瑕积分的性质与收敛判别
§3 瑕积分的性质与收敛判别
教学目的：掌握瑕点,瑕积分的概念,会运用瑕积分的收敛判别法。 重点难点：重点与难点为瑕积分的收敛判别方法及其与无穷积分收敛判别法的区别。
教学方法：讲练结合。 教学内容：
例1 圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间?
从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高度为(x h -)时，水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 ,)(2x h g v -=
其中g 为重力加速度．
设在很小一段时间dc 内，桶中液面降低的微小量为dx ，它们之间应满足 dt r v dx R 22ππ=， 由此则有
].,0[,)
(22
2
h x dx x h g r
R dt ∈-=
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”： dx x h g r
R t h
f ?-=0
2
2
)
(2．
但是在这里因为被积函数是[h ,0)上的无界函数，所以它的确切含义应该是
.)(2)(2lim )
(2lim 2
22
2
2
r
R g h u h h r
R g dx
x h g r
R t h
u u
h
u f =
--?=-=-
-→→? 一、瑕积分的定义
定义2 f 定义在区间(],b a 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间),(],[b a b u ?上有界
且可积．如果存在极限J dx x f b
u
a
u =?+→)(lim ，则称此极限为无界函数f 在(],b a 上的反常积分，记作
?=b
a dx x f J ,)(
并称反常积分dx x f b a ?)(收敛．如果极限J dx x f b
u
a
u =?+→)(lim 不存在，这时也说反常积分?b
a dx x f )(发散．
在定义2中，被积函数f 在点a 近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分?b
a dx x f )(又称为瑕积分．类似地，可定义瑕点为
b 时的瑕积分：
.)(lim )(?
?
-→=u
a
b
u b
a
dx x f dx x f 其中f 在),[b a 有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何),[],[b a u a ?上可积.
若f 的瑕点),(b a c ∈，则定义瑕积分
?
????+-→→+=+=b
v
c
v u
a
c
u b
a
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .)(lim )(lim )()()( 其中f 在],(),[b c c a ?上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[u a ,]),[c a ?和?],[b v [b c ,)上都可积．当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．
又若a 、b 两点都是f 的瑕点，而f 在任何),(],[b a v u ?上可积，这时定义瑕积分
?
????
-+→→+=+=v
c
b
v c
u
a
u c
a
b
c
b
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ,)(lim )(lim )()()( 其中c 为(b a ,)内任一实数．当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．
例1 瑕积分?
-1
2
1x
dx 的值
解： 被积函数2
11)(x
x f -=
在)1,0[上连续，从而在任何)1,0[],0[?u 上可
积，1=x 为其瑕点．依定义2求得.2
arcsin lim 1lim 11
2
1
1
2
π
==-=--
-→→?
?u x
dx x
dx u u
u
例2 讨论瑕积分)0(1
>?
q x dx
q
的收敛性． 解： 被积函数在(1,0)上连续，0=x 为其瑕点．由于
),10({1),1(11
1,ln 1
1<<=≠--=--?
u x dx q u q q u u
q
q
故当0 q x dx x dx u q u q -==??+→而当q ≥1时，瑕积分(8)发散于∞+． 注：当0 b a q --=--?1)() (1收敛，且而当q ≥1时，瑕积分? -b a q a x dx ) (发散于∞+. 例3 讨论瑕积分2 1ln dx x x ? 的收敛性． 解：1x =是瑕点，有 2 21 12lim lim ln ln()1ln ln o o dx dx x x x x x ηηηη+++→→===+∞+? ? 则发散 例4 讨论瑕积分8 -? 的收敛性 0x =是瑕点，有 808020 0312 8 83 033lim lim (1)223lim lim (4)62 o o o o ηηηηηηηη++++ -----→→→→=+==-=-==-=??????? 则收敛 二、瑕积分的性质 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限dx x f dx x f b a b u a u ?? =+→)()(lim 的原意写出相应的命题． 定理11．5 瑕积分?b a dx x f )( (瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε， 存在0>δ，只要1u 、),(2δ+∈a a u ，总有.)()()(2 1 2 1 ε<= -? ??u u b u b u dx x f dx x f dx x f 性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分 dx x f b a )(1? 与?b a dx x f )(2都收敛时，瑕积分dx x f k x f k b a ?+)]()([2211必定收敛，并有 ???+=+b a b a b a dx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([2211221 1 性质 2 设函数f 的瑕点为a x =，f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积．则当?b a dx x f )(收敛时?b a dx x f )(也必定收敛，并有 ?? ≤b a b a dx x f dx x f )()(． 性质3 设函数f 的瑕点为),(,b a c a x ∈=为任一常数．