黑龙江省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)
黑龙江省2016年高考理科数学试题及答案
（Word 版）
（满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-
（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A B U =
（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}
（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=
（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8
（4）圆2
2
x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=
（A ）4-3 （B ）3
-4
（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿
者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26
k x k Z ππ
=
-∈
（B ）()26
k x k Z π
π
=
+∈ （C ）()212
k x k Z π
π
=
-∈
（D ）()2
12
k x k Z π
π
=
+
∈
（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算 法的。执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （
4π-α）=3
5
，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-7
25
（10）从区间
[]0,1随机抽取
2n 个数12,,...,n x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），
22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得
到的圆周率π的近似值为 （A ）
4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11 1F ,2F 是双曲线E ：22
221a x y b
+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，
121
sin 3
MF F ∠=,则E 的离心率为
（A （B ）3
2
（C （D ）2
（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（）
，若函数x 1
y=x
+与y=f x （）图像的x 1
y=f x x +（）
交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1
()m
i i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 若cosA=
45，cosC=5
13
,a=1，则b= 。 （14）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n//α，那么m ⊥n. ③如果α//β，m ?α，那么m//β
④如果m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ___________ （填写所有正确的命题序号）。
（15）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_____________。 （16）若直线y=kx b +的曲线，y=1nx+2的切线，也是曲线y=1n(x+1)的切线，则b=_________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的的前n 项和，且1a =1，7S =28，记n b =[]lg n a ，其中[x]表示不超过显得最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. (Ⅰ)求1b ，11b ，101b ；
（Ⅱ）求数列{n b }的前1000项和. （18）（本小题满分12分）
某种保险的基本保费为a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
(Ⅰ)求
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于 点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将DEF 沿EF 折
到 D ′EF 的位置，OD ’=.
（Ⅰ）证明：D ′H ⊥平面ABCD; （Ⅱ）求二面角B- D ′A-C 的正弦值。 （20）（本小题满分12分）
已知椭圆E：
2
x
t
+
2
3
y
=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为K（K>0）的直线交E于A，
M两点，点N在E上，MA⊥ＮＡ.
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求K的取值范围。
（21）（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数f(X)=且f(X)>0,并证明当x>0时，（x-2）+x+2>0;（Ⅱ）证
明：当a[0，1)时，函数g(X)=（x>0）有最小值。设g(X)的最小值为h(a)，
求函数h(a)的值域。
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与
端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =
,求
l 的斜率.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数11
()22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b
M 时，1a b ab +<+.
答案：
一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.C 二、13.
13
21
