高考数学数列、导数、圆锥曲线压轴综合题解析

高考数学数列、导数、圆锥曲线压轴综合题解析

1、设n

S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *

，都有()1n

n S

m m a =+-m

(为常数，

且0)m >．

（1）求证：数列}{n

a 是等比数列；

（2）设数列}{n a 的公比()m f q

=，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2

n

≥，∈n N

*

)

，

求数列{}n

b 的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列1

2n n b +??

??

??

的前n 项和n

T ．

1、解：（1）证明：当1=n 时，()1111a S m m a ==+-，解得11=a ． (1)

分

当2n ≥时，11n

n n n n

a S S m a m a --=-=-． ……………………………………2分

即()11n

n m a

m a -+=．

∵m 为常数，且0

m >，∴

1

1n n a m a m

-=

+()2n

≥． (3)

分

∴数列}

{n

a 是首项为1，公比为

1m m

+的等比数

列． …………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1m m

=

+，1

122

b

a ==． ………………………5分

∵()

111

1n n

n n b b f

b b ---==

+， ………………………………………………………6分

∴

1

11

1

n

n b b -=

+，即

1

111

=--n n

b b ()2n

≥． ……………………………………7分

∴?

??

??

?n b 1是首项为1

2

，公差为1的等差数

列． ……………………………………………8分 ∴

()1121112

2

n

n n b -=+-?=

，即221

n

b

n =

-（*

n ∈N ）． …………………………9分

（3）解：由（2）知2

21

n

b n =

-，则

()1

2

2

21n n

n

n b +=-． …………………………10分

所以2

3

4

1

1

2

3

1

2

2

2

2

2

n

n n

n n

T b b b b b +-=

+

+

++

+

，

即n

T

()()12

3

1

2123252

23221n n

n n -=?+?+?++?-+?-， ① (11)

分 则()()2

3

4

1

22123252232

21n

n n

T

n n +=?+?+?+

+?-+?-， ② (12)

分

②－①得()1

3

4

1

2

212222

n n n

T n ++=?-----

-， ………………………………13分

故()()

()3

1

1

1

2

122

2122

236

12

n n n n

T n n -++-=?---

=?-+-． ……………………14分

2、已知函数)

0,()(≠+=

a b a b

ax x x f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。

（1）求)(x f 的表达式 ； （2）记)1)((1>∈=-n N n x f x

n n

且，且1

x ＝()f 1，求数列{}n

x 的通项公式。

（3）记 1n

y

+?=n n x x ，数列｛n

y ｝的前 n 项和为 n

S ，求证 3

4

<

n

S

2、解：(1) 由()x f x x

a x b

==+ 即 ()2

10a x

b x +-= 有唯一解，1b ∴=

又()2

221

1

f a x =

=+ 12

a

∴= ， ()212

12x x f x x x ∴==

++ ……4分

(2) 由 ()111112n n

n n x x

f

x x ---==

+ 1

1112

n

n x x -∴

=

+

…………6分

又 ()1

213

x

f ==

1

132

x ∴

=

，

∴数列 1n x ??

??

??

是以首项为 32

，公差为 1

2

的等差数列……8 分

()131212

2

2

n

n n x +∴=

+-?

=

22n

x

n ∴=

+ ………10分 (3) 由)

3

12

1(

43

22

21+-

+=+?

+=

?=+n n n n x x y

n n n

…………12分 123...n n

S y y y y ∴=++++=1

3221

++++n n x x x x x x

1111114...344523n n ????????=-+-++- ? ? ???

++????????

