初中数学动点问题专题讲解

中考动点专题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH

中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2

1

32?OP=2.

(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴

2362

1

21x OH MH -==

. 在Rt △MPH 中,

.

∴y =GP=

32MP=23363

1x + (0

①GP=PH 时,

x x =+233631

,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363

1

2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴AC

BD CE AB =,

∴

11x y =, ∴x

y 1=. 222223362

1

419x x x MH PH MP +=-

+=+= A

E

D

C

B 图2

H

M N

G

P

O

A

B

图1

x y

(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2

90α

-?,且

函数关系式成立, ∴2

90α

-?=αβ-, 整理得=-

2

α

β?90. 当=-

2

α

β?90时,函数解析式x

y 1

=

成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.

根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.

(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠

ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,5

4x

AD =,

∴OD=

x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 5

8

. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y

x 5

854

58=

. ∴x y 516= (8250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-

x 58=4,得8

5

=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-

x 58=2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

A

3(2)

3(1)

A

(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2

1

BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ?=

?2

1

, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴2

2

2

)2(2)1(x x -+=+. 解得6

7=x . 此时,△AOC 的面积y =6

17

674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴2

2

2

)2(2)1(-+=-x x . 解得2

7=x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-

. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为

6

17或21.

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题

（一）点动问题．

1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一

线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,

当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切

问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测

A

B

C

D

E

O

l

A ′

A

B

C

D

E O l

F 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴BE

CD

BD CF =

，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法x

CF 32

=，

相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，x

x 32

1010+-=，24=x ；

内切，x

x 32

1010-

-=，17210±=x ．100<

20=

BE ． 类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、

⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝

4

1

AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；

②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-

x 4

3

长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝

2

1AC

∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC

(2)①92

+=x AC ，9412+=x AO ，)9(12

12

+=x AF ，x x AE 492+=

∴AF 2

1

?=?AE S AEF

x x 96)9(22+=

，x x x S 96)9(322+-= x

x x S 9681

27024-+-= (333<

②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-

x x ，01=x (舍去)，582=x ∵35

82<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．

[类题]09虹口25题． （三）面动问题

如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1）试求ABC ?的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关

于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当BDG ?是等腰三角形时，请直接写出AD 的长． [题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]

图3-5

图3-4

图3-3

图

3-1

C C C C

C

1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．

2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

C

解：（1）12=?ABC S .

（2）令此时正方形的边长为a ，则

446a a -=

，解得5

12

=a . （3）当20≤x 时， 22

253656x x y =??

?

??=，

当52 x 时， ()225

2452455456x x x x y -=-?=

. （4）7

20

,1125,73125=

AD . [类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时”,去掉，同时加到第（3）题中.

已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30o，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；

（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y

关于x 的函数解析式，并写出定义域．

（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切,

如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．

例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .

分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的

关系得出：∠ACB=21

∠AOB=300，

当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500. 反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从

而需要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。

变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求∠C 的

大小.

A

B

F D

E

M

N

C

本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB

中,23

2121sin ==∠OB AB

AOB ,则06021=∠AOB ,即0

120=∠AOB ,

从而当点C 在优弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，即0

60=∠C , 当点C 在劣弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优

弧AB 的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB 的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200， 因此0

60=∠C 或∠C=1200.

变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B ，若AB=1，

判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。 四边形ABCD 的面积的最大值。

解：（1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB 为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点A 、B 的变化而变化。

（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43

，而三角

形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)

(21

2121BG AF BG OC AF OD +=?+?，又由梯形 的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21

，要四边形 ABCD 的面积最大，只需EH 最大，显然EH ≤OE=23

，当AB ∥CD 时，EH=OE ，因此 四边形ABCD 的面积最大值为43+23=43

3.

对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD 的周长的变化范围. 变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分

别为A 、B ，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）

分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底边AB 为

圆的直径为常量，只需AB 边上的高最大即可。过点C 作CD ⊥AB 于点D ，连结CO ，

由于CD ≤CO ，当O 与D 重合，CD=CO ，因此，当CO 与AB 垂直时，即C 为半圆弧

的中点时，其三角形ABC 的面积最大。

本题也可以先猜想，点C 为半圆弧的中点时，三角形ABC 的面积最大，

故只需另选一个位置C1（不与C 重合），，证明三角形ABC 的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图

显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D ，而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D<21

AB

×C1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点C 外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大. 本题还可研究三角形ABC 的周长何时最大的问题。

提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC 的周长最大，AB 为常数，只需AC+BC 最大，而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×Δ

ABC 的面积，因此ΔABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而ΔABC 的周长最大。

从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:

