高三物理一轮复习优质学案：运动图象 追及相遇问题

能力课 运动图象 追及相遇问题

运动图象的理解及应用

1.对运动图象的认识，应注意以下三点

(1)无论是x －t 图象还是v －t 图象都只能描述直线运动。

(2)x －t 图象和v －t 图象不表示物体运动的轨迹，x 、v 与t 一一对应。

(3)一般试题中，关键点是根据斜率判断物体的运动状况，x －t 图象的斜率表示物体运动的速度，根据x －t 图象的斜率判断速度变化情况；v －t 图象的斜率表示物体运动的加速度，根据v －t 图象的斜率判断加速度的变化情况。

2.分析图象问题时应注意“六看”

一看“轴”?

??x －t 图象纵轴表示位移v －t 图象纵轴表示速度 二看“线”???x －t 图象上倾斜直线表示匀速直线运动v －t 图象上倾斜直线表示匀变速直线运动

三看“斜率”???x －t 图象上斜率表示速度v －t 图象上斜率表示加速度

四看“面积”???v －t 图象上图线和时间轴围成的“面积” 表示位移

五看“纵截距”???x －t 图象表示初位置v －t 图象表示初速度

六看“特殊点”???拐点（转折点）：一般表示从一种运动变为另一种运动交点：在x －t 图象上表示相遇，在v －t 图象上表示速度相等

命题角度1 [常考点]图象选择类问题

依据某一物理过程，设计某一物理量随时间(或位移、高度、速度等)变化的几个图象或此物理过程中某几个物理量随某一量的变化图象，从中判断其正误。『例1』一物体以某一初速度冲上光滑且足够长的斜面，并做直线运动，则下列描述该物体在斜面上运动的速度—时间图象可能正确的是()

解析物体冲上斜面先做匀减速直线运动，运动到最高点时，速度为零，然后返回做匀加速直线运动，该过程速度方向发生变化，由于斜面光滑，故物体运动的加速度大小不变，方向不变，上滑与下滑运动距离等大，选项A、B错误；物体在光滑斜面上运动的加速度大小为g sin θ

解决该类问题一般依据物理过程，运用对应规律，实现公式与图象之间的转化确定某物理量的变化情况，从而确定选项的正确与否。

『变式训练1』(2018·阜阳模拟)如图1所示，一物体从静止开始做直线运动的加速度随时间变化的图象，则下列物体运动的v－t图象中正确的是()

图1

解析在0～1 s内，物体从静止开始沿正方向以2 m/s2的加速度做匀加速运动，速度图象是一条倾斜直线，1 s末速度v1＝a1t＝2 m/s；在1～2 s内，沿正方向以2 m/s的速度做匀速直线运动；2～3 s内物体以1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，3 s末速度为v3＝v1＋a2t＝3 m/s；3～4 s内物体以2 m/s2的加速度沿正方向做匀减速直线运动，4 s 末速度v4＝v3－a3t＝1 m/s，故选项A正确。

答案 A

命题角度2[热考点]图象信息类问题

这类问题是对某一物理情景给出某一物理量的具体变化图象，由图象提取相关信息或将图象反映的物理过程“还原”成数学表达式形式从而对问题做出分析判断作答。

『例2』(多选)如图2所示为一个质点做直线运动的v－t图象，则下列说法正确的是()

图2

A.质点在0～5 s内的位移为5 m

B.质点在整个运动过程中，10～12 s内的加速度最大

C.质点在10 s末离出发点最远

D.质点在8～12 s内的平均速度为4 m/s

思路指导根据v－t图象判断物体运动情况，并从图中得出速度、加速度、位移

等物理量，具体思路如下：

解析 根据速度图象中图线与时间轴所围的面积表示位移可知，质点在0～5 s 内

的位移x ＝12×2×5 m ＝5 m ，选项A 正确；由v －t 图象的斜率表示加速度可知，0～5 s 内的加速度大小a 1＝25 m/s 2，8～10 s 内的加速度大小a 2＝6－210－8

m/s 2＝2 m/s 2，10～12 s 内的加速度大小a 3＝6 m/s 2，所以质点在整个运动过程中，10～12 s 内的加速度最大，选项B 正确；质点在11 s 末离出发点最远，选项C 错误；质点在8～12 s 内的位移x ＝8 m ，平均速度为v －＝

812－8

m/s ＝2 m/s ，选项D 错误。

答案 AB

解决此类问题时要根据物理情景中遵循的规律，由图象提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。具体分析过程如下：

『变式训练2』 (2018·内蒙古部分学校高三联考)P 、Q 两物体从同一位置由静止

开始沿同一直线同向运动，a －t 图象如图3所示，下列说法正确的是(

)

