数值计算与算法设计课程设计

课程设计说明书

课程名称: 数值计算与算法设计课程设计

题目: 水塔流量问题的插值与拟合解法

院系：理学院＿

专业班级：＿应用数学2005-2

学号：＿200513795＿

学生姓名：＿＿李坷坷＿＿

指导教师：＿＿许峰＿＿＿

2008 年7月11日

安徽理工大学课程设计任务书

理学院数学系

2008年7月6日

安徽理工大学课程设计成绩评定表

目录

一、问题与假设 (4)

（1）问题 (4)

（2）假设 (4)

二、分析与建模 (5)

（1）记号 (5)

（2）散点图 (5)

三、程序与结果 (6)

（1）方法1 (7)

（2）方法2 (8)

（3）方法3 (9)

四、模型的评价 (11)

（1）优点 (11)

（2）缺点 (11)

五、心得体会 (11)

水塔流量的估计

一、问题与假设

（1）、问题

某社区的自来水是由一个圆柱形水塔提供。水塔高12.2米，直径17.4米。当水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动加水；水位升高到约10.8米时，水泵停止工作；一般水泵每天工作两次。下表给出了某一天在不同时间记录水塔中水位的数据，其中有三次观察时水泵正在供水，无水位记录。

表1-1

试建立适当的数学模型，计算任意时刻的水流速度，估计一天的用水量和水泵的工作功率。

（2）、假设

1、 仅考虑居民的正常用水，不考虑水管破裂、消防用水等异常情况；

2、 根据Torricelli 定律，水的最大流速与水位的平方根成正比。对于所给的

数据，最大水位为10.82米，最小水位为8.22米，11473.122.882.10≈=。因此， 可以假定水位对流速没有影响；

3、 假设水泵的进水速度为常数，不随时间变化，也不是已灌水量的函数，且水

泵的进水速度大于水塔中流出水的最大流速。为了满足公众的用水需求，不让水箱的水用尽是显然的要求。

4、 假设水塔的流水速度可用光滑曲线表示，与水泵工作与否无关。虽然就个别

用户而言，可能用水量有较大的变化，但是每个用户的用水需求量与整个区的用水需求量相比是微不足道的，而且它与整个社区需求量的增减情况是极不相似的。所以单个用户的用水量不能决定整个区的用水量。

5、 水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2

小时，根据表1-1中的数据可知，水泵第一次供水时间段为 [8.97,10.95]，二次供水时间段为[20.84, 22.96]。

二、分析与建模

（1）、记号 引入如下记号：

V ,i V ——水的容积，时刻i t 水的容积(m 3

);

t ——时刻（h ）;

t ?()——流出水箱的流量是时间的函数（m 3

/h ）.

p ——水泵的灌水速度（m 3

/h ）.

0T -——初始数据的当天测试时间. T ——当天的时间（以24小时制）.

（2）、散点图

根据表1-1作出水箱中水位随时间变化的散点图图1，

如下：

图1

再根据表1-1计算出在相邻时间区间的重点及在时间区间内水箱中流出水的平均速度，并将其作成图2， 如下：

图2

问题已经转变为根据流速()f t 的一个函数值表, 产生函数()f t 在整个区间(24小时)上的函数或函数值, 插值是最常用的方法, 可以考虑分段线性插值、三次样条插值等等.

三、程序与结果

先作出所需的散点图，MAPLE 7程序如下： > restart: with(plots): with(stats):

T:=[0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,9.98,10.92,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84,22.01,22.96,23.88,24.99,25.91]:

H:=[9.68,9.48,9.31,9.13,8.98,8.81,8.69,8.52,8.39,8.22,-1,-1,10.82,10.50,10.21,9.94,9.65,9.41,9.18,8.92,8.66,8.43,8.22,-1,10.82,10.59,10.35,10.18]:

L:=[seq([T[i],H[i]],i=1..10),seq([T[i],H[i]],i=13..23),se q([T[i],H[i]],i=25..28)]: plot(L,style=point);