则瑕积分?b a dx x f )(与 ? c a dx x f )(同敛态，并有 ??? +=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(, 其中?b c dx x f )(为定积 分． 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限 dx x f dx x f b a b u a u ?? =+→)()(lim 的原意写出相应的命题． 定理11．5 瑕积分?b a dx x f )( (瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε，存在0>δ，只要1u 、),(2δ+∈a a u ，总有 .)()()(2 1 2 1 ε<= -? ?? u u b u b u dx x f dx x f dx x f 性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分 dx x f b a )(1? 与?b a dx x f )(2都收敛时，瑕积分dx x f k x f k b a ?+)]()([2211必定收敛，并有 ??? +=+b a b a b a dx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211。 (1) 性质2 设函数f 的瑕点为),(,b a c a x ∈=为任一常数．则瑕积分?b a dx x f )(与 ? c a dx x f )(同敛态，并有 ??? +=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(, (2) 其中?b c dx x f )(为定积分． 性质3 设函数f 的瑕点为a x =，f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积．则当?b a dx x f )(收敛时?b a dx x f )(也必定收敛，并有 ?? ≤b a b a dx x f dx x f )()(． (3) 同样地，当?b a dx x f )(收敛时，称?b a dx x f )(为绝对收敛．又称收敛而不绝对 收敛的瑕积分是条件收敛的． 三、瑕积分的收敛判别法 判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下： 定理11．6(比较法则) 设定义在],(b a 上的两个函数f 与g ，瑕点同为x a =，在任何],(],[b a b u ?上都可积，且满足 ],(),()(b a x x g x f ∈≤． 则当?b a dx x g )(收敛时，dx x f b a ?)(必定收敛(或当dx x f b a ?)(发散时，dx x g b a ?)(亦必 发散)． 推论1 又若0)(>x g ，且c x g x f a x =+ →) ()(lim ，则有： (i) 当+∞< a ?)(与?b a dx x g )(同敛态； (ii)当0=c 时，由?b a dx x g )(收敛可推知?b a dx x f )(也收敛； (iii)当+∞=c 时，由?b a dx x g )(发散可推知?b a dx x f )(也发散． 当选用?-b a p a x dx ) (作为比较对象?b a dx x g )(时，比较法则及其推论1成为如下的推论： 推论2 设f 定义于],(b a ，a 为其瑕点，且在任何],(],[b a b u ?上可积， 则有： (i)当p a x x f ) (1 )(-≤ ，且10< )(p a x x f -≥ 且1≥p 时，?b a dx x f )(发散． 推论3 设f 定义于],(b a ，a 为其瑕点，且在任何],(],[b a b u ?上可积． 如果 λ=-+ →)()(lim x f a x p a x ， 则有： (i) 当10< a ?)(收敛； (ii)当1≥p ，+∞≤<λ0时dx x f b a ?)(发散． 例1 判别下列瑕积分的收敛性： 1)dx x x ? 1 ln ； 2).ln 2 1 dx x x ? 解 本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号－x x ln 在 ]1,0(上恒为负，x x ln 在]2,1(上恒为正－所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事． 1) 此瑕积分的瑕点为0=x ．由上述推论3，当取14 3 <=p 时，有 4 1 4 30 ln lim ln lim -→→+ + -=?=x x x x x x x λ ,0)4( l i m 4 1 ==+→x x 所以瑕积分1)收敛． 2)此瑕积分的瑕点为1=x ．当取1=p 时，由 ,1ln 1 lim ln )1(lim 11 =-=?-=+ + →→x x x x x x x λ 推知该瑕积分发散． 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子． 例2 讨论反常积分 dx x x a a ?∞ +-+=Φ0 1 1)(的收敛性． 解 把反常积分)(a Φ写成 dx x x dx x x a a ??∞+-+++=Φ01 01 11)(α )()(a J a I += (i)先讨论)(a I ．当01≥-a ，即1≥a 时它是定积分；当a<1时它是瑕积分， 瑕点为0=x ．由于 11lim 1 10 =+?--→+ x x x a a x , 根据定理11.6推论3，当,110<-=a 且1=λ时，瑕积分)(a I 收敛；当α-=1p ≥1，即0≤α且λ=1时，)(αI 发散 (ii)再讨论)(αJ ，它是无穷积分．由于 ,111lim 1lim 12=+=+?+∞→--+∞ →x x x x x x αα 根据定理11.2推论3，当12>-=αp ，即α<1且1=λ时，)(αJ 收敛；而当 =p α-2≤1，即α≥1且=λ1时，)(αJ 发散． 由此可见，反常积分)(αΦ只有当10<<α时才是收敛的． 6.判别下列瑕积分的收敛性 （1）1 ? （2）1 ? （3）1 ln xdx ? （4）1 0ln 1x dx x -? (5) 1 ? 解： 五个瑕积分的被积函数在积分区域上分别保持同号，所以它们的瑕积分收敛同绝 对收敛是同一回事， 分析：（1 ） 000 lim()lim lim p p p x x x x f x x xλ +++ →→→ ==-= 当 1 2 p>时，由于 lim ln0(0) x x x αα + → =?