

j

∑

i

∑

（4）总不确定度U

对于特殊用途，当需要将合成标准不确定度乘以包含因子K获得总不确定度时，必须说明此因子的数值，U=u C?K。

x=x ±K?u

C

=x ±U

包含因子K(p,ν)与要求的置信概率p和自由度ν有关。置信概率p为所测量的值落入分散性区间的概率；自由度v=n-1，与测量次数n有关；

K=2,置信度为95%，测量数据以95%的可能在区间[x ±2u C]内，

K=1,置信度为68%，测量数据以68%的可能在区间[x ±u C]内。

本节小结

1. A类不确定度用统计学方法；B类不确定度用分析等方法；

2. A、B两类不确定度与随机误差与系统误差的分类之间有联系但不存在简单的对应关系。随机误差与系统误差的合成是没有确定的原则可遵循的，造成对实验结果处理时的差异和混乱。而A类不确定度与B类不确定度在合成时均采用标准不确定度。

3. 不确定度给出一个围绕估计值（算术平均值）的区间（范围），表明测量值的分散性

4.间接测量不确定度的评定

间接测量是通过直接测量进行的，每个直接测量的误差必然会带给间接测量。直接测量的不确定度如何传递给间接测量的不确定度？本节介绍不确定度的传递规律。

假设待测物理量y与各直接测量量x i有如下函数关系：

y=f(x1,x2,…,x N)

按照多元函数全微分，

dy=ef

ex1

dx1+

ef

ex2

dx2+?+

ef

ex N

dx N=∑

ef

ex i

dx i

N

1

如果函数关系为lny=lnf(x1,x2,…,x N)其全微分为

dy=elnf

ex1

dx1+

elnf

ex2

dx2+?+

elnf

ex N

dx N=∑

elnf

ex i

dx i

N

1

将微分式中的微分量看做不确定度，求平方，略高价小量，则不确定度传递公式为，

u y=√(ef

ex1)

2

u2x

1

+(

ef

ex2

)

2

u2x

2

+?+(

ef

ex N

)

2

u2x

N

=√∑(

ef

ex i

)

2

u2x

i

N

1

或

u y y =√(

elnf

ex1

)

2

u2x

1

+(

elnf

ex2

)

2

u2x

2

+?+(

elnf

ex N

)

2

u2x

N

=√∑(

elnf

ex i

)

2

u2x

i

N

1

其中函数的偏微分称为传导系数。公式的非对数形式适用于函数关系式为和差形式，而其对数形式适用于函数关系式为积商形式，相对不确定度的传导公式。

间接测量不确定度评定方法：

（1）找出所有影响测量不确定度的影响量Xi，建立满足测量不确定度评定所需的数学模型，一般形式：y=f(x1,x2,...x N)

影响量Xi也称为输入量，有N个不同的直接测量量，被测量Y也称为输出量。Xi之间不相关。

（2）确定各输入量（直接测量的量）的标准不确定度 u(xi)和合成不确定度uc(xi)，

求xi的A类不确定度si，xi的B类不确定度sj，合成不确定度u

C (x

i

)=s

i

2+s

j

2

j

∑

i

∑

（3）确定 y 的合成标准不确定度uc(y)，用不确定度的传播公式：

∑=?

=

N

i

i

C

i

C

x

u

x

f

y

u

1

2

2)

(

)

(

)

(

?

?或

∑=?=N

i i C i

C x u x f y

y u 1

2

2)()ln (

)

(?? （4）总不确定度

U =K ?u c

其中K 为被测量Y 可能值分布的置信因子。正态分布下，K=1,2,3的置信概率分别为：0.683，0.954和0.977；在不确定度分析时，取K=1，最终测量结果的不确定度评价时取K=2。 （5）给出测量结果及其不确定度:

y =y ±K ?u C =y ±2u C

2.5 实验数据的处理

1. 有效数字

（1）定义：该数左起第一个非零数到最末一个数（包括零）。

0.0135 三位有效数字， 8700 四位有效数字 （2）有效数字的确定

? 仪器可读准的数字+1位欠准数字（可疑数字）= 有效数字

【例1】用米尺量桌子，mm 为欠准数字。写成1.234±0.001m ，4是估计值。 ? 测量量的位数由不确定度位数决定。原则上不确定度只取一位有效数字，可以允许

2位。当测量不确定度已知时，测量结果的有效数字位数应与该不确定度位数一致。 【例2】 有效数字位数 用钢尺： d=6.2±0.5 mm 用游标卡尺： d=6.36±0.02 mm 用螺旋测微器： d=6.347±0.004 mm

?