图3

A.t ＝6 s 时，P 、Q 两物体的速度之比为2∶1

B.t ＝4 s 时，P 、Q 两物体的速度之比为2∶1

C.2～4 s 内，Q 的位移大小为48 m

D.4～6 s 内，Q 的位移大小为64 m

解析 a －t 图象中图线与时间轴所围面积表示速度变化量Δv ，由于初速度为零，

所以v ＝Δv ，得t ＝6 s 时，P 、Q 两物体的速度之比v P v Q ＝12×4×1612×

（4＋6）×8＝45，选项A 错误；t ＝4 s 时，P 、Q 两物体的速度之比v P ′v Q ′＝12×

2×812×

（2＋4）×8＝13，选项B 错误；t ＝2 s 时，Q 的速度v 1＝12×2×8 m/s ＝8 m/s ，2～4 s 内，Q 的位移x 1＝v 1Δt 1＋

12a 1(Δt 1)2＝? ??

??8×2＋12×8×22m ＝32 m ，选项C 错误；2～6 s 内，Q 的位移x 2＝v 1Δt 2＋12a 1(Δt 2)2＝? ??

??8×4＋12×8×42m ＝96 m ，4～6 s 内，Q 的位移x ＝x 2－x 1＝64 m ，选项D 正确。

答案 D 『知识拓展』 图象面积意义的拓展

物理图象中，图线与坐标轴所围的“面积”表示“x 量”与“y 量”乘积，如：

(1)v －t 图象的面积表示位移x ，且x ＝v ·t 。

(2)a －t 图象的面积表示速度的变化量Δv ，且Δv ＝a ·t 。

(3)F －s 图象的面积表示功W ，且W ＝F ·s 。

命题角度3 [冷考点]应用图象巧解物理问题

1.对于实际问题在无法运用物理公式解答的情况下，用图象法则会使思路豁然开朗。

2.运用图象法时，要结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量。

『例3』 (2017·河南联考)为了研究汽车的启动和制动性能，现用甲、乙两辆完全相同的汽车在平直公路上分别进行实验。让甲车以最大加速度a 1加速到最大速度后匀速运动一段时间再以最大加速度a 2制动，直到停止；乙车以最大加速

度a 1加速到最大速度后立即以加速度a 22制动，直到停止。实验测得甲、乙两车的

运动时间相等，且两车运动的位移之比为5∶4。则a 1∶a 2的值为( )

A.2∶1

B.1∶2

C.4∶3

D.4∶5

解析 根据题述，作出甲、乙两车的速度图象，如图所示。设

甲车加速运动的时间为t 1，总时间为t 2。由题意知，甲车制动

的加速度是乙车制动加速度的2倍，所以甲车匀速运动时间与减速运动时间相

等。又由x 甲∶x 乙＝5∶4得? ????12

vt 1＋v ·t 2－t 12＋12v ·t 2－t 12∶12vt 2＝5∶4，解得t 1∶t 2＝1∶2。可知a 1＝a 22，即a 1∶a 2＝1∶2，选项B 正确。

答案 B

运用图象解答物理问题的“三个”步骤

(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定所需的横、纵坐标表示的物理量。

(2)根据题意，找出两物理量的制约关系，结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象。

(3)由所作图象结合题意，运用函数图象进行表达、分析和推理，从而找出相应

的变化规律，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量。 『变式训练3』 某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( )

A.v ＝x t

B.v ＝2x t

C.v >2x t

D.x t

解析 该同学假设飞机做匀减速运动，所用的时间为t ，画出相

应的v －t 图象大致如图所示的虚线。根据图象的意义可知，虚

线下方的“面积”表示位移。因为位移为x ，则得出初速度为2x t 。

实际上，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，v －t 图象切线的斜率减小，画出相应的v －t 图象大致如图所示的实线。根据图象

的意义可知，实线下方的“面积”表示位移。所以飞机着陆的速度v ＞2x t ，故选项

C 正确。

答案 C

追及与相遇问题

讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。

1.抓住一个条件，两个关系

(1)一个条件：二者速度相等。它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

(2)两个关系：即时间关系和位移关系。可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。

2.能否追上的判断方法

常见情形：物体A 追物体B ，开始二者相距x 0，则

(1)A 追上B 时，必有x A －x B ＝x 0，且v A ≥v B 。

(2)要使两物体恰不相撞，必有x A－x B＝x0，且v A≤v B。

命题角度1[常考点]与运动图象相结合的追及相遇问题

近几年的高考追及和相遇问题常以v－t图象的形式考查，因为图象描述两物理量关系时，比较直观、形象且信息量大，体现了数形结合法的应用。

『例4』(多选)如图4所示，甲、乙两个物体同时从同一地点出发、沿同一直线运动的速度—时间图象。下列说法正确的是()