>，则λ=0，而极限为0只能判收敛，而 要判断，取01 p <<，因此取1 1 2 p <<的一个数，取 3 1 4 p=<时， 有 1 4 000 lim()lim lim ln0 p p x x x x f x x x x +++ →→→ ==-=，所以瑕积分收敛 分析（2）瑕点为1 ，分析 111 lim(1)()lim(1)lim p p p x x x x f x x xλ →+→+→+ -=-=-= 当1 x→+分子分母为无穷小量，考虑等价无穷小替换，ln ln(11)~1 x x x =+-- 111 (1) lim(1)()lim(1)lim (1) p p p x x x x x f x x x λ →+→+→+ - -=-=-= - 取1 p=，由1 λ=推知道该积分发散， 总结P取法：取法1：先找等价无穷小量，让分子分母中无穷小量次数相同，即当x a+ →，即让() x a -的次数相同，当x b- →，让(b x) -的次数相同。 取法2 利用 （3）此瑕积分的瑕点为0 x=， 00 lim ln lim ln p p x x x x x xλ ++ →→ =-= 当0 p>时，由于 lim ln0(0) x x x αα + → =?>，则λ=0，而极限为0只能判收敛，而要判断，取01 p <<，因此取01 p <<的一个数，取 1 1 2 p=<时， 有 1 2 000 lim()lim lim ln0 p p x x x x f x x x x +++ →→→ ==-=，所以瑕积分收敛 （4）此瑕积分的瑕点为0 x=， 00 ln lim lim ln 1 p p x x x x x x x λ ++ →→ =-= - 当0 p>时，由于 lim ln0(0) x x x αα + → =?>，则λ=0，而极限为0只能判收敛，而要判断，取01 p <<，因此取01 p <<的一个数，取 1 1 2 p=<时， 有 1 2 000 lim()lim lim ln0 p p x x x x f x x x x +++ →→→ ==-=，所以瑕积分收敛 （5）此瑕积分的瑕点为0,1x x ==， 1 1 100=+?? 对于1 此瑕积分的瑕点为1x = 1 11lim(1)lim(1)(1)p p x x x x x λ- - →→-=--=- 当1p =时，则0λ=瑕积分发散，因此原函数发散， 3、讨论下列积分的收敛性 （1）1 0ln p x dx ? （2） 0 ln(1)p x dx x +∞ +? 解：（1）0p =时原积分为正常积分： （2）0p >，瑕点为0x =，此时1 2 0lim lnx 0p x x →+ =，故收敛； （2）0p <，瑕点为1x =，此时11lim(1)lnx lim(1)(1)1p p p p x x x x x --→- →- -=--=，故原 积分在10p -<<时收敛，在1p ≤-时，发散。 解（2）10 01ln(1) ln(1)ln(1)p p p x x x dx dx dx x x x +∞+∞+++=+? ?? 1）1p ≤时原积分为正常积分： 2）1p >，瑕点为0x =1 0ln(1) lim 1p p x x x x -→++=，故1p 2<<，第一个积分收敛，第二个积分发散；（由于ln(1) lim q p x x x x →+∞+，1q ?>，只要p q >，极限便为0，从而收敛）， 1p >12 ln(1) lim 0p p x x x x +→+∞ +=，此时第二个积分收敛， 1 p ≤ln(1)1 p x x x +>此时第二个积分发散， 综上所述 当12p <<，原积分收敛，其他情况发散 7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性 （1 ）1 0? ； （2）1 20 ln ;1x dx x -? (3)2 2201;cos sin dx x x π ? (4) 2 1cos ;p x dx x π -? (5) 1 ln ;p x dx ? (6) 1 110 (1);p q x x dx ---? (7) 1 110 (1)ln ;p q x x x dx ---? 1 23 1~ (0)x x +→ 13 1~ (1)(1) x x -→- 所以积分收敛。 （2）因为21ln 1lim 12 x x x -→=-，且对任意01δ<<，20x ln lim 01x x x δ→+=-，即当0x >充分小时，有 2ln 1 1x x x δ < -，所以积分收敛， （3）因为 22211~(0)cos sin x x x x + →，22211~()cos sin 2 ()2 x x x x ππ-→- 所以积分发散 （4）因为2 1cos 1 ~(0)2p p x x x x +--→，所以当P 3<时积分收敛，当P 3≥时，积分发散。 （5）首先对任意的01δ<<与任意的P ，有0lim[ln ]0p x x x δ→+ =，即当0x >充分小 时，有1ln p x x δ<；且1l n ~(1)(1)p p x x x - -→-，所以当1p >-时，积分1 ln ; p x dx ?收敛，当p 1≤-，积分发散。 （6）1111 (1)~ (0)p q p x x x x --+--→，1111(1)~ (1)p q p x x x x -----→，所以在0.0 p q >>时，积分收敛，在其余情况下积分发散。 （7）1 1 1(1) ln ~(1)(1) p q q x x x x x -----→-，且1112 0lim[((1x)lnx )]0p p q x x x ---→+-=，即当0x >充分小有，1112 1 (1x)lnx p q p x x ---+-< ，所以当0p >，1q >-时积分收敛， 在其余情况下积分发散。 8、0arctan p x dx x +∞? 1001arctan arctan arctan p p p x x x dx dx dx x x x +∞+∞=+??? 由1 arctan 1 ~(0)p p x x x x +-→可知当P 2<时积分收敛 arctan ~()2p p x x x x π →+∞，可知当P 1>时积分收敛， 综上当1P 2<<时，积分收敛，在其余情况下积分是发散的。 作业:2,3(1),(5),(8) 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需 §2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 无穷积分的敛散判别法 摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散 The convergence and divergence method of infinite integral Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言 我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法． 1 无穷积分的定义 定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限 l i m ()u u a f x d x J →∞=? 则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ()a f x dx J +∞ =? 