中业考研数学二真题及答案解析-精品
中业考研数学二真题及答案解析-精品 2020-12-12
【关键字】条件、领域、矛盾、充分、统一、研究、位置、需求、关系、满足
2016年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1
）设(
)
(
1231,1,1a x a a ===.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高
阶的排序是
（A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a
（2）已知函数()()21,1
ln ,1
x x f x x x -
≥??，则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()()()()()()()()()()()()()()22
22
1,11,1
ln 1,1ln 11,1
1,11,1
ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ??-<-
-≥+-≥??????-<-
++≥-+≥????
（3）反常积分①1
21,x e dx x -∞?②1
201x e dx x
+∞?的敛散性为 （A ）①收敛②收敛 （B ）①收敛②发散
（C ）①收敛②收敛 （D ）①发散②发散
（4）设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则
（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点
(5)设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''
0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处
具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有
12()()()()A f x f x g x ≤≤ 21()()()()B f x f x g x ≤≤ 12()()()()C f x g x f x ≤≤ 21()()()()
D f x g x f x ≤≤
（6）已知函数(,)x e f x y x y
=-，则
''''''''()0()0()()x y x y x y x y A f f B f f C f f f
D f f f
-=+=-=+=
（7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T
B 相似 （B ）1A -与1
B -相似 （
C ）T A A +与T
B B +相似 （D ）1A A -+与1
B B -+相似
（8）设二次型222
123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（ ）
（A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<<
（D ）1a =或2a =-
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9） 曲线()3
22
arctan 11x y x x
=+++的斜渐近线方程为 （10）极限2112
lim sin 2sin sin n n n n n n n →∞
??
+++= ???
（11）以2x
y x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为
（12）已知函数()f x 在(),-∞+∞上连续，且()()()2
012x
f x x f t dt =++?，则当2n ≥时，()
()0n f =
（13）已知动点P 在曲线3
x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。若点P 的横坐标时间的变化率为常数
0v ，则当点P 运动到点()1,1时，l 对时间的变化率是_________
（14）设矩阵111111a a a --?? ?-- ? ?--??与110011101?? ?
- ? ???
等价，则a =
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求()41
lim cos 22sin x x x x x →+
（16）（本题满分10分）设函数()()01
22>-=
?
x dt x t x f ，求()x f '并求()x f 的最小值
（17）（本题满分10分）已知函数()y x z z ,=由方程()
()012ln 2
2=+++++y x z z y x 确定，求()y x z z ,=的极
值
（18）（本题满分10分）设D 是由直线x y x y y -===,,1围成的有界区域，计算二重积分dxdy y x y xy x D
??+--2
222
（19）（本题满分10分）已知()()()x
x
e x u x y e x y ==21,是二阶微分方程()()02'12''12=++--y y x y x 的解，若
()()10,1-==-u e u ，求()x u ，并写出该微分方程的通解
（20）（本题满分11分）设D 是由曲线()1012
≤≤-=x x y 与??? ?
?
≤≤?????==20sin cos 3
3
πt t y t x 围成的平面区域，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积
（21）（本题满分11分）已知()x f 在??????23,0π上连续，在?
?
?
??23,0π
内是函数π32cos -x x 的一个原函数()00=f （1）求()x f 在区间???
???23,
0π上的平均值 （2）证明()x f 在区间??
?
??2
3,
0π内存在唯一零点 （22）（本题满分11分）设矩阵11101
0,111122a A a a a a β-????
? ?
== ? ? ? ?++-????
，且方程组Ax β=无解， （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求方程组T
T
A Ax A β=的通解 （23）（本题满分11分）
已知矩阵011230000A -??
?
=- ? ???
.
（Ⅰ）求99
A ；
（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=，满足2B BA =，记100
123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的
线性组合。
2016年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）【答案】（B ） 【解析】当+→0x 时
()
212
1
~1cos x x x a --=
(
)
6
53
2~1ln x x x a += ()x x a 3
1~
113
13-+= 故从低阶到高级顺序：132,,a a a ，选B （2）
【答案】（D ）
【解析】由原函数必连续，故A ，C 排除。又1≥x 时，()[]x x x ln '11ln =+-，故选Ｄ （3）【答案】（B ）
【解析】()110|101
10
2=--=-=∞-∞-?x x
e dx e x
收敛 ()
+∞=--=-=∞
+∞∞
+?
e e dx e x
x x 1|101
10
2 发散 （4）
【答案】（A ）
【解析】由()x f '两个零点左右都反号，故极值点有两个， 又拐点是()x f '的极值点，故拐点有两个。选Ａ
(5)【答案】（A ）
【解析】因)(1x f y =与)(2x f y =在()00,y x 有公切线。 则()()()().,02010201x f x f x f x f '
='=
又)(1x f y =与)(2x f y =在()00,y x 处的曲率关系为21k k >， 因()()[]
()
()[]
2
30121
0222
3012
1
0111,1x f
x f k x f
x f k +''=
+'
'=
又()(),0,00201<''<'
'x f x f 则()().00201<''<''x f x f 从而在0x 的某个领域内)(1x f 与)(2x f 均为凸函数。故()(),)(,)(21x g x f x g x f ≤≤排除（C ）,(D)。 令)()()(21x f x f x F -=，则.0)(0)(0)(000<''='=x F x F x F ，，
由极值的第二充分条件得0x x =为极大值点。则.0)()(0=≤x F x F 即：).()(21x f x f ≤综上所述，应选（A ）.