图4

A.在0～2.0 s内，甲的加速度小于乙的加速度

B.在2.0 s时，乙在甲前面

C.在0～6.0 s内，甲和乙的位移相同

D.在0～6.0 s内，甲和乙相遇一次

解析速度—时间图象的斜率的绝对值表示物体加速度的大小，则0～2.0 s的过程中，物体甲的加速度大于物体乙的加速度，选项A错误；图象与时间轴围成的面积表示物体的位移，则由图象可知0～2.0 s的时间内，物体甲的位移大小为6 m、物体乙的位移大小为10 m，显然2.0 s时物体乙处在物体甲的前方，选项B 正确；0～6.0 s的时间内，物体甲的位移大小为24 m、物体乙的位移大小为18 m，6.0 s时物体甲在物体乙的前方，选项C错误；由以上分析可知在0～6.0 s的时间内，物体乙先在前面，后来物体甲一直在物体乙的前面，则0～6.0 s内物体甲和物体乙相遇一次，选项D正确。

答案BD

用运动图象解答追及和相遇问题的思路

『变式训练4』(2018·河北衡水中学调研)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v－t图象如图5所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是()

图5

A.在第10 s末，乙车改变运动方向

B.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m

C.在第20 s末，甲、乙两车相遇

D.若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次

解析由图可知，在20 s内，乙车一直沿正方向运动，速度方向没有改变，故选项A错误；由于不知道初始位置甲、乙相距多远，所以无法判断在10 s末两车相距多远，及在20 s 末能否相遇，故选项B、C错误；若刚开始乙车在前，且距离为150 m，则在10 s末两车相遇，之后甲在乙的前面，乙的速度增大，在某个时刻与甲再次相遇，故选项D正确。

答案 D

命题角度2[常考点]与实际生活相结合的追及相遇问题

『例5』一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速

＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v

自

过汽车。试求：

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？

解析 (1)法一 物理分析法 汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t 1，两车间的距离为Δx ，则有v 自＝at 1

所以t 1＝v 自a ＝2 s

Δx ＝v 自t 1－12

at 21＝6 m 。 法二 相对运动法 以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为

初速度v 0＝v 汽初－v 自＝0－6 m/s ＝－6 m/s

末速度v ＝v 汽车－v 自＝0

加速度a ′＝a －a 自＝3 m/s 2－0＝3 m/s 2

所以两车相距最远时经历的时间为t 1＝v －v 0a ＝2 s

最大距离Δx ＝v 2－v 202a ′＝－6 m

负号表示汽车在后。

注意 利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。

法三 极值法 设汽车在追上自行车之前经过时间t 1两车相距最远，则Δx ＝v

自

t 1－12at 21

代入已知数据得Δx ＝6t 1－32t 21

由二次函数求极值的条件知：t 1＝2 s 时，Δx 有最大值6 m 。

所以经过t 1＝2 s 后，两车相距最远，此时距离为Δx ＝6 m 。

法四 图象法 自行车和汽车的v －t 图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t 1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有

t 1＝v 2a ＝63 s ＝2 s

Δx ＝v 2t 12＝6×22

m ＝6 m 。 (2)法一 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t 2，

则有v 自t 2＝12at 22

解得t 2＝2v 自a ＝2×63 s ＝4 s

此时汽车的速度v 1′＝at 2＝12 m/s 。

法二 由前面画出的v －t 图象可以看出，在t 1时刻之后，当由图线v 自、v 汽和t ＝t 2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t 2＝2t 1＝4 s ，v 1′＝at 2＝3×4 m/s ＝12 m/s 。 答案 (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s

求解追及和相遇问题的两点技巧

『变式训练5』 (2017·山东菏泽模拟)A 、B 两列火车，在同一轨道上同向行驶，

A车在前，其速度v A＝10 m/s，B车在后，速度v B＝30 m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停下来。

(1)B车刹车时A仍按原速率行驶，两车是否会相撞？

(2)若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经过Δt＝4 s收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞？

解析(1)B车刹车至停下来过程中，由v2－v2B＝2a B x

解得a B＝－v2B

2x

＝－2.5 m/s2

减速到零所用时间t＝－v B

a B

＝12 s

画出A、B两列火车的v－t图象如图所示。

根据图象计算出两列火车达到相同速度时的位移分别为

x A＝10×8 m＝80 m，x B＝30＋10

2×8 m＝160 m

因x B>x0＋x A＝155 m，故两车会相撞。

(2)设A车加速度为a A时两车不相撞，在B车发出信号t时间后两车速度相等，有v B＋a B t＝v A＋a A(t－Δt)

