高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战61290

第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）

1.【广西梧州、崇左两市联考高三（上）摸底】设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则?等于

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

2.【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）6】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与

b 的夹角为（ ）

A.

30 B.

60 C.

120 D.

150

3. 【重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）

9

.2A -

.0B .C 3 D.152

4.【·长春调研】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa)⊥c ，则λ的值为( )

A ．－311

B ．－113

C.12

D.35

5.【高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ?∧? D ．()p q ∨?

6.【·北京东城质量检测】已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b)b ，则|c|＝________. A.2 B.22 C.28 D.216

7. 【黄冈市高三5月适应性考试】非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???

且12AB AC AB AC ?=，则⊿ABC 为( )

A.三边均不等的三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰非等边三角形

8.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且

1

cos 3

α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β等于（ ）

A.

23 B. 22 C. 223 D. 423

9. 【高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）

A.若θ确定，则 ||a 唯一确定

B.若θ确定，则 ||b 唯一确定

C.若||a 确定，则 θ唯一确定

D.若||b 确定，则 θ唯一确定

10.【高二暑假作业】设O 为坐标原点，()1,1A ，若点()221,

,01,01,x y B x y x OA OB y ?+≥??

≤≤???≤≤??

满足则取得最小值

时，点B 的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.无数个 11.【高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a|=22

3

|b|，且（ab ）⊥（3a+2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、

4π B 、2π C 、34

π D 、π 12.【原创题】对于非零向量,a b ，下列命题中正确的是（ ）. A.a ∥b ?a 在b 上的投影为a B.0a b ?=0a ?=或0b = C.a ⊥b ?()2

a b a b ?=?

D.a c b c ?=??a b =

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）

13.【黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学试题】已知向量,a b 的夹角为

3

π

，

||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是_____;

14.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC =

=则AE AF ?的值为． 15.【高三六校联考（一）数学（文）】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则=?+?CA CP CB CP

16.【淮安市高三上学期第一次摸底考试数学试题】如图，已知ABC ?中，4AB AC ==，90BAC ∠=，

D 是BC 的中点，若向量1

4

AM AB m AC =

+?，且AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则AM BM ?的取值范围是．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【高考名师推荐】设向量

（1）若，求x 的值

（2）设函数

，求f(x)的最大值

18.【威海市高三3月模拟】已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3

π

α=

，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；

（2）若=βα，求a b ?的取值范围.

19.【重点中学盟校高三第一次联考】已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=d ，对任意*

N n ∈都有a a n n +=+1. （1）求||n a 的最小值； （2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥

(第13题图)

D

C

A

20. 【石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，

AO xAB yAC =+,且2x+10y=5，求边BC 的长.

21.【南昌市高三第二次模拟】如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=?，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足30MAN ∠=?（点,,A M N 按逆时针方向排列）．

（1）若2AN AC =，求BN 的长；

（2）若3AM AN ?=，求△ABN 面积的最大值． 22. 【鹰潭市高三第二次模拟考试】如图：()(

)

3,,3,A m m B

n n -两点分别在射线,OS OT 上移动，且

1

2

OA OB ?=-,O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+

（1）求点P 的轨迹C 的方程;

（2）设01,2Q x ?? ???

，过Q 作（1）中曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，①求证:直线MN 过定点; ②若7OM ON ?=-,求0x 的值。 高

考

模

拟

复

习

试

卷

试

题

模

拟

卷

A

B

C

N

一．基础题组

1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理2）双曲线2

2

1x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ） A ．4B ．2 C ．

12 D ．14

2.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理3）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方

程是3y x =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）

A ．

22126x y -=B ．22162x y -=C ．22

13y x -=D ．2213

x y -= 3.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理2）抛物线2

=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） A.4 B.2 C.1 D.

1

2

4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理6）若双曲线22221x y a b

-=的离心率为5

2，则其渐近线

方程为（ ）

.2A y x =±.4B y x =±1.2C y x =±1

.4

D x ±

5.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理3）椭圆12432

2

=+y x 的离心率为.

6.（北京市西城区高三一模考试理10）已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点是抛物线

28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.

7.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>截抛物线2

4y x =的

准线所得线段长为b ，则a =．

8.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理18）已知点M 为椭圆

的右顶点，点A ，B 是

椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为1

4

． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；

（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．

9.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理19）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为

3

2

，且椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2

||||2||AM AN OP ?=．

10.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理19）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为

32

，右顶点A 是抛物线2

8y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．

11.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理16）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。 （I ）求直线l 的方程；

（II ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。 二．能力题组

1.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理6）已知双曲线

与抛物线

有

一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）

2.（北京市西城区高三一模考试理8）已知抛物线2

14y

x 和2

1516

y x 所围成的封闭曲线如图所

示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）

（A ）(1,3)（B ）(2,4)（C ）3(,3)2（D ）5(,4)

2

3.（北京市延庆县高三3月模拟理13）曲线2||30x y y +-=的对称轴方程是，y 的取值范围是.

4.（北京市西城区高三一模考试理19）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y

a x E 的左、右焦点，点

)2

3,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43

,0(C 对称.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理

由.

5.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理19）已知椭圆22

3412.C x y +=：

（I ）求椭圆C 的离心率；

（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为

,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面

积的最大值.

6.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理19）已知椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>过点(0,1)-，

且离心率6

3

e =

. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件： ①点A 在直线2y =上； ②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.

如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.

O

x

y 5 A

7.（北京市昌平区高三二模理19）已知椭圆C ：22

221(0)+=>>x y a b a b

，右焦点(2,0)F ，点(2,1)

D 在椭圆上.

（I ）求椭圆C 的标准方程；

(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：1

2

PA PB k k ?=-

; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.

8.（北京市房山区高三第一次模拟考试理19）动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为

2

1. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.

9.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理19）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2，其

两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．

10.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理19）已知椭圆C:22

221(0)x y a b a b

+=>>离心率

2

2

e =

，短轴长为22． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；

(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．

N

M

Q

A

O

P

x

y

11.（北京市延庆县高三3月模拟理19）已知椭圆G 的离心率为2

2

，其短轴的两端点分别为A(0,1),B(0,1). （Ⅰ）求椭圆G 的方程；

（Ⅱ）若C,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以

MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

三．拔高题组

1.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理8）抛物线2

4y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在

x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的

面积是（ ）

A.4

B. 33

C. 43

D.8

2.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理8）如果双曲线的离心率2

1

5+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：

①双曲线11

5222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222

=+-

x y 是黄金双曲线； ③在双曲线22

221x y a b

-=中， F1为左焦点， A2为右顶点， B1（0，b ），若∠F1 B1 A290=?,则该双曲线

o C M

y x

B

N

D A

是黄金双曲线；

④在双曲线

22

22

1

x y

a b

-=中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若

∠MON120

=?，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为（）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

3.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理8）如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B 始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）