1

144333n ??=-< ?+?? ………14分

3、在数列{}n a 中，1

1

12(2)2()

n n n n a a a n λλ

λ+*

+==++-∈N ，，其中0

λ

>．

（Ⅰ）求数列{}n

a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n

a 的前n 项和n

S ；

（Ⅲ）证明存在k *

∈N ，使得

1

1n k n

k

a a a a ++≤

对任意n *

∈N 均成立．

3、（Ⅰ）解法一：

2

2

2

22(2)22

a λλ

λλ

=++-=+，

2

23

2

3

3

3(2)(2)2

22

a λλ

λ

λλ

=+++-=+，

3

3

4

3

4

4

4(22)(2)232

a λλ

λλλ=+++-=+．

由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2

n

n

n a n λ

=-+．…………1分

以下用数学归纳法证明． （1）当1n =时，1

2

a =，等式成立．…………2分

（2）假设当n k =时等式成立，即

(1)2

k

k

k a k λ

=-+，

那么

1

11(2)2

k k

k a a λλ

λ++=++-1

1

(1)222

k

k

k k k

k λλλλλ++=-+++-

1

1

[(1)1]2

k k k λ++=+-+．

这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2

n

n

n a n λ=-+对任何n *

∈N 都成立．…………4分 解法二：由

1

1(2)2()

n n n n a a n λλ

λ+*

+=++-∈N ，0

λ

>，

可得1

1

1

221n n

n n

n n

a a λ

λλ

λ+++????

-=

-+ ? ???

??， (2)

分

所以2n

n n a λλ??

????-?? ????

???为等差数列，其公差为1，首项为0，…………3分

故21

n

n

n a n λλ??

-=- ???，

所以数列{}n a 的通项公式为(1)2

n

n

n a n λ=-+．………… 4分

（Ⅱ）解：设

2

3

4

1

23(2)(1)n n

n T n n λ

λ

λ

λ

λ

-=+++

+-+-， ①

3

4

5

1

23(2)(1)n

n n T n n λλλ

λλ

λ

+=++++-+- ②…………5分

当1λ≠时，①式减去②式，

得

2

1

2

3

1

1

(1)(1)(1)1n n

n n n T n n λ

λ

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

+++--=+++--=

---，…………6分

2

11

2

1

2

2

2

(1)(1)(1)

1(1)n n n n n n n n T λ

λ

λλ

λ

λ

λλ

λ++++----+=

-

=

---．…………7分

这时数列{}n a 的前n 项和2

1

2

1

2(1)2

2

(1)

n n n n n n S λ

λ

λ

λ+++--+=

+--．…………8分

当1λ

=时，

(1)

2

n n n T -=

．这时数列{}n a 的前n 项和

1

(1)

2

2

2

n n n n S +-=

+-．……9分

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a

+??

????的第一项2

1

a a 最大，下面证明：

2

121

4

,2

2n n

a a n a a λ++<=

≥． ③…………10分 由0λ>知

n a >，要使③式成立，只要

2

12(4)(2)

n n a a n λ

+<+≥，…………11分

因为

2

2

2

(4)(4)(1)(1)2

n

n

n a n λ

λ

λ

λ

+=+-++

1

2

4(1)42

4(1)2

n

n

n n n n λλ

λ

++>-+?=-+·…………12分

1

2

122

22

n n n n a n λ

++++=，≥≥．…………13分

所以③式成立．

因此，存在1k =，使得1

121

n k n

k

a a a a a a ++=

≤

对任意n *

∈N 均成立．…………14分

4、设数列).

(3

,3,3}{},{*

1

11N n n P P P b b P b

n n n n n

n n n

∈+===++且满足

（1）求数列}{n

b 的通项公式；

（2）若存在实数t ，使得数列}

)

2

1(

{,1

)4

1(n

C n n n

C n n t b C

?++?

-

=记数列成等差数列

的前

n

项和为n

T ，证明：3

(1)n

n n

T b -<

（3）设2

5,}{,)

1(1<

+=

n n n n n

S S n A T n n A 求证项和为的前数列

4、解：（1）由已知得

,

3

,13

1

111++=

-==

n n n n P P b P

.

41234

53,

3

41245:,

3

13

33

23133,

3

13

23

11)()()(1

3

3

2

2

123121+-

?=

=∴?+-

=

-+

++

++

=∴-+

++

+=-++-+-+=∴--n P b n P n P n P P P P P P P P n

n n

n n

n n n n

n n n 上述两式错位相减得

（2）,

2

)

1(43

51

)2

13

4

5(

1

)4

1(t n n t n n t n n n t b C

n

n

n n

-

++?=

++?

