第7章统计实验(主成分分析)

实验三主成分分析

1．实验目的：

本实验讨论利用主成分分析从众多具有一定相关性的指标中，综合出少量的、而又能反映大部分信息的、不相关的新指标。通过该实验，能够起到如下的效果：(1) 理解主成分分析的作用、思想、数学基础、方法和步骤；(2) 熟悉如何利用主成分分析，提出问题、分析问题、解决问题、得出结论；（3）会调用SAS软件实现主成分分析的各个步骤，根据计算的结果进行分析，得出正确的结论，解决实际的问题。

2．知识准备：

主成分分析是从众多具有一定相关性的指标中，综合出少量的、而又能反映大部分信息的、不相关的新指标。其思想是：将指标看成多维空间的坐标轴，每个样品看成该空间中的点，然后选用适当的正交变换将原有的坐标轴进行旋转，使主要信息集中于维数较少的子空间中（使所有样品点到子空间的距离的和最小），该子空间的坐标轴即是我们需要综合的新指标（主成分）。主成分分析的步骤大体分为：首先正向化、标准化指标；然后计算样本相关阵的特征值、单位特征向量和累计贡献率，根据累计贡率献选取适当数量的主成分；再计算出各个主成分的得分；然后根据与主成分相关性强的指标的实际意义把主成分正向化；最后结合主成分对应的特征值得到综合得分。

3．实验内容：

表１的数据是安徽省各地市经济发展的基本数据，其中X1-城镇单位在岗职工平均工资(元)，X2-各市固定资产投资(万元)，X3-各市进口总额(万美元),X4-社会消费品零售总额(万元),X5-各市工业增加值(亿元),X6-财政收入(亿元)，数据来源于安徽统计信息网站2004年各月度数据资料。

表1 安徽省各地市经济发展的基本数据

序号城市X1 X2 X3 X4 X5 X6

1 合肥市16369 3504887 66047 2397739 198.46 1043955

2 淮北市13379 566257 4744 456100 76.96 202637

3 亳州市9707 397183 1303 88703

4 18.88 105948

4 宿州市10572 414932 1753 751984 27.67 128261

5 蚌埠市12284 876667 18269 1015669 60.09 332700

6 阜阳市9738 604935 5822 1307908 30.54 222799

7 淮南市16970 778830 2438 630014 76.64 272203

8 滁州市10006 617436 13543 866013 58.59 222794

9 六安市10217 636760 9967 996912 34.55 161025

10 马鞍山20946 1380781 16406 526527 150.15 426937

11 巢湖市11469 720416 7141 853778 43.41 157274

12 芜湖市14165 1504005 29413 1025363 149.17 568899

13 宣城市12795 966188 11580 723278 45.13 165319

14 铜陵市12762 584696 13583 343107 65.31 166454

15 池州市12008 501780 4986 278310 15.04 86575

16 安庆市11208 981367 13364 1295189 79.8 337947

17 黄山市12719 716491 4448 408796 15.68 99949 （1）利用主成分分析综合出适当的主成分及相应的主成分得分；

（2）利用上面的主成分得分对样品进行聚类分析，并给出适当的结论。【4】

4．实验步骤：

（1）利用主成分分析综合出适当的主成分及相应的主成分得分：

1.读入数据；

SAS程序:

Data economy;

input X1-X6;

cards;

16369 3504887 66047 2397739 198.46 1043955

13379 566257 4744 456100 76.96 202637

9707 397183 1303 887034 18.88 105948

10572 414932 1753 751984 27.67 128261

12284 876667 18269 1015669 60.09 332700

9738 604935 5822 1307908 30.54 222799

16970 778830 2438 630014 76.64 272203

10006 617436 13543 866013 58.59 222794

10217 636760 9967 996912 34.55 161025

20946 1380781 16406 526527 150.15 426937

11469 720416 7141 853778 43.41 157274

14165 1504005 29413 1025363 149.17 568899

12795 966188 11580 723278 45.13 165319

12762 584696 13583 343107 65.31 166454

12008 501780 4986 278310 15.04 86575

11208 981367 13364 1295189 79.8 337947

12719 716491 4448 408796 15.68 99949

;

run;

