傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别

傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。

傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。主要用于信号处理。

拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。

z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。

第四章Z变换

1 Z变换的定义

(1) 序列的ZT：

(2) 复变函数的IZT：，是复变量。

(3) 称与为一对Z变换对。简记为或

(4) 序列的ZT是的幂级数。代表了时延，是单位时延。

(5) 单边ZT：

(6) 双边ZT：

2 ZT收敛域ROC

定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。收敛的充要条件是它

(3) 有限长序列的ROC

序列在或(其中)时。

收敛域至少是。

序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：

当时，收敛域为( 除外)

右边序列的ROC

序列在时。

如果，则序列为因果序列。

ROC的情况：

当时，ROC为；

当时，ROC为。

左边序列的ROC

序列在时。

如果，则序列为反因果序列。

ROC的情况：

当时，ROC为；

当时，ROC为。

双边序列的ROC

序列在整个区间都有定义。

双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是

如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。

注意：

求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；

实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。

关于极点与ROC关系的一些结论：

一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通的。

序列ZT的ROC是以极点为边界的。

右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。

左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。

双边序列ZT的ROC，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)。

3 常用序列及其ZT

单位冲激序列d(n)

定义：

ZT：

ROC：

注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。

单位阶跃序列u(n)

定义：

ZT：

序列的单边ZT用双边ZT表示为：

序列是因果序列的充要条件是：

序列是反因果序列的充要条件是：

矩形脉冲序列GN(n)

定义：

ZT：( )

注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。

单位斜变序列nu(n)

单边指数序列anu(n)

4 ZT的性质

(1) 线性性：( )

(2) 时域平移性：

(i) 双边ZT：

(a) 左移：( )

(b) 右移：( )

(ii) 单边ZT：

左移：

右移：( )

对因果序列：

(3) 时域扩展性：

定义：，a是扩展因子。

a>1 时，相当于在原序列每两点之间插入(a-1) 个零。

a<-1时，相当于原序列先反褶，然后每两点之间插入(-a-1) 个零。ROC：或

如序列是偶对称的，则

如序列是奇对称的，则

如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点(或极点) ，那么它必含有另外一个与互为倒数的零点(或极点) 。

(4) 时域共轭性：

(i) ( )

(ii) 如果序列是实序列，则

(iii) 如果实序列的ZT含有一个零点(或极点) ，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点(或极点) 。

(5) z域尺度变换(或序列指数加权)性：

用复指数序列去调制一个序列时，可以调制其相位特性。

(6) z域微分(或序列线性加权)性：

(i) ( )

(ii) ROC唯一可能的变化是加上或去掉0或。

(iii) ( )

初值定理：是因果序列，，则。

终值定理：是因果序列，，则

只有在存在时才能用, 此时的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能位于，且是一阶极点)。

逆Z变换的求解

部分分式展开法：基本思路：把展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加即可得到。通常做法展开的对象是，而不是。

幂级数展开法：把按展成幂级数，那么其系数组成的序列即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。

6 离散时间系统

离散时间系统及其分类：

定义：离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入通常称为激励，输出称为响应。输入输出的对应关系可简记为

系统的响应可以分为零状态响应(系统处于零状态时对应的响应)和零输入响应(没有激励时系统的响应)。

线性离散时间系统：对任意一组常数( )，满足条件

的系统。否则就是非线性系统。

时不变离散时间系统：在同样起始状态下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。即：。否则就是时变系统。

(2) LTI离散时间系统的表示方法：

一般用差分方程来描述。

有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数和相加。

差分方程的一般形式是：

(3) 离散时间系统响应的ZT法求解的基本步骤：

求出激励的ZT；

对表示离散系统的差分方程两边施加ZT；

把激励的ZT代入，求出响应的ZT；

求IZT，即可得到系统的响应。

离散时间系统的传递函数

定义1：定义为离散系统的传递函数或系统函数。它表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值。

定义2：定义离散系统的单位冲激响应为系统对单位冲激序列的零状态响应，并记作为，即

定义3：离散系统的单位阶跃响应为为系统对单位阶跃序列u(n) 的零状态响应。

第五章离散傅里叶变换

1 离散傅里叶变换(DFT)的推导

(1) 时域抽样：

目的：解决信号的离散化问题。

效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。

(2) 时域截断：

原因：工程上无法处理时间无限信号。

方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。

结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。

(3) 时域周期延拓：

目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。

方法：周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。

表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。

结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。

(4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。

图1 DFT推导过程示意图

(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：

(i) 是离散函数，仅在离散频率点处存在冲激，强度为，其余各点为0。

(ii) 是周期函数，周期为，每个周期内有个不同的幅值。

(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。

2 DFT及IDFT的定义

(1) DFT定义：设是连续函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的DFT为：

(2) IDFT定义：设是连续频率函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的IDFT为：

(3) 称为N点DFT的变换核函数，称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。

(4) 同样的信号，宽度不同的DFT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。

(5) 引入

(i) 用途：

(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为和。

(b) 核函数的正交性可以表示为：

(d) IDFT可以表示为：

(ii) 性质：周期性和对称性：

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

3 离散谱的性质

(1) 离散谱定义：称为离散序列的DFT离散谱，简称离散谱。

(2) 性质：

(i) 周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。

(ii) 共扼对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有共轭对称性。即；；

(iii) 幅度对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有幅度对称性。即；；

(3) 改写：

(i) 简记为

(ii)简记为

(iii) DFT对简记为：或

(iv)

(v)

4 DFT总结

(1) DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，它并不要求该序列具有周期性。

(2) 由DFT求出的离散谱是离散的周期函数，周期为、离散间隔为。离散谱关于变元k的周期为N。

(3) 如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号，，则重建信号是离散的周期函数，周期为(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为(对应离散谱周期的倒数)。

(4) 经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为。

(5) 实序列的离散谱关于原点和(如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~ 范围获得，从低频到高频。

(6) 在时域和频域范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。

5 DFT性质

(1) 线性性：对任意常数( )，有

(2) 奇偶虚实性：

(i) DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。

(ii) DFT有如下的奇偶虚实特性：

奇奇；偶偶；实偶实偶；实奇虚奇；

实(实偶) + j(实奇)；实(实偶)·EXP(实奇)。

(3) 反褶和共轭性：

(4) 对偶性：

(i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N 倍；

(ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。

(5) 时移性：。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。

(6) 频移性：

(7) 时域离散圆卷积定理：

(i) 圆卷积：周期均为N的序列与之间的圆卷积为

仍是n的序列，周期为N。

(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。

(8) 频域离散圆卷积定理：

(9) 时域离散圆相关定理：

周期为N的序列和的圆相关：

是n的序列，周期为N。

(10) 。其中表示按k进行DFT运算