+-

?=++?

-

=

,

2

33222

1).

(,}{,03

2

n

n n n n T N n n C C t +

++

+=

∴∈==∴*

此时成等差数列数列时当且仅当

.

)1(3,

12

213

22

113

22

14

53

4124

53

.

2

22:2

2

32

2121

2n n n

n n

n

n

n

n n n n n n n b T T n n n n P b n T n T <-∴-=+-

>?+-

>?+-=

?+-

=

=+-

=+

+++=∴- 错位相减得

（3）n

n

n n

n n n n n n n n T n n A

2)

1(2)

1(2)2

22()

1(1)

1(1++-

+=

+-

+=

+=

2

52

32

)1(2

12

32

)1(11

2

2

32

)1(1

2

11

2

2)2

)1(1212

31

221

221

2

11

(

)1224

23

23

22

22

21

2(;2

)1(12

12

)1(2

,

12

2)

1(21

2

11

1

3

2

2

3211

<

<

+-+

<+++-

=++

-

+-

=+-

++?-?+?-

?-

+-

++-

+-

+-

=

++++=+-

=

+++-

=+++++++n n n n n n

n

n n n

n

n n n n n n n n n

A A A A S n n n n n n n n n 可得

由

5、已知函数3

2

()3f x x a x x

=

--.

(1)若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若13

x

=-

是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x b x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由． 5、解：(1)/

2

()323

f x x a x =-- …………………………………………………………

1分

()

f x 在[1,)+∞是增函数，

∴/

()

f x 在[1,)+∞上恒有/

()0

f

x ≥，

即/

2

()3230

f x x a x =--≥在[1,)+∞上恒成立， (2)

分

则必有1

3

a ≤且/

(1)20

f

a =-≥，∴0a ≤. ………………………………………………

4分 (2)

依题意，

/

1()

3

f -

=∴

4

a =，…………………………………………………………5分

∴32

()43f x x x x

=--、令/

2

()3830

f x x x =--=得1

13

x

=-

、2

3

x

=……………6分

当

x 变

化时，变

化

情

况…………………………………………………………………………8分 ∴()f x 在[1,4]上的最大值是(1)6

f =-. ………………………………………………

10分 (3)函数

()g x b x

=的图象与函数

()

f x 的图象恰有

3

个交点，即方程

3

2

()43f x x x x b x

=--=恰有3个不等实根． (11)

分 ∴3

2

430

x x x b x ---=，∴0x =是其中一个根， (12)

分 ∴方程2

430

x x b ---=有两个非零不等实根．

∴0

?

>且30b --≠∴7b >-且3

b ≠-. ………………………………………………

14分

∴存在满足条件的b 值，b 的取值范围是7b >-且3

b ≠-.

6、已知函数(),()2ln m f x m x g x x

x

=-

=.

（1）当2

m

=时，求曲线()

y

f x =在点(1,

(1))f 处的切线方程；

（2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数 ；

（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.

6、解：（1）2

m

=时，3

22()2,'()2,'(1)4

f x x f x f x

x

=

-

=+

=、切点坐标为(1,0)，

∴切线方程为44

y x =-；………………………………………………………………

4分 （2）1m =时，

令2

2

2

112(1)()()()21ln ,'()10

x h x f x g x x x h x x

x

x

x

-=-=--=+-

=

≥则……6分

∴

()

h x 在

(0,)

+∞上是

增

函

数. …………………………………………………………7分 又2

11().()(

2)0,()

h e h e h x e

e

=--+<∴在1(

,)

e e

上有且只有一个零点、

∴方程()()

f x g x =有且仅有一个实数根；（或说明(1)0h =也可以）； (8)

分

（3）由题意知，2ln 2

m m x x x

--恒成立，即2

(1)22ln m x

x x x

-<+恒成立，`

2

10

x ->则当(1,]x e ∈时，2

22ln 1

x x x

m x +-恒成立，………………………10分

令2

22ln (),1

x x x

G x x +=

-当(1,]x e ∈时，2

2

2

2(1).ln 4

'()0

(1)

x x G x x -+-=

<-、则()G x 在(1,]x e ∈时递

减，…………………………………………………………………………12分

()