14. ② ③ ④ 15.1和3 16.1-1n2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）n
a
n
=，[lg ][lg ]n
n
b a n ==，1
0b =，11
[lg11]1
b
==，101
[lg101]2
b
==．
（Ⅱ）因为lg10=，lg101=，lg1002=，lg10003=．所以19n ≤≤时，[lg ]0n =． 当100999n ≤≤时，[lg ]2n =．当999n =时，[lg ]3n =． 所以数列{}n
b 的前1000项和
1000121000[lg1][lg2][lg3][lg1000]0901900231893
T b b b =+++=++++=+?+?+=L L ．
18．（Ⅰ）设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为1
p ， 则1
0.200.200.100.050.55p =+++=．
（Ⅱ）设所求概率为2
p ，则2
0.100.050.153
0.200.200.100.050.5511
p
+=
==
+++．
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=，
所以续保人本年度的平均保费1.23a 与基本保费a 的比值为1.23 1.23a
a =． 19．（Ⅰ）略．295
20．（Ⅰ）当||||AM AN =时，1k =，直线:2l y x =+．代入椭圆方程整理得2
71640
x x ++=．
因为直线l 与椭圆E 的交点为(2,0)A -，0
(,)M x y ，所以0
16
27
x
-+=-
，得0
27
x
=-
，
所以点212(,)77M -，又212(,)77
N --，所以△AMN 的面积1242144
(2)27749S =??-+=
． （Ⅱ）令2
t a =，则直线AM 方程()y k x a =+．
联立椭圆直线方程，消去y 整理得22
2
23222(3)2(3)0
a k x
k a x a a k +++-=．
于是23
022
23k a a x
a k -+=-
+，所以2323
02222
2333k a a k a x
a a k a k -=-
=
++，
所以
22
6||3a AM a k +，22
2266||133a ak AN k a a k
++．
因为
2||||AM AN =，所以22
22
6633a ak
a k k a ++，即2
3
2(2)63a k
k k
-=-．
所以23
632
k
k
t k
-=-，
因为
3t >，所以23
6332k
k
k ->-，整理得3
2
02
k k ->-2k k
<，
所以
k 的取值范围是．
21．（Ⅰ）对2
()e 2
x
x f x x -=+求导，得2
2
()e (2)x x f x x '=
+． 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增， 所以()(0)f x >．
因为(0)1f =-，所以2
e
1
2
x
x x ->-+，
所以(2)e 20x
x x -++>．
（Ⅱ）对
2
e ()x ax a g x x --=
求导，得
3
3
2(2)[
e ]e (2)(2)2()x
x x x a x a x x g x x x -++-+++'==
，0x >．
记2
()e 2
x
x x a x ?-=++，0x >． 由（Ⅰ）知函数()x ?区间(0,)+∞内单调递增，所以()(0)x ??>，
又(0)10a ?=-+<，(2)0a ?=>，所以存在唯一正实数0
x ，使得0
02()e 02
x x x a x
?-=+=+．
于是，当0
(0,)x x ∈时，()0x ?<，()0g x '<，函数()g x 在区间0
(0,)x 内单调递减；
当0
(,)x x ∈+∞时，()0x ?>，()0g x '>，函数()g x 在区间0
(,)x +∞内单调递增．
所以()g x 在(0,)+∞内有最小值0
00
2
0e
()x ax a g x x --=，由题设0
02
0e
()x ax a h a x --=．
又因为0
02e 2
x x
a x
--=+．所以0
1()e 2
x g x x =+． 根据（Ⅰ）知，()f x 在(0,)+∞内单调递增，0
2e (1,0]2x x
a x
-=-∈-+，
所以0
02
x
<≤．
令1()e (02)2x
u x x x =<≤+，则1
()e
2
x
x u x x +'=>+，
函数()u x 在区间(0,2)内单调递增，所以(0)()(2)u u x u <≤，
即函数()h a 的值域为2
1e
(,]24
． 22．（Ⅰ）在Rt △DEC 中，因为DF EC ⊥， 所以90FDC DCE FCB ∠=?-∠=∠，
且DF CF DE DC =，因为DE DG =，BC CD =，所以DF FC
DG CB
=
， 所以△DFG ∽△CFB ．
所以DGF CBF ∠=∠．所以180FGC CBF ∠+∠=?． 所以B ，C ，G ，F 四点共圆．
（Ⅱ）因为12DE AD =，DG DE =，所以12
DG DC =． 因为B ，C ，G ，F 四点共圆，所以90GFB GCB ∠=∠=?． 所以△GFB ≌△GCB ．
所以△GCB 的面积1111224
S =??=． 23．（Ⅰ）由圆C 的标准方程2
2(6)25
x y ++=，得2
21290
x
y x +++=，
所以圆C 的极坐标方程为2
12cos 90
ρ
ρθ++=．
（Ⅱ）将cos ,sin x t y t αα
=??
=?
代入22(6)25
x y ++=，
整理得2
12cos 110
t
t α++=．
设A ，B 两点对应参数值分别为1
t ，2
t ， 则1
2
12cos t t
α
+=-，12
11
t t
=．
所以
1
2
||||AB t t
=-2
3
cos 8α=，
解得cos α=，
所以tan α
或tan α=．
24．（Ⅰ）函数
12,,21
1()1,,
2212,.
2x x f x x x x ?
-≤-??
?=-<
，则不等式()2f x <可化为1
,222,
x x ?
≤-??
?-
1
,
2212,
x ?-<
222,x x ?
≥???
解得11x -<<．
所以不等式()2f x <的解集为(1,1)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知(1,1)a ∈-，(1,1)b ∈-，所 以2
10
a
->，2
10
b
->，于是2
2
(1)(1)0a b -->，即2
2(1)
()0
ab a b +-+>，
所以|1|||ab a b +>+．