T1:=[seq((T[i]+T[i+1])/2,i=1..27)]:

H1:=[seq((H[i]-H[i+1])/(T[i+1]-T[i]),i=1..9),seq((H[i]-H[i+1])/(T[i+1]-T[i]),i=13..22),seq((H[i]-H[i+1])/(T[i+1]-T [i]),i=25..27)]:

L1:=[seq([T1[i],H1[i]],i=1..9),seq([T1[i+3],H1[i]],i=10..19),seq([T1[i+5],H1[i]],i=20..22)]: F:=plot(L1,style=point): display(F);

结果分别见图1和图2。

（1）方法1

f t,然后在时间区间[0,24]上积分得到

用最小二乘估计得到用水率函数()

一天用水的总量.

MAPLE 7程序及运行结果如下：

> n:=7:

poly:=fit[leastsquare[[x,y],y=sum(a[i]*x^i,i=0..n),{seq(a [i],i=0..n)}]]([[seq(T1[i],i=1..9),seq(T1[i],i=13..22),se q(T1[i],i=25..27)],H1]):

v1:=rhs(poly):

Volume1:=evalf(int(v1,x=0..24)*Pi*17.4^2/4);

G1:=plot(v1,x=0..25):

display([F,G1]);

Volume11259.232657

:=

按最小二乘估计法估计出:

灌水速度分别为：1.549001602立方米/小时，1.469259217立方米/小时；

全天的用水量约为：1259.232657立方米。

（2）方法2

根据假设，水流量只依靠于公众对水的需求，是一种自然的规律，它本身是一条相当光滑的曲线，有水泵工作时的数据当然最好，现在不知道，我们只能依据连续性，领先充水前后的数据来拟合曲线，为了得到水泵工作时的水流量，我们忽略水泵工作期间的数据，直接对充水前后的数据用三次样条插值来拟合。

MAPLE 7程序及运行结果如下：

>

v2:=x->spline([seq(T1[i],i=1..9),seq(T1[i],i=13..22),seq( T1[i],i=25..27)],[seq(H1[i],i=1..22)],x,3):

Volume2:=evalf(int(v2(x),x=0..24)*Pi*17.4^2/4);

G2:=plot(v2(x),x=0..25):

display([F,G2]);

Volume21259.953202

:=

> -(H[10]-H[1]),int(v1,x=0..T[10]),int(v2(x),x=0..T[10]); -(H[23]-H[13]),int(v1,x=T[13]..T[23]),int(v2(x),x=T[13].. T[23]);

-(H[28]-H[25]),int(v1,x=T[25]..T[28]),int(v2(x),x=T[25].. T[28]);

1.46 1.4867310451.461401189

,,

,,

2.60 2.5694967032.599643786

.64.6437102332.6392902115

,,

>

(2.6+int(v1,x=T[10]..T[13]))/(T[13]-T[10]),(2.6+int(v2(x)

,x=T[10]..T[13]))/(T[13]-T[10]);

(2.6+int(v1,x=T[23]..T[25]))/(T[25]-T[23]),(2.6+int(v2(x) ,x=T[23]..T[25]))/(T[25]-T[23]);

1.5490016021.543586066

,

,

1.4692592171.473779848

按三次样条插值法估计出：

灌水速度分别为：1.543586066立方米/小时，1.473779848立方米/小时；

全天的用水量约为：1259.953202立方米。

（3）方法3

将数据分成五段分别进行三次样条插值，然后对所求数据进行插值处理，MAPLE 7程序及运行结果如下：

>

h1:=x->spline([seq(T[i],i=1..10)],[seq(H[i],i=1..10)],x,3 ):

h3:=x->spline([seq(T[i],i=13..23)],[seq(H[i],i=13..23)],x ,3):

h5:=x->spline([seq(T[i],i=25..28)],[seq(H[i],i=25..28)],x ,3):

v1:=x->-diff(h1(x),x): v3:=x->-diff(h3(x),x):

v5:=-diff(h5(x),x):