G x 在(1,]x e ∈时的最小值为2

4()1

e G e e =

-，则m 的取值范围是2

4(,

)

1

e e -∞-.……14分

7、已知函数2

(2)()().

x

x

x x e

f x

g x e

e

-=

=

,

（Ⅰ） 求函数()f x 的极值； （Ⅱ） 求证：当1x >时，()()

f x

g x >；

（Ⅲ） 如果21

x x <，且12()()f x f x =，求证：12()(2)

f x f x >-．

7、解⑴∵()f x =

x

x e

，∴()f x '=

1x

x e

-．令()0f x '=，解得1x =．…………………2分

∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)f =1

e ．…………………4分

⑵2

(2)()()()x

x

x x e

F x f x g x e

e

-=-=

-

令,……………5分

则()F x '=

2

22

2

1(1)

(1)()

x

x

x

x x e x x e e

e

e

e

+-----

=

．……………6分

当1x >时，1x

-0

<，22x >，从而2

2x

e

e

-0

<，……………7分

∴()F x '＞0，()F x 在(1,)+∞是增函数．……………8分

11()(1)0

F x F e

e

>=

-

=∴，故当1x >时，()()

f x

g x >

……………9分

⑶∵()f x 在(,1)-∞内是增函数，在(1,)+∞内是减函数．……………10分 ∴当1

2

x x ≠，且1

2()()f x

f x =时，1x 、2x 不可能在同一单调区间内．

∴1

2

1x

x <<，……………11分

由⑵的结论知1x >时，()()()

F x f x g x =-＞0，∴2

2()()

f x

g x >．……………12分

∵1

2()()f x f x =，∴12()()f x g x >．……………13分

又2

2()(2)

g x f x =-，∴1

2()(2)

f x

f x >-……………14分

8、设函数()e x

f x =(e 为自然对数的底数)，2

3

()12!

3!

!

n

n

x

x

x

g

x x n =++

+

++

L （*

n ∈N ）．

（1）证明：()f x 1

()

g

x ≥；

（2）当0x >时，比较()f x 与()

n

g

x 的大小，并说明理由；

（3）证明：()1

2

3

222211e

2341n

n g n ????????

+++++< ? ? ? ?+????????

≤L （*

n ∈N ）．

8、（1）证明：设1

1()()()1

x

x f x g x e x ?=-=--，

所以1

()1

x

x e

?'=-．……………………………1分

当0x <时，1

()0x ?'<，当0x =时，1

()0x ?'=，当0x >时，1

()0x ?'>．

即函数1

()

x ?

在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小

值，………2分 因为1

(0)0

?

=，所以对任意实数x 均有 1

1()(0)0

x ?

?=≥．

即1

()()0f x g

x -≥，所以()f x 1

()

g

x ≥．………………………3分

（2）解：当0x >时，()f x >()

n g x ．……………………………………………4分

用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由（1）知()

f x 1()

g x >．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ， (5)

分

令()()()

k

k x f x g x ?

=-，1

1()()()

k k x f x g x ?

++=-，

因为对任意的正实数x ，()()1

1()()()

k k k

x f x g x f x g x ?

++'''=-=-，

由归纳假设知，1

()()()0

k k

x f x g x ?+'=->．……………………………6分

即1

1()()()

k k x f x g x ?

++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即1

1()(0)

k k x ?

?++>，

因为1

(0)0

k ?

+=，所以1

()0

k x ?

+>．

从而对任意0x >，有1

()()0

k f x g x +->．

即对任意0x >，有1()()

k f x g x +>

．

这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．

由①、②知，当0x >时，都有()f x >

()

n g x ．……………………8分

（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n

g <．

由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >

()

n g x ．

令1x =，得()()11=e n

g f <．所以()1e n

g <．……………………………………9分 再证对任意正整数n ，

()1

2

3

2222112341n

n g n ????????