B车位移x B＝v B t＋1

2a B t

2

A车位移x A＝v A t＋1

2a A(t－Δt)

2

为使两车不相撞，两车的位移关系满足x B≤x0＋x A 联立以上各式解得a A≥0.83 m/s2

即A车的加速度至少为0.83 m/s2。

答案(1)两车相撞(2)0.83 m/s2

易错分析根据两车停止运动时，比较二者位移关系是最常见的错误，若根据此

思路，A车的位移120 m，B车的位移1

2×30×12 m＝180 m，二者位移差小于初始距离，故不相碰，恰好与正确答案相反。

运动图象的应用——思维能力的培养

高考题源于教材，又高于教材，这就要求师生们一起研究教材、提升教材，使得学生不知不觉地从教材走进了高考。

[题源：人教版必修1·P41·T5]

一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它对于出发点的位移。图2.3－5为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的x－t图象。通过分析回答以下问题。

图2.3－5汽车行驶的x－t图象

(1)汽车最远距离出发点多少米？

(2)汽车在哪段时间没有行驶？

(3)汽车在哪段时间驶离出发点，在哪段时间驶向出发点？

拓展1人教版必修1·P41·T5中的x－t图象变为v－t图象，如图6所示，其他条件不变，下列分析正确的是()

图6

A.汽车离出发点最远的距离为750 m

B.汽车在10～20 s时间内静止

C.汽车只在20～40 s时间内驶离出发点

D.汽车在40 s末回到出发点

解析 汽车先加速运动，后匀速运动，再减速运动，在0～40 s 时间内，速度均为正方向，所以汽车一直向远离出发点的方向运动，选项B 、C 、D 均错误；汽

车离出发点的最远距离s ＝12(10＋40)×30 m ＝750 m ，选项A 正确。

答案 A

拓展2 拓展1是利用v －t 图象研究一个物体的运动情况――→提升利用v －t 图象研

究两个物体的运动情况。

[人教版必修1·P 33·T 2改编]

(多选)在同一公路上，B 、C 两辆汽车的v －t 图象b 、c 如图7所示，两辆汽车同时同地出发，下列说法正确的是( )

图7

A.B 车的加速度为74 m/s 2，C 车的加速度为－23 m/s 2

B.t ＝2 s 时，C 车在B 车后

C.B 、C 两车在大约1.6 s 时并排行驶

D.B 、C 两车并排行驶时离出发点的距离约为9.6 m

解析 根据图象信息可知：a B ＝14－08 m/s 2＝74 m/s 2，a C ＝0－46 m/s 2＝－23

m/s 2，选项A 正确；

设经过时间t ，B 、C 两车并排行驶，则

x B ＝x C ①

又因x B ＝12a B t 2②

x C ＝v 0t ＋12a C t 2③

由图象可知v 0＝4 m/s ④

联立①②③④得t ＝9629 s≈3.31 s(t ＝0舍去)

所以t ＝2 s 时，C 车在B 车前，选项B 、C 错误；

B 、

C 两车并排行驶时离出发点的距离为

x ＝12a B t 2＝12×74×? ??

??96292m≈9.6 m 所以，选项D 正确。

答案 AD

拓展3 (2016·全国卷Ⅰ，21) (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v －t 图象如图8所示。已知两车在t ＝3 s 时并排行驶，则( )

图8

A.在t ＝1 s 时，甲车在乙车后

B.在t ＝0时，甲车在乙车前7.5 m

C.两车另一次并排行驶的时刻是t ＝2 s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m

解析 根据v －t 图知，甲、乙两车都沿正方向运动。t ＝3 s 时，甲、乙两车并排行驶，此时v 甲＝30 m/s ，v 乙＝25 m/s ，由v －t 图线所围面积对应位移关系知，

0～3 s 内甲车位移x 甲＝12×3×30 m ＝45 m ，乙车位移x 乙＝12×3×(10＋25) m ＝52.5

m 。故t ＝0时，甲、乙两车相距Δx 1＝x 乙－x 甲＝7.5 m ，即甲车在乙车前方7.5

m ，选项B 正确；0～1 s 内，x 甲′＝12×1×10 m ＝5 m ，x 乙′＝12×1×(10＋15) m ＝12.5

m ，Δx 2＝x 乙′－x 甲′＝7.5 m ＝Δx 1，说明在t ＝1 s 时甲、乙两车第一次相遇，选项

A 、C 错误；甲、乙两车两次相遇地点之间的距离为x ＝x 甲－x 甲′＝45 m －5 m ＝40 m ，所以选项D 正确。

答案BD