仪器仪表的精度

【例3】若压力表精度±0.1%，量程100Pa, 最大允许误差±0.1Pa, 测量结果表达57.5±0.1Pa ，5是估计值。

仪表的最大允许误差——表示仪器可能存在的误差的最大值，可作为评定B 类不确定度的依据。

（3）有效数字表示

? 普通记数法：6371±10km

科学计数法 ×10±

n, 6371km ---- (6.37±0.01)×103 km ? “科学修约”准则

当需要的有效数字位数确定后，多余有效数字一律舍弃。按“四舍六入五凑偶”：末位是5，保留的尾数为奇数+1，偶数不变。

【例4】如果不确定度为U=0.001，正确表示下列数字：

3.14159可写成3.142, 1.73250可写成1.732，

4.71729可写成4.717

（4）不确定度的位数

在最后结果中，不确定度的有效数字位数为1-2位，“只进不舍”原则；不确定度数字与测量值有效数字可疑位应该具有相同数量级，对齐。

2. 可疑数据的剔除

可疑数据不能随意剔除,必须查明原因。查不出原因时应根据一定的法则来判断。还可以在同样条件下增加测量次数，减少其影响。 （1）3σ准则

等精度测量列中绝对误差值超过3σ的概率极小。 等精密度测量是指测量条件恒定，测量方法仪器外界条件测量人员都不变的情况下，测量值符合同一精密度指数下的正态分布

P (|x |>3σ)<0.3%

（2）肖维纳准则

在 n 个测量值中任一数据与平均值的偏差大到这样程度：凡是等于或大于此偏差出现的概率均小于1/2n,时，此数据应舍弃。

步骤：1求所有测量值的算术平均值和标准误差σ；

2计算可疑数据的偏差与标准误差的比V/σ；

3查表，n 所对应的t ，根据V/σ是否大于t ，决定是否舍弃。

（3）格拉布斯(Grubbs)准则

设测量值正态分布，算术平均值,均方根误差σ，测量值从小到大排列如下：u1 ，u2 …… un,，怀疑u1和un 是可疑数据。

P(T ≥T (n ,α))=α为一小概率事件（如0.05或0.01） 据。

时，则判断其为可疑数),(或当1αn T T T n > 判断步骤如下：

1 选择危险率α :这是一个较小的分数5.0% , 1.0% (置信度95%、99%)是按此方法判定为异常数据但实际上不是异常数据所犯错误的概率。这种错误是统计方法不可避免的。

2 计算可疑数据偏差与标准误差的比T1和Tn

3 查表中相应于 n 和α的T(n, α)

比较T1 Tn 与T(n, α)的大小，大于T(n, α)的数据应舍去，否则应保留。

格拉布斯准则比其他准则好。α值不宜太小，如果太小，会把确属异常数据判断为非异

常数据而犯错误的概率增大了。

【例】有一组测量数据如下：

X1 = 7.65 X2 = 7.84 X3= 7.89 X4 = 7.93 X5= 7.95 X6= 7.99 X7 = 8.02 X8= 8.05 X9 = 8.08 X10 = 8.12 检查有无异常数据。