++++

+≤ ? ? ? ?

+??????

??

111112!3!!

n =+++++

．

要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式21

1!n

n n ??≤ ?

+??

成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n

n n +??

≤ ???

（*）

成立．……………………………10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：

①当1n =时，1

111!2+??≤ ?

??

成立，所以不等式（*）成立．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，不等式（*）成立，

即1!2k

k k +??

≤ ?

??

． (11)

则()()()1

111!1!1222k k k k k k k k +++????

+=+≤+= ? ?

????．

1

1

1

1

01

1

11

1

1

2211121C C C 2

111

112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++??

?+???

???

??==+=++

+≥ ? ?

?++++???

???

+?? ???

，

…………………………………………………………………………………………12分

所以()1

1

121!222k k k k k ++++??

??+≤≤ ?

???

??

．………………………………………13分

这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()1

2

3

222211e 2341n

n g n ?????

?

??

++++

+≤< ? ? ? ?+?

?????

??

成立．………………14分 方法2（基本不等式法）：

12n +≤

，……………………………………………………11分 12

n +≤，

……，

12

n +≤

，

将以上n 个不等式相乘，得1!2n

n n +??≤ ?

??

．…………………………………13分

所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()1

2

3

222211e 2341n

n g n ??????

??

++++

+≤< ? ? ? ?+??????

??

成立．……………14分

9、已知椭圆2

2

14y

x

+

=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为

P 在第一象限且在曲线C 上，直线A P 与椭圆

相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1

x 、2

x ，证明：1

21x

x ?=；

（3）设TAB ?与P O B ?（其中O 为坐标原点）的面积分别为1

S 与2

S ，且15

P A

P B ≤，

求22

1

2

S S - 的取值范围。

9、（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．……………………………………………1分

设双曲线C 的方程为22

2

1y x

b

-

=()

0b >，

1

=，即2b =．

所以双曲线C 的方程为2

2

14

y

x

-

=． (3)

分

（2）证法1：设点1

1(,)P x

y 22(,)T x y （0i x >，0

i

y

>，1,2i =）直线A P 斜率为k （0

k

>），

则直线A P 的方程为(1)

y

k x =+， (4)

分

联立方程组()221,

1.4

y k x y

x ?=+??+

=??…………………………………………………5分

整理，得()2

2

22

4240

k x

k x k

+++-=，解得1x =-或22

44k x

k

-=

+．

所以22

2

44k x

k

-=

+．…………6分

同理可得，21

2

44k x

k

+=

-．……………………………………………………………

7分

所以1

21x

x ?=． (8)

分

证法2：设点1

1(,)

P x y 、2

2(,)

T x

y （0

i

x

>，0

i

y

>，1,2i =），

则111

A P

y k

x =

+，2

21

A T

y k

x =

+．……………………………4分

因为A P

A T

k

k =，所以

12121

1

y y x x =

++，即

()

()

2

2

1

2

2

2

1211y y x x =

++．………………5分

因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以2

211

14

y x -

=，2

2

2214

y x +

=．

即()

22

1

141y

x =-，()22

22

41y

x =-．…………………………………………6分

所以()

()

()

()

2

2

122

2

12414111x x x x --=

++，即

1212111

1

x x x x --=++．…………………………………7分

所

以121x x ?=． (8)

分

证法3：设点1

1(,)

P x

y ，直线A P 的方程为11(1)

1

y y

x x =

++， (4)

分

联立方程组()11

2

2

1,11.4

y y x x y x ?=+?

+???+=??………………………………………………5分

整理，得222222

1

11114(1)24(1)0

x y x y x y x ??++++-+=?

?