一、 特殊探路，一般推证

例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A ，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合），直线PA 交⊙O2于点C ，PB 切⊙O2于点B ，

则PC BP

的值为

（A ）2 （B ）3 （C ）23

（D ）26

分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出

PB=

221322=- BC ×AP=BP ×AB ，因此

BC=

6246

2288

16282

2=

=

+=

+?BP AB BP

AB ，

在三角形BPC 中，PC=

36

222=

-BC BP ，

所以，PC BP

=3选（B ）

当然，本题还可以根据三角形相似得BP AP

PC BP =

，即可计算出结论。

作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。

例3：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C

A

A

A

重合，点E 不与B 、A 重合。 判断?OEF 的形状，并加以证明。

判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. ?AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。 分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E 、F 分别为AB 、AC 中点，显然有ΔEOF 为等腰直角三角形。还可发现当点E 与A 无限接近时，点F 与点C 无限接

近，此时ΔEOF 无限接近ΔAOC ，而ΔAOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE 与OF

相等吗？∠EOF 为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等，一般情况下这两个三角形全等吗？

不难从题目的条件可得：OA=OC ，∠OCF=∠OAE ，而AE=CF ，则ΔOEA ≌ΔOFC ，则OE=OF ，且∠FOC=∠EOA ，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF 为直角，故ΔEOF 为等腰直角三角形。

二、 动手实践，操作确认

例4（2003年广州市中考试题）在⊙O 中，C 为弧AB 的中点，D 为弧AC 上任一点（与A 、C 不重合），则

（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB

(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定

分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC 、CB 、AD 、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C ）

例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和CD 与大圆分别交于点B 、E ，则下列结论中正确的是（ * ） （A ）AB DE = （B ）AB DE >

（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B ）

本题也可以可以证明得出结论，连结DO 、EO ，则在三角形OED 中，由于两边之差小于第三边，则

OE —OD

三、 建立联系，计算说明

例6：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 . 分析：能否将DN 和NM 进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD 为正方形，因此连结BN ，显然有ND=NB ，则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了，一般情况下：BN+NM ≥BM,只有在B 、N 、M 三点共线时，BN+NM=BM ，因此DN+MN 的最小值为BM=52

2

=+CM BC

本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。

例7：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,

点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。 判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它

B

M

N

D C

B

A

C

D 的值.

?AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。 （即例3的第2、第3问）

分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式，如设AE=x ，则AF=x -22，

而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比=x 2

2，而

三角形AOB 的面积=221

=??OA OB ，则三角形AOE 的面积

=2x ，同理三角形AOF 的面积=222x -，因此四边形AEOF 的面积=2

2)

22(=-+x x ；即

AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.

当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE 与三角形COF 全等，则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等，而AOC 的面积为2，因此AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.

本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.

第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, ?AEF 的面积=1

)2(21

)22(212+--=-x x x ,又

x 的变化范围为220<

本题也可以根据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系确定?AEF 的面积范围:

不难证明?AEF 的面积≤?OEF 的面积，它们公用边EF ，取EF 的中点H ，显然由于?OEF 为等

腰直角三角形，则OH ⊥EF ，作AG ⊥EF ，显然AG ≤AH=AG （=EF

21），所以?AEF 的面积≤?OEF 的面积，而它们的和为2，因此<0?AEF 的面积1≤.

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：

比如，比较线段EF 与AO 长度大小等（可以通过A 、E 、O 、F 四点在以EF 为直径的圆上得出很多结论）

例8：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB

边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t 秒

表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：

（1）当t 为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？

分析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是AQ=AP ，建立等量关系，

t t -=62，即2=t 时，三角形QAP 为等腰三角形；

（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积

=6

)212(21

1221612?--??-?x x =36，即当P 、Q 运动时，四边形QAPC 的面积不变。

F

E

O

C

B

A

（3）显然有两种情况：△PAQ ∽△ABC ，△QAP ∽△ABC ，

由相似关系得61262=-x

x 或126

62=

-x x ，解之得3=x 或2.1=x 建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函

数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解：

练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）

已知?ABC 为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB 为直角，P 是AB 边上的动点（与点A 、B 不重合），Q 是BC 边上动点（与点B 、C 不重合）

（1） 如图，当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点，求线段CP 的长。

当PQ 与AC 不平行时，?CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

第1问很易得出P 为AB 中点，则CP=213

2

1=

AB 第2问：如果?CPQ 为直角三角形，由于PQ 与AC 不平行，则∠Q 不可能为直角

又点P 不与A 重合，则∠PCQ 也不可能为直角，只能是∠CPQ 为直角，即以CQ 为直径的圆与AB 有交点，设CQ=2x ，CQ 的中点D 到AB 的距离DM 不大于CD ，