２. 调用主成分分析程序，计算样本相关阵的特征值、单位特征向量和累计贡献率，并根据累计贡献率选取适当数量的主成分；

SAS程序:

Proc princomp data=economy out=result1 prefix=Z;

var X1-X6;

run;

语句解释：

“Proc princomp”指调用主成分分析程序；

“out=result1”指将包括原始数据和主成分得分的数据输出到文件“result1”中；“prefix=Z”指定主成分名字的前缀为“Z”；

“var X1-X6;”指需要分析的变量是“X1-X6”，其它更多的语句参见书【2】。

运行结果及解释：

图１简单的统计量描述

图１中数据“Observations”指“样品个数”，“Variables”指“变量个数”，“Mean”指均值，“StD”指标准差；

图２变量的相关系数矩阵

图３相关阵的特征值、累计贡献率

图3中数据“Eigenvalue”指相

关系数阵特征值；“Difference”

指本行特征值与下行特征值之

差；“Proportion”指本行特征

值对应初始因子的方差贡献率；

“Cumulative”指本行及上面各

行特征值对应初始因子的累积

贡献率；

图４原始变量对于各主成分的因子载荷阵

实验结论：

图2中数据显示：X1与X5、 X2与X3、X3与X5、X3与X6等相关性很大，所以有必要进行主成分分析减少变量的个数和相关性；

图３中数据显示：前两个主成分的累计贡献率已经达到95.7%，含括了绝大部分信息，因此可以只选用前2个主成分Z1、Z2；

图4中数据显示：2个主成分Z1、Z2得分分别为：

Z1=0.269X1+0.455X2+0.444X3+0.354X4+0.431X5+0.461X6；

Z2=0.758X1-0.047X2-0.16X3-0.572X4+0.26X5-0.047X6；

第一个主成分Z1与X1-城镇单位在岗职工平均工资， X2-各市固定资产投资，X3-各市进口总额，X4-社会消费品零售总额，X5-各市工业增加值，X6-财政收入十分显著的正相关，故

称Z1为生产总量成分，且正向化Z1取正号；第二个主成分Z2与X1-城镇单位在岗职工平均工资显著正相关，与X4-社会消费品零售总额显著负相关，故称Z2为工资与消费成分。又因为X1-城镇单位在岗职工平均工资是社会生产发展的动因之一，社会消费总体上为量入为出，所以正向化Z2也取正号。

以图3中的方差贡献为权构造综合得分：

Z综=(4.6412Z1+1.1007Z2)/6 = 0.347X1+0.343X2+0.314X3+0.168X4+0.381X5+0.348X6；

（2）利用上面的主成分得分对样品进行聚类分析，并给出适当的结论：

SAS程序:

Data result2;

set result1;

Z=(4.6412*Z1+1.1007*Z2)/6;

run;

Proc cluster data=result2 method=average nonorm ccc pseudo out=tree;

var Z1 Z2;

Proc tree data=tree horizontal spaces=1;

run;