（6）【答案】（D ）
【解析】()()2'
y x e y x e f x x x
---=，()2'y x e f x y -=故()()
()f y x e y x y x e f f x x y x =-=--=+2
'' （7）【答案】（C ）
【解析】此题是找错误的选项。由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵,P 使得1
P AP B -=，则
111111111111111111(1)()()~,A (2)()~(3)()~, T T T T T T T T P AP B P A P B A B P AP B P A P B A B B P A A P P AP P A P B B A A B B D ------------------=?=?=?=?+=+=+?++故（）不选；，故（）不选；
故（）不选；
此外，在（C ）中，对于1
1
1
()T
T
P A A P P AP P A P ---+=+，若1
=P AP B -，则1
()
T
T
T T P A P B -=，而1T
P A P
-未必等于T
B ，故（
C ）符合题意。综上可知，（C ）为正确选项。
（8）【答案】（C ）
【解析】考虑特殊值法，当0a =时，123122313(,,)222f x x x x x x x x x =++，
其矩阵为011101110??
?
? ???
，由此计算出特征值为2,1,1--，满足题目已知条件，故0a =成立，因此（C ）为正确选项。
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）【答案】2
π
+
=x y
【解析】()11arctan 1lim lim 222=????
??+++==∞→∞→x x x x x y k x x ()()
()
2
1arctan 1lim 1arctan 1lim lim 22
22
3π=?
?? ??+++-=???? ??++-+=-=∞→∞→∞→x x x x x x x x y b x x x
故渐近线为2
π
+
=x y
（10）
【答案】sin1cos1- 【解析】由?∑∑====∞→=∞→101
21sin 1
sin lim 1sin lim xdx x n n i n i n n i i I n i n n
i n 1cos 1sin cos |cos 1
1
-=+-=?xdx x x
（11）
【答案】2
2y y x x '-=- 【解析】令微分方程为()()x q y x P y =+
则()()()()()
()
?????=-+-=+x q e x x P e x x q x x P x x
x 2222
故()()2
2,1x x x q x P -=-=
（12）【答案】225?
【解析】由()()()()()22212'
++=++=x f x x f x x f
则()()40,10'
==f f
则()()()x f x f
''
'12+=，故()5210''?==x f
()()x f x f '''''2=，故()()52022'''''?==f x f
以此类推，得
()()521?=-n n x f ，故()()52022'''''?==f x f
（13）
【答案】0
【解析】令()()()t y t x P ,，则()()t x t y 3
=
又()()t y t x l 22+=
则()()()()()()
t y t x t y t y t x t x dt dl 22''++=
又()()()()0'
2'0'33,v t x t x t y v t x ===
则
00
0222
3v v v dt dl =+= （14） 【答案】2.
【解析】1111011,01111101a A a B a --???? ? ?
=--=- ? ? ? ?--????
，由A 与B 等价，可得()()r A r B =，因为
110110011011()2101000B r B ????
? ?
=--?= ? ? ? ?????
初等行变换,故()202r A A a =?=?=或-1,当1a =-
时，有()1r A =，这与()2r A =矛盾，故2a =.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【解析】()4
1
sin 22cos lim x x x x x +→
()
4334204
01623221lim 1-sin 22cos lim
x x o x x x x x x x x x x x -???? ??+-++-=+=→→ ()
3
131lim 44
4
0=+=→x x o x x （16）【解析】当11<<-x 时，()()
()
3
1
34231
220
22
+-=
-+-=??x x dt x t dt t x
x f x
x 当1≥x 时，()()
3
1
210
22
-=-=
?x dt t x
x f
则()?????
???
??
?≥-
<≤+-<<-+---≤-=1
311031340
13134131223232x x x x x x x x x x x f
()???
????><<-<<----<=1
21024012412'2
2
x x x x x x x x x x
x f
由导数的定义可知，()()()21',00',21'==-=-f f f
故()???
????≥<≤-<<----≤=1
21024012412'2
2
x x x x x x x
x x x x f
由于()x f 是偶函数，所以只需求它在[)∞+，
0上的最小值。 易知()();1,0,0'∈
2
1=
f 。 （17）【解析】方程()
()012ln 2
2
=+++++y x z z y x 两边对x 求导
()
02222=+??+??++z
x
z
x z y x xz （1）
令
0=??x
z
，则01=+xz ① 方程()
()012ln 2
2
=+++++y x z z y x 两边对y 求导
()
02222=+??+??++z
y
z y z y x yz （2）
令
0=??y
z
，则01=+yz 由???=+=+0101yz xz 得??
???-==x z y
x 1，
代入原方程知??
?=-==1
1
z y x ，令()1,10--P
② 求0
002
222
2,,
P P P y z y x z x z ???????
（一）方程（1）两边再对x 求导：
()
011222'
2222
22=????? ??+??+??++??+??+x
z z x z z x z y x x z x x z x z 把?
??=-==11z y x 代入得A x z
=-
=??3
2
P 2
2 （二）方程（1）两边再对y 求导：
()
011222
'
222=???+????? ??+???++??+??y
x z z x z z y x z y x x z y y z x 把?
??=-==11z y x 代入得B y x z ==???02
（三）方程（2）两边再对y 求导：
()
011222'
2222
22=????? ??+??+??++??+??+y
z z y z z y z y x y z y y z y z 把???=-==1
1z y x 代入得C y z =-=??32
22