解：第一步计算算术平均值X0和σ：

X0 = ∑Xi /n =7.95 计算出σ＝ 0.14 (1) 3σ准则 3σ= 0.42

7.95+0.42 = 8.37 7.95-0.42 = 7.53

测量数据中无大于等于8.37的数据也没有小于等于7.53的数据。因此无异常数据。 （2）用肖维纳准则

a.V1绝对值最大，疑为粗大误差， 计算| X1- X0|/σ= 0.30/0.14 = 2.19 查表当n=10时，t = 1.96

∵2.19>1.96∴X1是异常数据应舍去。 b.设X10为可疑数据，

计算| X10- X0|/σ= 0.17/0.14 = 1.21 ∵1.21<1.96∴X10不是异常数据，应保留。 无其他可疑数据。 （3） 用格拉布斯准则

选择危险率α= 5% 查表T(10,α)= 2.18 ∵2.19>2.18 ∴X1是异常数据应舍去;选择危险率α= 1% 查表T(10,α)= 2.41,则可保留。 无其他可疑数据。从此例可知格拉布斯准则比肖维纳准则不容易舍弃数据，3σ准则更不容易舍弃数据。

2. 测量结果的处理

（1）按被测量的先后顺序排列数据

（2）求x 的算术平均值 （3）不确定度评定

? 不含间接测量量

计算残差 计算实验标准误差（用贝塞尔公式） 或：平均值的实验标准差s(x-) 合成不确定度 uc(y) ? 含公式

利用不确定度传播公式uc(y)

（4）扩展不确定度， U=K uc(y)

（5）测量结果的表达式 y =y ±K ?u C =y ±2u C

【例1】 有一组测量数据如下：

X1 = 7.65 X2 = 7.84 X3= 7.89 X4 = 7.93 X5= 7.95

X6= 7.99 X7 = 8.02 X8= 8.05 X9 = 8.08 X10 = 8.12，给出测量结果。 解： i i v x x =

-σ=1

1N i i x x N ==∑

第一步 计算算术平均值和标准误差σ：

95.7==

∑n

x x i

14.01

1

2

=-=

∑=n V n

i

i σ

第二步 检查有无异常数据：

(1)3σ准则 3σ= 0.42

7.95+0.42 = 8.37 7.95-0.42 = 7.53

测量数据中无大于等于8.37的数据也没有小于等于7.53的数据。因此无异常数据。 （2）用肖维纳准则：

（a ）X1为可疑数据，

计算| X1- X0|/σ= 0.30/0.14 = 2.19 查表当n=10时，c = 1.96

∵2.19>1.96∴X1是异常数据应舍去。 （b ）设X10为可疑数据，

计算| X10- X0|/σ= 0.17/0.14 = 1.21

∵1.21<1.96∴X10不是异常数据，应保留。无其他可疑数据。

（3） 用格拉布斯准则

选择危险率α= 5% 查表T(10,α)= 2.18 ∵2.19>2.18 ∴X1是异常数据应舍去。 无其他可疑数据。

由前述知应舍去X1 = 7.65，所以剩下9个数据：X1 = 7.84 X2= 7.89 X3= 7.93 X4 = 7.95 X5= 7.99 X6= 8.02 X7= 8.05 X8= 8.08 X9 = 8.12， 第三步 重新计算X0和σ：

99.71

==

∑=n

x x n

i

i 09.01

1

2

=-=

∑=n V n

i

i σ

第四步 重新检查有无异常数据

最大偏差为0.15， 0.15/0.09 = 1.67

查表 n=9时，肖维纳准则t =1.92,不能舍弃。 格拉布斯准则更不能舍弃。 第五步 求算术平均值的标准误差 03.09

09.0===n u σσ

第六步 写出测量结果

09.099.73±=±=u x x σ

【例2】取圆弧的圆心为坐标原点，已知圆弧上一点的坐标值（x,y ）,求圆弧的半径R 。 数据处理步骤： 1. 列出间接测量与直接测量值的函数关系，由几何关系得：R =√x 2+y 2 2. 列出直接测量的结果：

x = 5.02±0.005mm , y = 8.98±0.007mm 3. 计算间接测量值（由平均值求平均值）

R ?=√5.022+8.982mm =10.29mm

4. 计算误差传递函数（由平均值计算）

C x=eR

ex =

22

=5.02/10.29=0.487

C y=eR

ey =

22

=8.98/10.29=0.872

5. 计算间接测量值的极限测量误差

?R=√C x2?x2+C y2?y2=0.007

6. 写出间接测量结果

R=10.29±0.007mm

本章小结

1.不确定度评定：

2.实验结果的表达：数字y=y ±K?u C=y ±2u C