运行结果：

图5 聚类过程

图6 聚类图

实验结论：

⑴取分类阈值为1.5时较为合适，此时分成五类：

第一类：合肥市；

第二类：马鞍山市；

第三类：芜湖市；

第四类：淮南市，淮北市，宣城市，铜陵市，黄山市和池州市；

第五类：蚌埠市，安庆市，滁州市，巢湖市，六安市，阜阳市，宿州市和亳州市。

⑵根据上面的数据容易得到安徽省17个市的主成分得分和综合得分及排序，见表2；

表2 主成分得分、综合得分的样品值及排序

城市Z1 排名Z2 排名Z综排名

合肥市7.113 1 -1.058 16 5.308 1

马鞍山 1.844 3 2.785 1 1.937 2

芜湖市 2.306 2 0.314 7 1.841 3

淮南市-0.126 6 1.506 2 0.179 4

安庆市0.42 4 -0.845 13 0.17 5

蚌埠市0.223 5 -0.392 10 0.101 6

宣城市-0.526 7 0.095 8 -0.389 7

淮北市-0.773 9 0.797 3 -0.452 8

铜陵市-0.809 11 0.626 4 -0.511 9

滁州市-0.614 8 -0.72 12 -0.607 10

巢湖市-0.864 12 -0.336 9 -0.73 11

阜阳市-0.786 10 -1.352 17 -0.856 12

六安市-0.912 13 -0.887 15 -0.868 13

黄山市-1.486 14 0.393 5 -1.077 14

宿州市-1.548 15 -0.444 11 -1.279 15

池州市-1.792 17 0.37 6 -1.319 16

亳州市-1.671 16 -0.852 14 -1.449 17

从表2知道：

第一类的合肥市综合主成分Z综值排第1（5.307）。其Z1-生产总量成分得分值排第

1(7.113)，优势相当明显，可Z2-工资与消费成分排在倒数第2(-1.058)。原因及问题：Z1-生产总量成分中X4－社会消费品零售总额为2397739万元列第1， Z2-工资与消费成分中

X1－城镇单位在岗职工平均工资为162369元列第3，即合肥市是生产总量高、消费高但平均工资不是太高的城市。综合函数值中， Z1-生产总量成分综合值为5.502，而Z2-工资与消费成分有综合抵减值0.194（抵减率3.526％）,带来了不良影响。

建议：合肥市在保持Z1-生产总量成分中X5-各市工业增加值（第1）, X4-社会消费品零售总额（第1）， X2-各市固定资产投资（第1），X3-各市进口总额（第1），X6-财政收入（第1）优势的同时，如果能够进一步结合劳动生产率、成本费用利润率,重点协调Z2-工资与消费成分中X1-城镇单位在岗职工平均工资与X4-社会消费品零售总额的良性关系，将对经济有更大的促进作用。

第二类的马鞍山市、第三类的芜湖市综合评价、建议方法与第一类的合肥市类似，此略。

第四类城市淮南市、宣城市、淮北市、铜陵市、黄山市和池州市综合主成分Z综值排名依次是4、7、8、9、14和16。它们的Z1-生产总量成分排名依次是6、7、9、11、14、17，均低于平均水平，Z2-工资与消费成分排名依次是2、8、3、4、5、6，均高于平均水平。共

性原因为该类城市Z2-工资与消费成分中X1－城镇单位在岗职工平均工资列前10名、 Z1-生产总量成分中X4－社会消费品零售总额列第10之后，即该类城市是工资较高、生产总量水平低、消费不足的城市。个性原因及问题：如淮北市Z2-工资与消费成分中X1-城镇单位在岗职工平均工资(第4：13379元)、X4-社会消费品零售总额(第14：456100万元),Z1-生产总量成分排名差异大(第9),其中X2-各市固定资产投资为(第14：566257万元)、X3-各市进口总额为(第13：4744万美元)、X6-财政收入为(第9：202637亿元)等。

建议：共性方面，淮南市，宣城市，淮北市，铜陵市，黄山市和池州市应根据工资较高情况适度促进生产总量与社会消费；个性方面，如淮北市在保持Z1-生产总量成分中X5-各市工业增加值第5、 Z2-工资与消费成分中X1-城镇单位在岗职工平均工资第4已有优势的同时，如果能够进一步协调Z1-生产总量成分中X2-各市固定资产投资、 X4-社会消费品零售总额、 X3-各市进口总额与X6-财政收入的良性增长，必将对经济有很大的促进作用。

第五类城市综合评价、建议方法与第四类城市类似，此略。

5. 思考与练习：

⑴选用适当的房地产指标，进行主成分分析。

⑵运用主成分分析对我国城市居民生活费支出进行分析。

⑶尝试利用《统计年鉴》中关于经济发展状况的数据，运用主成分分析综合出几个可以描述经济发展状况的主成分。

参考文献

【1】于秀林、任雪松（1999）：《多元统计分析》，中国统计出版社。

【2】汪远征、徐雅静（2007）：《SAS软件与统计应用教程》，机械工业出版社。

【3】林海明：《因子分析模型的改进和应用》，数理统计与管理，28，2009，998-1012。【4】林海明：《对主成分分析法运用中十个问题的解析》，统计与决策，16，2007，16-18。