AB DB AC DM =，即13125x DM -=，所以13)12(5x DM -=，由x CD x DM =≤-=13)12(5，即310

≥x ，而6

320

<≤CQ 时，?CPQ 可能为直角三角形。

当然还有其它方法。同学们可以继续研究。

练习2：（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O

为BC 的中点，

（1）写出点O 到△ABC 的三个顶点 A 、B 、C 距离的大小关系。 （2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

Q

P

C

B

A

B

该题与例3类似，同学们可以仿

本大类习题的共性：

1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．

2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值．

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.

1 以双动点为载体，探求函数图象问题

例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B 出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；

(2)写出图3中M，N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2 以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求∠BAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

解(1)∠BAO=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2，然后建立S 与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以

B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3 以双动点为载体，探求存在性问题

例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.

4 以双动点为载体，探求函数最值问题

例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为，AE、EB、BA围成的图形面积为这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：

(1)当0

(2)①若y是与的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)

②求y的最大值.

解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B 作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以-2x)，当时，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时，

(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.

当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以当x=13时，y的最大值为82.

综上可得，y的最大值为82.

评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.

例题如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为

x

x

4

1

y2+

-

=

）

⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．

的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，

之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2

y ax bx c =++

经过02P E ??

? ???

，及原点(00)O ，．

（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点

的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形

OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

练习2、如图，四边形OABC 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。已知折叠CE =3tan 4

EDA ∠=

。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数

2(0)y a x b x c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的

左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和

(312)--，．

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-++）

（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，

（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与

ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

O

练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线2

1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3

tan 4

BAC ∠=

． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，

B (13)，

，3944

y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，

设A P D Q m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB

△相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．

参考答案

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-= ∵抛物线过原点， ∴1)20(a 02+-= ∴4

1

a -

=. 抛物线的解析式为1)2x (4

1y 2+--=,即x x 4

1y 2

+-

= ⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB,

由1)2x (4

1

02+--=得4x ,0x 21==,

∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6

x

将x ＝6代入1)2x (4

1y 2+--=,得y ＝－3,

∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),

当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A

点,此时D 点的坐标为(2,1)

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO.

若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP 的解析式为x 2

1y -= 由x x 4

1

x 212+-=-

, 得6x ,0x 21==

.∴P(6,－3)

过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 练习1、解：（1）由已知可得：

3375

0420a a c ?+=?

?+

=??

=??

解之得，2033a b c =-==，，．

因而得，抛物线的解析式为：223y x x =-+． （2）存在．

设Q 点的坐标为()m n ，

，则2233

n m =-

+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△

=

2233m m +-=

解之得，12m m ==

当1m =2n =，即为Q

点，所以得Q 要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△

，则有33n -=

223333m m

+-=

解之得，12m m =

m =

P 点，

当1m =3n =-

，所以得3)Q -． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．

Q

点的坐标为3)-． （3）在Rt OCP △

中，因为tan CP COP OC ∠=

=30COP ∠=． 当Q

点的坐标为时，30BPQ COP ∠=∠=． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=．

因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．

又在Rt OAQ △

中，因为tan 3

QA QOA AO ∠=

=30QOA ∠=． 即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠=． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠=， 所以OQA OQP △≌△．

练习2

解：（1）OCD △与ADE △相似。

理由如下：

由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，

1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠，

又90COD DAE ∠=∠=∵°，

图1

OCD ADE ∴△∽△。

（2）3

tan 4

AE EDA AD ∠==∵，∴设AE=3t ， 则AD=4t 。

由勾股定理得DE=5t 。

358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴。

由（1）OCD ADE △∽△，得

OC CD

AD DE

=

， 845t CD

t t

=

∴

， 10CD t =∴。

在DCE △中，2

2

2

CD DE CE +=∵，

222(10)(5)t t +=∴，解得t=1。

∴OC=8，AE=3，点C 的坐标为（0，8），

点E 的坐标为（10，3）， 设直线CE 的解析式为y =kx +b ，

1038k b b +=??=?，∴，解得128k b ?

=-???=?，

，

1

82

y x =-+∴，则点P 的坐标为（16，0）。

（3）满足条件的直线l 有2条：y =－2x +12， y =2x －12。

如图2：准确画出两条直线。

练习3 解：（1）

二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，

和(312)--，， ∴由1242393212.

b

a a

b

c a b ?-=??++=??-+=-?

?

，， 解得123.a b c =-??

=??=?，，