，

解得1x =-或22112

2

11

4(1)4(1)x y x x y +-=++．……………………………………6分

将

2

2

1144

y x =-代入2

2112

2

11

4(1)4(1)x y x x y +-=

++，得

1

1x x =

，即

21

1x x =

．所以

121x x ?=． (8)

分

（3）解：设点1

1(,)

P x

y 、2

2(,)

T x

y （0

i

x

>，0

i

y

>，1,2i =），

则()1

11,P A x y =--

-，()111,P B x y =-

-．

因为15

P A P B

?≤，所以()()2

1

1

11115

x x y ---+

≤，即22

1

116

x

y +≤．…………9分

因为点P 在双曲线上，则2

211

14

y x

-

=，所以2

2114416

x x +-≤，即21

4

x

≤．

因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112

x <

≤．………………………

10分

因为1

221||||||2

S A B y y =

=，21111||||||2

2

S O B y y =

=

，

所以()()2

2

2

22

22

2

1

2212

112

1441544

S

S y y x x x x -=-

=---=--．……………11分

由（2）知，1

21x x ?=，即21

1x x =

．

设2

1

t

x =，则14t <≤，22

1

245S

S t t

-=--

．

设()45t t

f t =--，则

()()()

2

2

2241t t f t t

t

-+'=-+

=

，

当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为

()21f

=，

()()140

f f ==

，所以当

4

t =，即

12

x =时，

()

()22

1

2

m in

40S

S f

-==．………12分

当2t =，即1

x =()

()22

1

2

m a x

21S

S f

-==．……………………………13分

所以22

1

2

S

S -的取值范围为[]0,1．…………………………………………14分

说明：由()22

2

2

1212

1

254541S

S x x x

x -=-+≤-=，得()

2

2

12

m a x

1S S -=，给1分．

10、设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)

a m x y =+,向量(,1)

b x y =-,a b ⊥,

动点(,)M x y 的轨迹为E .

（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知4

1=m

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E

恒有两个交点A ,B ,且O A O B ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知4

1=m

,设直线l 与圆C:2

2

2

x

y

R

+=(1

个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.

10、解（1）因为a b

⊥,(,1)

a

m x y =+,(,1)b

x y =-,

所以2

2

10

a b

m x y ?=+-=, 即2

2

1

m x

y +=.………………………1分

当m =0时,方程表示两直线,方程为1±=y ;

当1m =时, 方程表示的是圆 当0

>m

且1≠m 时,方程表示的是椭圆;

当0

时,方程表示的是双曲线. ………………………3分

(2).当4

1=m

时, 轨迹E 的方程为

2

2

14

x

y

+=,

设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组2

2

14

y k x t x y ++==??

???得2

2

4()4

x

k x t ++=,

即2

22

(14)8440

k

x k tx t +++-=,………………………4分

要使切线与轨迹E 恒有两个交点A ,B , 则使△=2

2222

2

6416(14)(1)16(41)0

k

t k t k

t -+-=-+>,

即2

2

410

k

t -+>,即2

2

41t

k

<+, 且122

2

122

81444

14k t x x k

t x x k ?

+=-??+?-?=?+?

………………………5分

22

22222

2

2

121212122

2

2

(44)84()()()141414k t k t

t k y y k x t k x t k x x k t x x t

t

k

k

k

--=++=+++=

-

+=

+++,

要使O A O B

⊥, 需使12

120x

x y y +=,即

2

2

22

22

2

2

444544

141414t t k t k

k

k

k

----+

=

=+++,…6分 所以2

2

5440

t

k

--=, 即2

2

544

t

k

=+且2

2

41t

k

<+, 即2

2

44205

k

k

+<+恒成立.

所以又因为直线y kx t

=+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为r

=

，

2

2

2

2

2

4

(1)45

115

k t

r

k

k

+=

=

=

++圆为2

2

45

x

y

+=

.………7分

当切线的斜率不存在时,切线为5

5

2±

=x

,与

2

2

1

4

x

y

+=交于点)

55

2,55

2(

±或

)

55

2,55

2(±

-

也满足O A O B ⊥.………………………8分

综上, 存在圆心在原点的圆2

2

45

x y

+=

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有

两个交点A ,B ,且O A O B

⊥.

(3)当4

1=m

时,轨迹E 的方程为

2

2

14

x

y

+=,设直线l 的方程为y

kx t

=+,因为直线l