> temp1:=[7.9,8.9,10.9,11.9]:

temp2:=[eval(v1(x),x=7.9),eval(v1(x),x=8.9),eval(v3(x),x= 10.9),eval(v3(x),x=11.9)]:

temp3:=[19.9,20.8,23,24]:

temp4:=[eval(v3(x),x=19.9),eval(v3(x),x=20.8),eval(v5(x), x=23),eval(v5(x),x=24)]:

v2:=x->spline(temp1,temp2,x,3):

v4:=x->spline(temp3,temp4,x,3):

G1:=plot(v1(x),x=T[1]..T[10]):

G2:=plot(v2(x),x=T[10]..T[13]):

G3:=plot(v3(x),x=T[13]..T[23]):

G4:=plot(v4(x),x=T[23]..T[25]):

G5:=plot(v5(x),x=T[25]..T[28]):

display([F,G1,G2,G3,G4,G5]);

>

temp:=int(abs(v1(x)),x=T[1]..T[10])+int(abs(v2(x)),x=T[10 ]..T[13])+int(abs(v3(x)),x=T[13]..T[23])+int(abs(v4(x)),x =T[23]..T[25])+int(abs(v5(x)),x=T[25]..24):

Volume3:=evalf(temp*Pi*17.4^2/4);

-(H[10]-H[1]),int(v1(x),x=0..T[10]);

-(H[23]-H[13]),int(v3(x),x=T[13]..T[23]);

-(H[28]-H[25]),int(v5(x),x=T[25]..T[28]);

>

(2.6+int(v2(x),x=T[10]..T[13]))/(T[13]-T[10]),(2.6+int(v4 (x),x=T[23]..T[25]))/(T[25]-T[23]);

按分段三次样条插值法估计出：

灌水速度分别为：1.540523495立方米/小时，1.47637600立方米/小时；

全天的用水量约为：1261.617359立方米。

四、模型的评价

（1）优点

1）模型的主要优点是证实了水泵的灌水速度为一常数，这也是我们所期望的。

2）如果所给的数据反映了该社区的通常情况，那么f(t)可适合于一天的任何时刻。

3）任意时刻从水箱中流出水的流速都可通过多项式模型计算出来。

4）用多项式曲线拟合所给的数据其复相关系数为0.971，且同归值与原始数据点没有很大的波动。

5）在24小时周期的端点，模型的取值非常接近，可推测几天的流速。

6）人们自然会将用水量与用电量联系起来，特别是对家庭不用天然气的情况。例如，烧饭需要大量的水来洗碗。同时烧饭和照明等也要用电，洗

碗的耗水量也很大，并伴随着电力的消耗（热水器、电吹风等）。通过

调查得到，用水分布类型和日常普通用电分布类型是极其相似的。

（2）缺点

1）本模型的一个主要缺点就是数据太少，只能参照一天的数据，而对任何现象建模时，最好有在不同条件下很多天所采集的数据。

2）如果知道水泵的抽水速度，就能更好地估计水泵灌水期间水的流速以及更准确地建立此模型。

3）通过考虑体积测量的差异建立模型，这种做法包含着某种不精确性。

五、心得体会

在这次课程设计中，我从问题出发，分析问题，通过提出的一些合乎实际的假设，借助计算机，建立模型并通过最小二乘估计法、直接对充水前后的数据用三次样条插值来拟合以及分段三次样条插值对所求数据进行插值处理，得到了任意时刻的水流速度、一天的用水量以及水泵的工作效率。当然这些结论仍需要通过实际问题来检验。

通过这次课程设计，我初步掌握了Maple中的作图、定义函数、循环等功能。现实中的许多问题都比较复杂，很难用解析理论加以处理，而借助计算机对随机现象进行模拟却可以得到较为理想的数值解。所以以后应该继续深入学习，以便能够解决更多类似的问题。