并称()a f x dx +∞? 收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a f x dx +∞? 发散． 类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分： ()()lim b u b u f x dx f x dx →∞-∞=?? 对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义： ()()()b a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞-∞ =+??? ， 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数. 安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔 2)若、‘1,。 广义积分的收敛判别 法 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 数学分析第十二章数项级数 阿贝尔判别法狄利克雷判别法 第十四讲 数学分析第十二章数项级数 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法. =,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令 =+++=12(1,2,,), k k v v v k n σ 121232111 ()()().(18) n i i n n n n n i v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立: 证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以 =(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18). 数学分析第十二章数项级数 推论（阿贝尔引理） =12(i),,,max{};n k k εεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有 ≤≤≤=≤∑1 3.(19) n k k k v A ε ε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的. 121232111 ()()()n k k n n n n n k v ε εεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3. A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得 数学分析第十二章数项级数 定理12.15（阿贝尔判别法） 且级数∑n b 收敛, {}n a 0,. n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有 +=<∑. n p k k n b ε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在 正数N ,n n a b ∑则级数收敛. +=≤∑3. n p k k k n a b M ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛. n n a b ∑ 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 数学分析第十二章数项级数积分判别法 第八讲 数学分析第十二章数项级数 定理12.9（积分判别法） 积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法. 设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞ ?同时收敛或同时发散. 证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是 对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑ 数学分析第十二章数项级数-≤≤-=?1()()d (1),2,3,. n n f n f x x f n n 依次相加可得1 122 1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?若反常积分收敛,有 111()(1)()d (1)()d . m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑?? 根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛. 则由(12)式左边, 对任何正整数m , 数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有 -≤≤=∑?11()d (). (13)m m f x x S f n S 1 0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+?因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑? 是同时发散的.112 21()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞ ?根据定理反常积分收敛用同样方 §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛， 则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞ a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14) 判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science习题反常积分的收敛判别法
对数判别法
广义积分的收敛性
习题反常积分的收敛判别法
无穷积分的敛散判别法
积分敛散性的判断
反常积分的收敛判别法
函数项级数一致收敛性的判别法
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分的收敛判别法知识分享
习题8.2反常积分的收敛判别法
14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
反常积分的敛散性判定方法
08第八讲 积分判别法
无穷积分的性质与收敛判别法
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
反常积分
积分敛散性的判断